58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T6de,Пусть фотографировали $k$ дней. Суммы фотографий Маши и Наташи: \[ S_M = km + \frac{k(k-1)}{2}, \quad S_N = kn + \frac{k(k-1)}{2}. \] Разность: \[ S_N - S_M = k(n-m) = 1001. \] а) При $k=7$: \[ n - m = \frac{1001}{7} = 143. \] Например, возьмём $m=1$, $n=144$. Тогда: \[ \text{Маша: } 1, 2, \dots, 7, \quad S_M = 28, \] \[ \text{Наташа: } 144, 145, \dots, 150, \quad S_N = 1029, \] разность $1029 - 28 = 1001$. Значит, могли. б) При $k=8$: \[ n - m = \frac{1001}{8} = 125.125\notin \mathbb{Z}. \] Следовательно, не могут. в) Из условия, в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий, поэтому $m + (k-1) < 40$. Так как $k(n-m) = 1001$, то $k$ — делитель 1001. Делители 1001: 7, 11, 13, 77, \dots При $k\leq 39$ подходят 7, 11, 13. Для каждого подходящего $k$ максимальное $m$ из условия: $m_{\text{max}} = 40 - k$. Тогда суммарное число фотографий Наташи: \[ S_N = k\left( m + \frac{1001}{k}\right) + \frac{k(k-1)}{2} = km + 1001 + \frac{k(k-1)}{2}. \] Вычислим: \[ k = 7: \quad m = 33, \quad S_N = 7\cdot 33 + 1001 + \frac{7\cdot 6}{2} = 231 + 1001 + 21 = 1253. \] \[ k = 11: \quad m = 29, \quad S_N = 11\cdot 29 + 1001 + \frac{11\cdot 10}{2} = 319 + 1001 + 55 = 1375. \] \[ k = 13: \quad m = 27, \quad S_N = 13\cdot 27 + 1001 + \frac{13\cdot 12}{2} = 351 + 1001 + 78 = 1430. \] Наибольшее значение — 1430. Ответ: а) Могли. б) Не могли. в) 1430.5c:Tcd5,Решение. А) Да. Числа $ 243,\ 324,\ 432 $ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $ q = \dfrac{4}{3} $, у всех трёх — одинаковое множество цифр $ \{2;\ 3;\ 4\} $. Также подходят числа $ 486,\ 648,\ 864 $ (тот же $ q = \dfrac{4}{3} $, множество цифр $ \{4;\ 6;\ 8\} $). Подробнее. Так как прогрессия возрастающая и все числа меньше $ 1000 $, $ q > 1 $ и $ q^2 < 10 $. Перебор целых $ q \in \{2;\ 3\} $ и дробных $ q = \dfrac{n}{m} $ (где $ m < n $, $ q^2 < 10 $) показывает, что множество цифр сохраняется только при $ q = \dfrac{4}{3} $ для указанных троек. Б) Пусть $ a = \overline{xy} = 10x + y $. Тогда $ b = \overline{yx} = 10y + x $, $ c = \overline{xzy} = 100x + 10z + y $, где $ x, y, z $ — цифры. Разность прогрессии: $ d = b - a = 9(y - x) $ — делится на $ 9 $. Тогда $ 2d = c - a = 90x + 10z $, поэтому $ d = 45x + 5z $. Поскольку $ d $ кратно $ 9 $, и $ z $ кратно $ 9 $: $ z = 0 $ или $ z = 9 $. При $ z = 9 $: $ d = 45x + 45 = 9(y-x) \Rightarrow y = 6x + 5 \geqslant 11 $ — невозможно (цифра). При $ z = 0 $: $ d = 45x = 9(y-x) \Rightarrow y = 6x $. Откуда $ x = 1 $, $ y = 6 $. Ответ Б): $ a = 16 $, $ b = 61 $, $ c = 106 $, $ d = 45 $. В) Пусть 1 января на счётчике стояло число $ \overline{abc} $. Тогда 1 февраля — $ \overline{bca} $, 1 марта — $ \overline{cab} $. По условию (расход в январе равен расходу в феврале): \[ \overline{bca} - \overline{abc} = \overline{cab} - \overline{bca} \Leftrightarrow \overline{abc} + \overline{cab} = 2 \cdot \overline{bca}. \] Раскрывая: \[ 100a + 10b + c + 100c + 10a + b = 200b + 20c + 2a, \] \[ 4a + 3c = 7b \Leftrightarrow 4(a - b) = 3(b - c). \] Отсюда \[ \begin{cases} a - b = 3t, \\ b - c = 4t, \end{cases} \quad t \in \mathbb{Z}, \] или $ a = b + 3t $, $ c = b - 4t $. Расход воды положителен, поэтому показания возрастают: $ \overline{abc} < \overline{bca} < \overline{cab} $, т.е. $ a < b < c $. При $ t > 0 $: $ a > b > c $ — противоречие. При $ t = 0 $: $ a = b = c $, нулевой расход — не подходит. При $ t = -1 $: $ a = b - 3 $, $ c = b + 4 $, и при $ b = 4 $: $ a = 1 $, $ c = 8 $; при $ b = 5 $: $ a = 2 $, $ c = 9 $. Расход $ = 481 - 148 = 333 $ или $ 592 - 259 = 333 $. При $ t \leqslant -2 $ значения $ a $, $ b $ или $ c $ не помещаются в одну десятичную цифру. Ответ В): ежемесячный расход воды $ 333 $ кубометра; показания счётчика 1 января, 1 февраля, 1 марта: $ 148,\ 481,\ 814 $ или $ 259,\ 592,\ 925 $.5d:Tbcb,По условию $ \{a_n\} $ — бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия из натуральных чисел: \[ a_n = a_1 + (n-1)d, \quad a_1, d, n \in \mathbb{N}. \] а) Да. Например, при $ a_1 = 2 $ и $ d = 5 $ получаем прогрессию \[ 2,\ 7,\ 12,\ 17,\ 22,\ 27,\ \ldots \] Чётные члены: $ a_2 = 7,\ a_4 = 17,\ a_6 = 27,\ \ldots $ — все