Задача №17072

Последовательность $n_1,n_2,\dots ,n_{12},n_{13}$ состоит из 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое первых восьми и среднее арифметическое последних восьми её членов равно 17.

а) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 17?

б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 11?

в) Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые может принимать среднее арифметическое всех чисел.

Сумма первых восьми членов последовательности равна $17\cdot 8=136\text{.}$ Сумма последних восьми членов также равна $136\text{.}$ Сложив эти равенства и заметив, что члены $n_6,n_7,n_8$ участвуют в обеих суммах, получаем

$$(n_1+n_2+\dots +n_{13})+(n_6+n_7+n_8)=136+136=272.$$

Пусть $T=n_6+n_7+n_8$ и $S$ — сумма всех тринадцати чисел. Тогда

$$S+T=272\iff S=272-T.$$

а) Да. Возьмём, например, последовательность $3,5,17,29,31,1,2,48,4,6,18,27,30\text{.}$

Проверка: $n_1+\dots +n_8=3+5+17+29+31+1+2+48=136\text{,}$ $n_6+\dots +n_{13}=1+2+48+4+6+18+27+30=136\text{.}$ Среднее всех чисел:

$$\frac{n_1+\dots +n_{13}}{13}=\frac{272-51}{13}=\frac{221}{13}=17.$$

б) Нет. Если бы среднее арифметическое всех чисел равнялось $11\text{,}$ то $S=13\cdot 11=143\text{,}$ откуда $T=272-143=129\text{.}$ Тогда суммы $n_1+\dots +n_5$ и $n_9+\dots +n_{13}$ были бы равны $136-129=7$ каждая. Но $7$ невозможно представить в виде суммы пяти разных натуральных чисел: уже минимум $1+2+3+4+5=15>7\text{.}$ Противоречие.

в) Имеем $S=272-T\text{,}$ поэтому $S$ зависит от $T$ обратно: чем меньше $T\text{,}$ тем больше $S\text{.}$

Наибольшее среднее арифметическое. Минимум суммы трёх различных натуральных чисел $T=1+2+3=6\text{.}$ Тогда $S=272-6=266\text{,}$ среднее равно $\frac{266}{13}=20\frac{6}{13}\text{.}$ Пример набора: $4,5,26,47,48,1,2,3,6,7,27,44,46$ (пятёрки в начале и конце дают по $130\text{,}$ тройка $\{1;2;3\}$ — общая часть).

Наименьшее среднее арифметическое. Нужно сделать $T$ как можно больше, т.е. $R=136-T$ — сумму пяти первых и сумму пяти последних членов — как можно меньше. Множество из десяти крайних чисел должно состоять из десяти разных натуральных чисел и иметь чётную сумму $2R$ (две равные части). Наименьшая сумма десяти разных натуральных чисел $1+2+\dots +10=55$ — нечётная, поэтому возьмём ближайшую чётную: $56=1+2+3+4+5+6+7+8+9+11\text{.}$ Её можно разбить на две равные части по $28\text{:}$ например, $1+3+7+8+9=28$ и $2+4+5+6+11=28\text{.}$

Тогда $R=28\text{,}$ $T=136-28=108\text{,}$ $S=28+28+108=164\text{,}$ среднее равно $\frac{164}{13}=12\frac{8}{13}\text{.}$ Пример последовательности: $1,3,7,8,9,35,36,37,2,4,5,6,11\text{.}$

Ответ:

а) да

б) нет

в) наибольшее $\frac{266}{13}=20\frac{6}{13}\text{,}$ наименьшее $\frac{164}{13}=12\frac{8}{13}\text{.}$