Последовательность n_1, n_2, , n_(12), n_(13) состоит из 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых восьми и среднее арифметическое последних восьми её членов равно 17. а) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 17? б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 11? в) Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать среднее арифметическое всех чисел.

Сумма первых восьми членов последовательности равна 17 * 8 = 136 . Сумма последних восьми членов также равна 136 . Сложив эти равенства и заметив, что члены n_6, n_7, n_8 участвуют в обеих суммах, получаем (n_1 + n_2 + + n_(13)) + (n_6 + n_7 + n_8) = 136 + 136 = 272. Пусть T = n_6 + n_7 + n_8 и S — сумма всех тринадцати чисел. Тогда S + T = 272 <=>S = 272 - T. а) Да. Возьмём, например, последовательность 3, 5, 17, 29, 31, 1, 2, 48, 4, 6, 18, 27, 30 . Проверка: n_1 + + n_8 = 3+5+17+29+31+1+2+48 = 136 , n_6 + + n_(13) = 1+2+48+4+6+18+27+30 = 136 . Среднее всех чисел: (n_1 + + n_(13))/(13) = (272 - 51)/(13) = (221)/(13) = 17. б) Нет. Если бы среднее арифметическое всех чисел равнялось 11 , то S = 13 * 11 = 143 , откуда T = 272 - 143 = 129 . Тогда суммы n_1 + + n_5 и n_9 + + n_(13) были бы равны 136 - 129 = 7 каждая. Но 7 невозможно представить в виде суммы пяти разных натуральных чисел: уже минимум 1+2+3+4+5 = 15 > 7 . Противоречие. в) Имеем S = 272 - T , поэтому S зависит от T обратно: чем меньше T , тем больше S . Наибольшее среднее арифметическое. Минимум суммы трёх различных натуральных чисел T = 1 + 2 + 3 = 6 . Тогда S = 272 - 6 = 266 , среднее равно (266)/(13) = 20(6)/(13) . Пример набора: 4, 5, 26, 47, 48, 1, 2, 3, 6, 7, 27, 44, 46 (пятёрки в начале и конце дают по 130 , тройка 1; 2; 3 — общая часть). Наименьшее среднее арифметическое. Нужно сделать T как можно больше, т.е. R = 136 - T — сумму пяти первых и сумму пяти последних членов — как можно меньше. Множество из десяти крайних чисел должно состоять из десяти разных натуральных чисел и иметь чётную сумму 2R (две равные части). Наименьшая сумма десяти разных натуральных чисел 1+2++10 = 55 — нечётная, поэтому возьмём ближайшую чётную: 56 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+11 . Её можно разбить на две равные части по 28 : например, 1+3+7+8+9 = 28 и 2+4+5+6+11 = 28 . Тогда R = 28 , T = 136 - 28 = 108 , S = 28 + 28 + 108 = 164 , среднее равно (164)/(13) = 12(8)/(13) . Пример последовательности: 1, 3, 7, 8, 9, 35, 36, 37, 2, 4, 5, 6, 11 . Ответ: а) да б) нет в) наибольшее (266)/(13) = 20(6)/(13) , наименьшее (164)/(13) = 12(8)/(13) .

А) Да; Б) Нет; В) наибольшее $\dfrac{266}{13} = 20\dfrac{6}{13}$, наименьшее $\dfrac{164}{13} = 12\dfrac{8}{13}$.