оканчиваются цифрой $ 7 $. б) Последние цифры $ a_{27} $ и $ a_{62} $ совпадают тогда и только тогда, когда $ a_{62} - a_{27} = 35d $ оканчивается на $ 0 $, то есть $ 35d $ делится на $ 10 $. Отсюда $ 7d $ делится на $ 2 $, значит $ d $ — чётное. Если бы $ d $ делилось на $ 5 $, то $ d $ делилось бы и на $ 10 $, и все элементы прогрессии оканчивались бы одинаковой цифрой. Но последние цифры $ a_{17} $ и $ a_{20} $ различны, значит $ d $ не делится на $ 5 $. Чтобы последняя цифра $ a_n $ совпадала с последней цифрой $ a_{38} $, нужно, чтобы $ a_n - a_{38} = (n - 38)d $ делилось на $ 10 $. Так как $ d $ чётно и $ \gcd(d, 5) = 1 $, требуется $ (n - 38) \,\vdots\, 5 $. Наименьшее $ n > 38 $ с этим свойством: $ n = 43 $. в) Из условия $ a_{37} - a_{12} = 25d $ оканчивается на $ 00 $, то есть $ 25d $ делится на $ 100 $, значит $ d $ делится на $ 4 $. По минимальности $ n = 37 $: если $ d \geqslant 8 $, то $ 25 \cdot 8 = 200 $, и тогда $ a_{12} $ и $ a_{17} $ уже совпадали бы по двум последним цифрам, что противоречит первичности при $ n = 37 $. Аккуратное условие: $ 25d $ делится на $ 100 $, но никакое $ kd $ при $ 1 \leqslant k < 25 $ не делится на $ 100 $. Это даёт $ d = 4 $. Тогда \[ a_n = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1. \] Это число вида $ 4n - 1 $, всегда нечётное. Допустим, $ a_n $ — квадрат натурального числа. Так как $ a_n $ нечётно, а квадрат нечётного числа имеет вид \[ (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m+1) + 1, \] то $ 4n - 1 = 4m(m+1) + 1 $, откуда $ 4n - 2 = 4m(m+1) $, и \[ 2n - 1 = 2m(m+1). \] Левая часть нечётна, правая — чётна. Противоречие. Значит, прогрессия не содержит квадратов натуральных чисел. Ответ: а) Да б) $ 43 $ в) Нет5e:Tdb9,Сумма первых восьми членов последовательности равна $ 17 \cdot 8 = 136 $. Сумма последних восьми членов также равна $ 136 $. Сложив эти равенства и заметив, что члены $ n_6, n_7, n_8 $ участвуют в обеих суммах, получаем \[ (n_1 + n_2 + \ldots + n_{13}) + (n_6 + n_7 + n_8) = 136 + 136 = 272. \] Пусть $ T = n_6 + n_7 + n_8 $ и $ S $ — сумма всех тринадцати чисел. Тогда \[ S + T = 272 \;\Leftrightarrow\; S = 272 - T. \] а) Да. Возьмём, например, последовательность $ 3, 5, 17, 29, 31, 1, 2, 48, 4, 6, 18, 27, 30 $. Проверка: $ n_1 + \ldots + n_8 = 3+5+17+29+31+1+2+48 = 136 $, $ n_6 + \ldots + n_{13} = 1+2+48+4+6+18+27+30 = 136 $. Среднее всех чисел: \[ \frac{n_1 + \ldots + n_{13}}{13} = \frac{272 - 51}{13} = \frac{221}{13} = 17. \] б) Нет. Если бы среднее арифметическое всех чисел равнялось $ 11 $, то $ S = 13 \cdot 11 = 143 $, откуда $ T = 272 - 143 = 129 $. Тогда суммы $ n_1 + \ldots + n_5 $ и $ n_9 + \ldots + n_{13} $ были бы равны $ 136 - 129 = 7 $ каждая. Но $ 7 $ невозможно представить в виде суммы пяти разных натуральных чисел: уже минимум $ 1+2+3+4+5 = 15 > 7 $. Противоречие. в) Имеем $ S = 272 - T $, поэтому $ S $ зависит от $ T $ обратно: чем меньше $ T $, тем больше $ S $. Наибольшее среднее арифметическое. Минимум суммы трёх различных натуральных чисел $ T = 1 + 2 + 3 = 6 $. Тогда $ S = 272 - 6 = 266 $, среднее равно $ \dfrac{266}{13} = 20\dfrac{6}{13} $. Пример набора: $ 4, 5, 26, 47, 48, 1, 2, 3, 6, 7, 27, 44, 46 $ (пятёрки в начале и конце дают по $ 130 $, тройка $ \{1; 2; 3\} $ — общая часть). Наименьшее среднее арифметическое. Нужно сделать $ T $ как можно больше, т.е. $ R = 136 - T $ — сумму пяти первых и сумму пяти последних членов — как можно меньше. Множество из десяти крайних чисел должно состоять из десяти разных натуральных чисел и иметь чётную сумму $ 2R $ (две равные части). Наименьшая сумма десяти разных натуральных чисел $ 1+2+\ldots+10 = 55 $ — нечётная, поэтому возьмём ближайшую чётную: $ 56 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+11 $. Её можно разбить на две равные части по $ 28 $: например, $ 1+3+7+8+9 = 28 $ и $ 2+4+5+6+11 = 28 $. Тогда $ R = 28 $, $ T = 136 - 28 = 108 $, $ S = 28 + 28 + 108 = 164 $, среднее равно $ \dfrac{164}{13} = 12\dfrac{8}{13} $. Пример последовательности: $ 1, 3, 7, 8, 9, 35, 36, 37, 2, 4, 5, 6, 11 $. Ответ: а) да б) нет в) наибольшее $ \dfrac{266}{13} = 20\dfrac{6}{13} $, наименьшее $ \dfrac{164}{13} = 12\dfrac{8}{13} $.5f:T7d7,Изобретатель-самоучка