Задача №17761

Решите систему неравенств

$$\{\begin{array}{l}3x^2+4xy+12y^2⩽1,\\ 5x+6y⩽-3.\end{array}$$

Требуется найти площадь множества точек $(x,y)\text{,}$ удовлетворяющих системе

$$\{\begin{array}{l}3x^2+4xy+12y^2⩽1,\\ 5x+6y⩽-3.\end{array}$$

Анализ первого неравенства. Квадратичная форма $Q(x,y)=3x^2+4xy+12y^2$ имеет матрицу с определителем $3\cdot 12-2^2=32>0$ и положительным угловым минором $3>0\text{,}$ поэтому форма положительно определена. Значит, множество $3x^2+4xy+12y^2⩽1$ — это замкнутый эллипс (выпуклый компакт) с центром в начале координат.

Минимум линейной функции на эллипсе. Рассмотрим линейную функцию $L(x,y)=5x+6y$ на этом эллипсе. Найдём её экстремумы на границе $3x^2+4xy+12y^2=1$ методом множителей Лагранжа: из $\nabla L=\lambda \nabla Q$ получаем

$$5=\lambda (6x+4y),6=\lambda (4x+24y).$$

Решая эту систему вместе с уравнением границы, находим две критические точки:

$$\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{12}\right)\text{со значением}L=-3,\left(\frac{1}{2},\frac{1}{12}\right)\text{со значением}L=3.$$

Следовательно, на всём замкнутом эллипсе $L(x,y)=5x+6y⩾-3\text{,}$ причём равенство $5x+6y=-3$ достигается единственной точкой $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{12}\right)$ (она лежит на эллипсе: $3\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{12}+12\cdot \frac{1}{144}=\frac{3}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=1$).

Геометрический смысл. Прямая $5x+6y=-3$ касается эллипса в точке $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{12}\right)\text{,}$ а весь эллипс (включая центр, где $5\cdot 0+6\cdot 0=0>-3$) лежит в полуплоскости $5x+6y⩾-3\text{.}$ Поэтому второе неравенство $5x+6y⩽-3$ совместно с принадлежностью эллипсу выполняется только при $5x+6y=-3\text{,}$ то есть лишь в единственной точке касания $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{12}\right)\text{.}$

Вывод. Искомое множество состоит из одной точки. Площадь одноточечного множества равна нулю:

$$S=0.$$

Замечание (контроль). Площадь самого эллипса $3x^2+4xy+12y^2⩽1$ равна $\frac{2\pi }{\sqrt{4\cdot 3\cdot 12-4^2}}=\frac{2\pi }{\sqrt{128}}=\frac{\pi \sqrt{2}}{8}\approx 0,555\text{,}$ что положительно; однако полуплоскость отсекает от него лишь точку касания, поэтому результирующая площадь равна нулю.