Решите систему неравенств cases3x^2+4xy+12y^2 1, 5x+6y -3.cases

Требуется найти площадь множества точек (x,y), удовлетворяющих системе cases3x^2+4xy+12y^2 1, 5x+6y -3.cases Анализ первого неравенства. Квадратичная форма Q(x,y)=3x^2+4xy+12y^2 имеет матрицу с определителем 3* 12-2^2=32>0 и положительным угловым минором 3>0, поэтому форма положительно определена. Значит, множество 3x^2+4xy+12y^2 1 — это замкнутый эллипс (выпуклый компакт) с центром в начале координат. Минимум линейной функции на эллипсе. Рассмотрим линейную функцию L(x,y)=5x+6y на этом эллипсе. Найдём её экстремумы на границе 3x^2+4xy+12y^2=1 методом множителей Лагранжа: из L= Q получаем 5=(6x+4y), 6=(4x+24y). Решая эту систему вместе с уравнением границы, находим две критические точки: (-12,-112) со значением L=-3, (12,112) со значением L=3. Следовательно, на всём замкнутом эллипсе L(x,y)=5x+6y -3, причём равенство 5x+6y=-3 достигается единственной точкой (-12,-112) (она лежит на эллипсе: 3*14+4*12*112+12*1144=34+16+112=1). Геометрический смысл. Прямая 5x+6y=-3 касается эллипса в точке (-12,-112), а весь эллипс (включая центр, где 5* 0+6* 0=0>-3) лежит в полуплоскости 5x+6y -3. Поэтому второе неравенство 5x+6y -3 совместно с принадлежностью эллипсу выполняется только при 5x+6y=-3, то есть лишь в единственной точке касания (-12,-112). Вывод. Искомое множество состоит из одной точки. Площадь одноточечного множества равна нулю: S=0. Замечание (контроль). Площадь самого эллипса 3x^2+4xy+12y^2 1 равна (2pi)/(sqrt(4* 3* 12-4^2))=(2pi)/(sqrt(128))=(pi2)/(8)~ 0,555, что положительно; однако полуплоскость отсекает от него лишь точку касания, поэтому результирующая площадь равна нулю.

0