Акакий Шестеренкин взял у сурового ростовщика Порфирия Кровопийцева кредит на $ S $ рублей на срок $ n $ месяцев. Условия Порфирия безжалостны: — каждый месяц долг Акакия возрастает на 50% по сравнению с концом предыдущего месяца; — после этого Акакий приносит платеж (строго в целых рублях, сдачи Порфирий не дает); — долг должен погашаться дифференцированно: каждый месяц после платежа остаток долга должен быть на одну и ту же величину $ \dfrac{S}{n} $ меньше долга на конец предыдущего месяца. Известно, что ни в один из месяцев Акакию не пришлось делить рубли на копейки (все ежемесячные платежи — целые числа). Пусть $ M $ — общая сумма рублей, выплаченная за $ n $ месяцев. А) Могло ли оказаться так, что общая сумма выплат $ M $ ровно в 2 раза превысила размер займа $ S $? Б) Акакий подсчитал, что число $ M $ является простым. Возможно ли это при $ n>1 $? В) Найдите все возможные значения суммы займа $ S $, если известно, что срок кредита $ n>2 $, разность между первым и вторым платежом составила ровно 1 рубль, а общая сумма выплат $ M $ в точности равна квадрату некоторого простого числа.60:T1412,Обозначим $ D_k $ — остаток долга в конце $ k $-го месяца после платежа, $ D_0 = S $. По условию $ D_k = D_{k-1} - \dfrac{S}{n} $, значит \[ D_k = \frac{S(n-k)}{n}, \quad D_n = 0. \] Платёж в месяц $ k $ — это $ 1{,}5 \cdot D_{k-1} - D_k $: \[ P_k = \frac{3}{2}\cdot \frac{S(n-k+1)}{n} - \frac{S(n-k)}{n} = \frac{S(n-k+3)}{2n}. \] Суммируем: \[ M = \sum_{k=1}^{n} P_k = \frac{S}{2n}\sum_{k=1}^{n}(n-k+3) = \frac{S}{2n}\cdot\frac{n(n+5)}{2} = \frac{S(n+5)}{4}. \] Условие целочисленности. $ P_k = \dfrac{S(n-k+3)}{2n} $ должно быть целым для всех $ k \in \{1,\ldots,n\} $, т.е. $ 2n \mid S \cdot j $ для всех $ j \in \{3,\, 4,\, \ldots,\, n+2\} $. Взяв $ j = 3 $ и $ j = 4 $ (взаимно простые): $ 2n \mid 4S - 3S = S $. Значит $ S = 2nm $ для некоторого $ m \in \mathbb{N} $. Обратно, при $ S = 2nm $ платежи $ P_k = m(n-k+3) $ — целые. Тогда $ M = \dfrac{2nm(n+5)}{4} = \dfrac{nm(n+5)}{2} $ (целое, так как одно из $ n,\ n+5 $ чётно). А) Может ли $ M = 2S $? $ \dfrac{S(n+5)}{4} = 2S \Leftrightarrow n + 5 = 8 \Leftrightarrow n = 3 $. Пример: $ n = 3 $, $ m = 1 $, $ S = 6 $. Проверка: $ P_1 = 1 \cdot 5 = 5 $, $ P_2 = 4 $, $ P_3 = 3 $. Остатки: $ D_1 = 4 $, $ D_2 = 2 $, $ D_3 = 0 $. Итого $ M = 12 = 2 \cdot 6 $. Ответ А: да, может (например, $ n = 3 $, $ S = 6 $). Б) Простое ли $ M $ при $ n > 1 $? При $ n = 2 $, $ m = 1 $, $ S = 4 $: $ M = \dfrac{2 \cdot 1 \cdot 7}{2} = 7 $ — простое. Проверка: $ P_1 = 1 \cdot (2 - 1 + 3) = 4 $, $ P_2 = 1 \cdot 3 = 3 $. Остаток: $ D_0 = 4 \to 6 - 4 = 2 = D_1 $, $ D_1 = 2 \to 3 - 3 = 0 $. Итого $ M = 7 $ — простое. Ответ Б: да, возможно (например, $ n = 2 $, $ S = 4 $). В) $ n > 2 $, $ P_1 - P_2 = 1 $, $ M = p^2 $ — квадрат простого. Разность платежей: \[ P_1 - P_2 = \frac{S(n+2) - S(n+1)}{2n} = \frac{S}{2n}. \] Условие $ \dfrac{S}{2n} = 1 \Rightarrow S = 2n $ (т.е. $ m = 1 $). Тогда $ M = \dfrac{n(n+5)}{2} = p^2 $. Ищем $ n > 2 $, при котором $ n(n+5) = 2 p^2 $ и $ p $ — простое. Заметим: одно из $ n,\ n+5 $ чётно, другое нечётно. Рассмотрим случаи. Случай $ n $ нечётно, $ n+5 $ чётно. Тогда $ n \cdot \dfrac{n+5}{2} = p^2 $. Пусть $ j = (n+5)/2 $. Имеем $ \gcd(n, j) \mid \gcd(n,\, 2j - n) = \gcd(n, 5) $. 1. Если $ \gcd(n, 5) = 1 $, то $ \gcd(n,j) = 1 $, $ n j = p^2 $, $ \{n, j\} = \{1,\, p^2\} $. Подбор: $ n = 1 $ даёт $ j = 3 $, $ p^2 = 3 $ — нет; $ n = p^2 $, $ j = 1 \Rightarrow n + 5 = 2 $ — невозможно. 2. Если $ 5 \mid n $, $ n = 5l $ ($ l $ нечётно), $ n+5 = 5(l+1) $, $ l+1 = 2s $. Получим $ 25 l s = p^2 $, $ \gcd(l, s) = 1 $. Значит $ 5 \mid p $, $ p = 5q $, $ q^2 = l s $. $ l $ и $ s $ — взаимно простые квадраты: $ l = a^2 $, $ s = b^2 $, $ a^2 + 1 = 2 b^2 $. Решения уравнения $ a^2 - 2b^2 = -1 $ (Пелля): $ (a, b) = (1, 1),\, (7, 5),\, (41, 29),\, \ldots $ 1. $ (a,b) = (1,1) $: $ l = 1 $, $ s = 1 $, $ q = 1 $, $ p = 5 $ — простое; $ n = 5l = 5 > 2 $, $ S = 2n = 10 $, $ M = 25 = 5^2 $. Подходит. 2. $ (a,b) = (7,5) $: $ l = 49 $, $ s = 25 $, $ q = 7 \cdot 5 = 35 $, $ p = 5 \cdot 35 = 175 = 5^2 \cdot 7 $ — не простое. 3. $ (a,b) = (41,29) $: $ p = 5 \cdot 41 \cdot 29 = 5945 $ — не простое. В общем для $ (a, b) $ с $ a > 1 $: $ p = 5 a b $ имеет три множителя — не простое. Случай $ n $ чётно, $ n = 2k $. Тогда $ k(2k+5) = p^2 $, $ \gcd(k,\, 2k+5) \in \{1; 5\} $. 1. $ \gcd = 1 $: $ \{k,\, 2k+5\} = \{1,\, p^2\} $. $ k = 1 $: $ 2k+5 = 7 = p^2 $ — нет. 2. $ \gcd = 5 $: $ k = 5l $, $ 2k+5 = 5(2l+1) $, $ 25 l(2l+1) = p^2 $, $ \gcd(l,\, 2l+1)=1 $. $ 5 \mid p $, $ p = 5q $, $ q^2 = l(2l+1) $, $ l = m^2 $, $ 2l+1 = c^2 $, т.е. $ c^2 - 2m^2 = 1 $ (Пелля): $ (m,c) = (0,1),\, (2,3),\, (12,17),\, \ldots $ При $ m = 0 $: $ l = 0 $ — недопустимо ($ S = 0 $). При $ m = 2 $: $ l = 4 $, $ c = 3 $, $ q = 6 $, $ p = 30 $ — не простое. Дальше $ p $ растёт и составное. Итого единственное решение: $ n = 5 $, $ S = 10 $, $ M = 25 = 5^2 $. Ответ: А) Да, может (например, $ n = 3 $, $ S = 6 $, тогда $ M = 12 = 2S $). Б) Да, возможно (например, $ n = 2 $, $ S = 4 $, тогда $ M = 7 $). В) $ S = 10 $.61:T78d,Изобретатель-самоучка Акакий Шестеренкин взял у сурового ростовщика Порфирия Кровопийцева кредит на S рублей на срок n месяцев. Условия Порфирия безжалостны: – каждый месяц долг Акакия возрастает на 50% по сравнению с концом предыдущего месяца; – после этого Акакий приносит платеж (строго в целых рублях, сдачи Порфирий не дает); – долг должен погашаться дифференцированно: каждый месяц после платежа остаток долга должен быть на одну и ту же величину n S меньше долга на конец предыдущего месяца. Известно, что ни в один из месяцев Акакию не пришлось делить рубли на копейки (все ежемесячные платежи — целые числа). Пусть M — общая сумма рублей, выплаченная за n месяцев. А) Могло ли оказаться так, что общая сумма выплат M ровно в 2 раза превысила размер займа S ? Б) Акакий подсчитал, что число M является простым. Возможно ли это при 1  n ? В) Найдите все возможные значения суммы займа S , если известно, что срок кредита 2  n , разность между первым и вторым платежом составила ровно 1 рубль, а общая сумма выплат M в точности равна квадрату некоторого простого числа.62:T135b,а) Чтобы проверить, может ли $ a_8 = 17 $, попробуем восстановить последовательность в обратном порядке. На каждом шаге $ n $ переход $ a_{n-1} \to a_n $ определяется делимостью $ a_{n-1} $ на $ n $. 1. Если $ n = 8 $ и $ a_8 = 17 $, то $ a_7 $ либо равно $ 17 \cdot 8 = 136 $ (так как $ 136 $ делится на $ 8 $), либо $ 17/8 $ (невозможно). Получаем $ a_7 = 136 $. 2. При $ n = 7 $ и $ a_7 = 136 $: число $ 136 $ не делится на $ 7 $ (так как $ 136 = 7 \cdot 19 + 3 $). Значит, $ a_7 = a_6 / 7 $, откуда $ a_6 = 136 \cdot 7 = 952 $. 3. При $ n = 6 $ и $ a_6 = 952 $: число $ 952 $ не делится на $ 6 $ (так как $ 952 = 6 \cdot 158 + 4 $). Значит, $ a_6 = a_5 / 6 $, откуда $ a_5 = 952 \cdot 6 = 5\,712 $. 4. При $ n = 5 $ и $ a_5 = 5\,712 $: число $ 5\,712 $ не делится на $ 5 $. Значит, $ a_5 = a_4 / 5 $, откуда $ a_4 = 5\,712 \cdot 5 = 28\,560 $. 5. При $ n = 4 $ и $ a_4 = 28\,560 $: число $ 28\,560 $ делится на $ 4 $. Положим $ a_3 = 28\,560 \cdot 4 = 114\,240 $. Тогда $ a_4 = 114\,240 / 4 = 28\,560 $. 6. При $ n = 3 $ и $ a_3 = 114\,240 $: число $ 114\,240 $ делится на $ 3 $ (сумма цифр равна 12). Положим $ a_2 = 114\,240 / 3 = 38\,080 $. Это число не делится на $ 3 $ (сумма цифр равна 19), поэтому $ a_3 = 38\,080 \cdot 3 = 114\,240 $. 7. При $ n = 2 $ и $ a_2 = 38\,080 $: число $ 38\,080 $ чётное. Положим $ a_1 = 38\,080 \cdot 2 = 76\,160 $. Тогда $ a_2 = 76\,160 / 2 = 38\,080 $. Таким образом, при $ a_1 = 76\,160 $ восьмым членом последовательности будет 17. б) Предположим, что последовательность $ \{a_n\} $ строго возрастает при $ n \geqslant N $. Это означает, что для всех $ n \geqslant N $ число $ a_n $ не делится на $ n+1 $, и тогда $ a_{n+1} = a_n \cdot (n+1) $. Тогда для любого $ k \geqslant 1 $: \[ a_{N+k} = a_N \cdot (N+1) \cdot (N+2) \cdot \ldots \cdot (N+k). \] Рассмотрим шаг $ k = N+1 $. Индекс следующего члена последовательности равен $ n+1 = N+k+1 = 2N+2 = 2(N+1) $. Произведение $ (N+1) \cdot (N+2) \cdot \ldots \cdot (2N+1) $ содержит множитель $ N+1 $ и хотя бы одно чётное число (при $ N \geqslant 1 $). Следовательно, это произведение делится на $ 2(N+1) $. Тогда $ a_{N+k} $ также делится на $ 2(N+1) $. Это означает, что на шаге $ n+1 = 2(N+1) $ должно произойти деление, и $ a_{n+1} < a_n $, что противоречит предположению о постоянном росте. Значит, последовательность не может только возрастать. в) Если $ a_n = a_1 $ для некоторого $ n \geqslant 2 $, то отношение элементов можно представить в виде: \[ \frac{a_n}{a_1} = \prod_{k=2}^{n} k^{\varepsilon_k} = 1, \quad \varepsilon_k \in \{1; -1\}, \] где $ \varepsilon_k = 1 $ соответствует умножению на шаге $ k $, а $ \varepsilon_k = -1 $ — делению. Перенеся множители с отрицательными степенями в другую часть равенства, получим: \[ \prod_{k \in A} k = \prod_{k \in B} k, \] где $ A \cup B = \{2; 3; \ldots; n\} $ и $ A \cap B = \varnothing $. Перемножив левую и правую части, находим: \[ n! = \prod_{k \in A} k \cdot \prod_{k \in B} k = \left( \prod_{k \in A} k \right)^2. \] Это означает, что $ n! $ должен быть полным квадратом целого числа. Однако согласно постулату Бертрана, для любого $ n \geqslant 2 $ существует простое число $ p $, такое что $ n/2 < p \leqslant n $. Такое число входит в разложение $ n! $ ровно в первой степени (так как $ 2p > n $). Следовательно, $ n! $ не может быть квадратом. Полученное противоречие показывает, что $ a_n \neq a_1 $ при всех $ n \geqslant 2 $. Ответ: а) да б) нет в) нет41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Задачи по теме «Последовательности и прогрессии» — ЕГЭ профильный\",\"description\":\"Подборка задач ЕГЭ профильный уровень по теме «Последовательности и прогрессии». Включает 6 задач разной сложности. Подходит для целенаправленной отработки конкретного навыка перед экзаменом. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/ege-prof/collections/topic-posledovatelnosti-i-progressii-19-prof\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-08-31T10:38:35.804Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Математика (профиль) ЕГЭ\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/ege-prof\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/ege-prof/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Задачи по теме «Последовательности и прогрессии» — ЕГЭ профильный\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","Математика (профиль) ЕГЭ-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/ege-prof","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика (профиль) ЕГЭ"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/ege-prof/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Задачи по теме «Последовательности и прогрессии» — ЕГЭ профильный-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Задачи по теме «Последовательности и прогрессии» — ЕГЭ профильный"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"ege-prof","collectionId":"topic-posledovatelnosti-i-progressii-19-prof","serverCollection":{"id":"656e21c1-9471-42bc-83c4-00b690ccb90f","name":"Задачи по теме «Последовательности и прогрессии» — ЕГЭ профильный","code":"topic-posledovatelnosti-i-progressii-19-prof","collection_type":"system_topic","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","exam_code":"ege-prof","metadata":{"axis":"topic","description":"Подборка задач ЕГЭ профильный уровень по теме «Последовательности и прогрессии». Включает 6 задач разной сложности. Подходит для целенаправленной отработки конкретного навыка перед экзаменом.","hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"topic_id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","total_problem_count":6,"visible_problem_count":6},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T16:23:22.775864Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"a605e115-94e1-46c1-bcdc-afe92fba98a4","collection_id":"656e21c1-9471-42bc-83c4-00b690ccb90f","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"a605e115-94e1-46c1-bcdc-afe92fba98a4","short_id":15477,"task_number":20,"topic_id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":8,"content_text":"Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала \$m\$ фотографий, а Наташа — \$n\$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.\n\nа) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?\n\nб) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?\n\nв) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?","answer_text":"а) да\nб) нет\nв) 1430","answer":"а) да\nб) нет\nв) 1430","solution_text":"$5b","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"image_status":"not_needed","quality_status":"verified","tools_applied":{"classify":"2026-02-26T21:05:40Z","classify-no-llm":"2026-02-25T19:55:11Z","format_content":"2026-02-25T16:07:02Z","format_latex":"2026-02-25T21:21:41Z"},"verified":true,"verified_at":"2026-02-26T09:04:57Z"},"created_at":"2025-11-20T18:31:15.098301Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","name":"Последовательности и прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"6113e778-32c1-4a35-b2e4-a9487eeb1455","collection_id":"656e21c1-9471-42bc-83c4-00b690ccb90f","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"6113e778-32c1-4a35-b2e4-a9487eeb1455","short_id":16778,"task_number":20,"topic_id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":8,"content_text":"А) Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, состоящая из трёх трёхзначных натуральных чисел \$ a, b, c \$, где \$ a < b < c \$, у которых множества цифр одинаковые?\n\nБ) Три натуральных числа \$ a, b, c \$ образуют арифметическую прогрессию. Число \$ a \$ двузначное, число \$ b \$ получается, если цифры числа \$ a \$ поменять местами, число \$ c \$ получается, если между цифрами числа \$ a \$ вставить ещё одну цифру. Найдите числа \$ a, b, c \$ и разность прогрессии \$ d \$.\n\nВ) На счётчике расхода воды 1 января стояло трёхзначное число. 1 февраля цифры поменялись местами — первая стала третьей, вторая первой, а третья второй. 1 марта цифры опять поменялись местами таким же образом — первая стала третьей, вторая первой, а третья второй. При этом расход воды в январе и феврале был одинаковым. Найдите ежемесячный расход воды и показания счётчика с 1 января по 1 марта.","answer_text":"А) Да (примеры: $243,\\,324,\\,432$ или $486,\\,648,\\,864$). Б) $a = 16,\\ b = 61,\\ c = 106,\\ d = 45$. В) Ежемесячный расход $333$ кубометра; показания счётчика: $148,\\,481,\\,814$ или $259,\\,592,\\,925$.","answer":"А) Да (примеры: $243,\\,324,\\,432$ или $486,\\,648,\\,864$). Б) $a = 16,\\ b = 61,\\ c = 106,\\ d = 45$. В) Ежемесячный расход $333$ кубометра; показания счётчика: $148,\\,481,\\,814$ или $259,\\,592,\\,925$.","solution_text":"$5c","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","condition_confidence":"high","condition_source":"larin-pdf","external_id":"larin-trvar-2026-V512-T19","is_legacy":false,"original_content_text":"А) Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, состоящая из трех\nтрехзначных натуральных чисел\n, ,\na b c , где a\nb\nc\n\n\n, у которых множества цифр\nодинаковые?\nБ) Три натуральных числа\n, ,\na b c образуют арифметическую прогрессию. Число\na двузначное, число b получается, если цифры числа a поменять местами, число c\nполучается, если между цифрами числа a вставить ещё одну цифру. Найдите числа\n, ,\na b c и разность прогрессии d .\nВ) На счетчике расхода воды 1 января стояло трехзначное число. 1 февраля цифры\nпоменялись местами – первая стала третьей, вторая первой, а третья второй. 1 марта\nцифры опять поменялись местами таким же образом – первая стала третьей, вторая\nпервой, а третья второй. При этом расход воды в январе и феврале был одинаковым.\nНайдите ежемесячный расход воды и показания счетчика с 1 января по 1 марта.","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar512.pdf","position_in_pdf":19,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[3, 4]","task_number_hint":19,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:50:26Z","format_content":"2026-05-16T10:15:18Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:39:02Z"},"variant_num":512,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:00:41.622495Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","name":"Последовательности и прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"444da116-634d-4bf1-8b40-89deacd95a12","collection_id":"656e21c1-9471-42bc-83c4-00b690ccb90f","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"444da116-634d-4bf1-8b40-89deacd95a12","short_id":16864,"task_number":20,"topic_id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":8,"content_text":"Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия \$ \\{a_n\\} \$ состоит из натуральных чисел.\n\nа) Может ли при всех чётных \$ n \$ последние цифры элементов \$ a_n \$ быть одинаковыми?\n\nб) У элементов \$ a_{17} \$ и \$ a_{20} \$ последние цифры разные, а у элементов \$ a_{27} \$ и \$ a_{62} \$ последние цифры одинаковые. У какого следующего элемента \$ a_n \$ при \$ n > 38 \$ последняя цифра такая же, как и у \$ a_{38} \$?\n\nв) Первый член прогрессии \$ a_1 = 3 \$. Две последние цифры элемента \$ a_{12} \$ совпадают с двумя последними цифрами элемента \$ a_n \$ впервые при \$ n = 37 \$. Есть ли в прогрессии члены, являющиеся квадратами натуральных чисел?","answer_text":"А) Да; Б) $43$; В) Нет","answer":"А) Да; Б) $43$; В) Нет","solution_text":"$5d","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","condition_confidence":"high","condition_source":"larin-pdf","external_id":"larin-trvar-2026-V514-T19","is_legacy":false,"original_content_text":"Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия \nna\nсостоит из\nнатуральных чисел.\nВ) Первый член прогрессии\n1\n3\na \n. Две последние цифры элемента\nсовпадают с\nдвумя последними цифрами элемента\nвпервые при\n12\na\nna\n37\nn \n. Есть ли в прогрессии\nчлены, являющиеся квадратами натуральных чисел?\nА) Может ли при всех четных\nпоследние цифры элементов\nбыть одинаковыми?\nn\nna\nБ) У элементов\nи\nпоследние цифры разные, а у элементов\nи\nпоследние цифры одинаковые. У какого следующего элемента\nпри\nпоследняя цифра такая же, как и у\n?\n17\na\n20\na\n27\na\n62\na\n38\nna\nn \n38\na\nПроверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером\nсоответствующего задания.","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar514.pdf","position_in_pdf":19,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[2, 10]","task_number_hint":19,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:48:38Z","format_content":"2026-05-16T10:05:47Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:39:03Z"},"variant_num":514,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:01:25.638653Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","name":"Последовательности и прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"56fed930-05c4-4208-b686-93bf7253c39e","collection_id":"656e21c1-9471-42bc-83c4-00b690ccb90f","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"56fed930-05c4-4208-b686-93bf7253c39e","short_id":17072,"task_number":20,"topic_id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":9,"content_text":"Последовательность \$ n_1, n_2, \\ldots, n_{12}, n_{13} \$ состоит из 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых восьми и среднее арифметическое последних восьми её членов равно 17.\n\nа) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 17?\n\nб) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 11?\n\nв) Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать среднее арифметическое всех чисел.","answer_text":"А) Да; Б) Нет; В) наибольшее $\\dfrac{266}{13} = 20\\dfrac{6}{13}$, наименьшее $\\dfrac{164}{13} = 12\\dfrac{8}{13}$.","answer":"А) Да; Б) Нет; В) наибольшее $\\dfrac{266}{13} = 20\\dfrac{6}{13}$, наименьшее $\\dfrac{164}{13} = 12\\dfrac{8}{13}$.","solution_text":"$5e","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","external_id":"larin-trvar-2026-V525-T19","is_legacy":false,"pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar525.pdf","position_in_pdf":19,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[2, 3]","task_number_hint":19,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:49:50Z","format_content":"2026-05-16T10:11:45Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:39:08Z"},"variant_num":525,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:03:21.562635Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","name":"Последовательности и прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"e3b8d27e-1432-461c-ac56-4d79064cb2bd","code":"tag-220","name":"Числовые наборы на карточках и досках"}]}},{"problem_id":"1b5e4358-da3d-4672-a01e-5de2ecd89201","collection_id":"656e21c1-9471-42bc-83c4-00b690ccb90f","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"1b5e4358-da3d-4672-a01e-5de2ecd89201","short_id":17255,"task_number":20,"topic_id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":9,"content_text":"$5f","answer_text":"А) да (например n=3, S=6); Б) да (например n=2, S=4); В) S = 10","answer":"А) да (например n=3, S=6); Б) да (например n=2, S=4); В) S = 10","solution_text":"$60","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"answer_source":"llm-generated","external_id":"larin-trvar-2026-V535-T19","is_legacy":false,"pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar535.pdf","position_in_pdf":19,"pre_layout_content":"$61","solution_confidence":"high","solution_source":"llm-generated","source":"larin-trvar","task_number_hint":19,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:45:46Z","fill_solutions":"2026-05-16T05:49:39Z","fix_layout":"2026-05-16 08:15:14","format_content":"2026-05-16T09:55:31Z"},"variant_num":535,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:05:05.751499Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","name":"Последовательности и прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"},{"id":"b2f9ce84-24e7-4e55-8005-cb79cf6ea461","code":"tag-168","name":"Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки"}]}},{"problem_id":"b7d7cd36-78d4-4125-8e40-01959c7b4f91","collection_id":"656e21c1-9471-42bc-83c4-00b690ccb90f","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"b7d7cd36-78d4-4125-8e40-01959c7b4f91","short_id":17309,"task_number":20,"topic_id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":9,"content_text":"Бесконечная последовательность \$ \\{a_n\\} \$ (\$ n \\geqslant 1 \$), состоящая из натуральных чисел, строится следующим образом. Возьмем любое натуральное число \$ a \$ и пусть \$ a_1 = a \$. Далее для всех \$ n \\geqslant 2 \$, если \$ a_{n-1} \$ делится на \$ n \$, то \$ a_n = \\dfrac{a_{n-1}}{n} \$, а если \$ a_{n-1} \$ не делится на \$ n \$, то \$ a_n = a_{n-1} \\cdot n \$. Например, если \$ a = 1 \$, то последовательность такая: \$ 1, 2, 6, 24, 120, 20, 140, 1\\,120, 10\\,080, 1\\,008, \\ldots \$.\n\nа) Может ли при каком-то начальном значении \$ a_1 = a \$ в последовательности на восьмом месте оказаться число 17?\nб) Может ли последовательность \$ \\{a_n\\} \$, начиная с некоторого номера \$ n \$, только возрастать?\nв) Может ли первый элемент \$ a_1 \$ появиться в последовательности ещё раз?","answer_text":"А) да, например a = 76160. Б) нет. В) нет.","answer":"А) да, например a = 76160. Б) нет. В) нет.","solution_text":"$62","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"answer_source":"llm-generated","external_id":"larin-trvar-2026-V534-T19","fill_notes":"current_answer_text пустой — заполняем.","is_legacy":false,"pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar534.pdf","position_in_pdf":19,"pre_layout_content":"Бесконечная последовательность \n\n,\n1\nna\nn \n, состоящая из натуральных чисел,\nстроится следующим образом. Возьмем любое натуральное число a и пусть\n1a\na\n\n.\nДалее для всех\n2\nn \nесли\n1\nna  делится на n , то\n1\nn\nn\na\na\nn\n\n\n, а если\n1\nna  не делится\nна n , то\n1\nn\nn\na\na\nn\n\n\n\n. Например, если\n1\na \n, то последовательность такая 1, 2, 6, 24,\n120, 20, 140, 1120, 10080, 1008,….\nА) Может ли при каком-то начальном значении\n1a\na\n\nв последовательности на\nвосьмом месте оказаться число 17?\nБ) Может ли последовательность \nna\nначиная с некоторого номера n , только\nвозрастать?\nВ) Может ли первый элемент\n1a появиться в последовательности ещё раз?","solution_confidence":"high","solution_source":"llm-generated","source":"larin-trvar","task_number_hint":19,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:57:22Z","fill_solutions":"2026-05-16T07:25:45Z","fix_layout":"2026-05-16 08:15:14","format_content":"2026-05-17T06:48:53Z"},"variant_num":534,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:05:33.564131Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ec695ded-a591-4ebb-8e8a-34d45a0dc20e","name":"Последовательности и прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]