А) Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, состоящая из трёх трёхзначных натуральных чисел a, b, c , где a < b < c , у которых множества цифр одинаковые? Б) Три натуральных числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию. Число a двузначное, число b получается, если цифры числа a поменять местами, число c получается, если между цифрами числа a вставить ещё одну цифру. Найдите числа a, b, c и разность прогрессии d . В) На счётчике расхода воды 1 января стояло трёхзначное число. 1 февраля цифры поменялись местами — первая стала третьей, вторая первой, а третья второй. 1 марта цифры опять поменялись местами таким же образом — первая стала третьей, вторая первой, а третья второй. При этом расход воды в январе и феврале был одинаковым. Найдите ежемесячный расход воды и показания счётчика с 1 января по 1 марта.

Решение. А) Да. Числа 243, 324, 432 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = (4)/(3) , у всех трёх — одинаковое множество цифр 2; 3; 4 . Также подходят числа 486, 648, 864 (тот же q = (4)/(3) , множество цифр 4; 6; 8 ). Подробнее. Так как прогрессия возрастающая и все числа меньше 1000 , q > 1 и q^2 < 10 . Перебор целых q in 2; 3 и дробных q = (n)/(m) (где m < n , q^2 < 10 ) показывает, что множество цифр сохраняется только при q = (4)/(3) для указанных троек. Б) Пусть a = xy = 10x + y . Тогда b = yx = 10y + x , c = xzy = 100x + 10z + y , где x, y, z — цифры. Разность прогрессии: d = b - a = 9(y - x) — делится на 9 . Тогда 2d = c - a = 90x + 10z , поэтому d = 45x + 5z . Поскольку d кратно 9 , и z кратно 9 : z = 0 или z = 9 . При z = 9 : d = 45x + 45 = 9(y-x) => y = 6x + 5 11 — невозможно (цифра). При z = 0 : d = 45x = 9(y-x) => y = 6x . Откуда x = 1 , y = 6 . Ответ Б): a = 16 , b = 61 , c = 106 , d = 45 . В) Пусть 1 января на счётчике стояло число abc . Тогда 1 февраля — bca , 1 марта — cab . По условию (расход в январе равен расходу в феврале): bca - abc = cab - bca <=> abc + cab = 2 * bca. Раскрывая: 100a + 10b + c + 100c + 10a + b = 200b + 20c + 2a, 4a + 3c = 7b <=> 4(a - b) = 3(b - c). Отсюда cases a - b = 3t, b - c = 4t, cases t in Z, или a = b + 3t , c = b - 4t . Расход воды положителен, поэтому показания возрастают: abc < bca < cab , т.е. a < b < c . При t > 0 : a > b > c — противоречие. При t = 0 : a = b = c , нулевой расход — не подходит. При t = -1 : a = b - 3 , c = b + 4 , и при b = 4 : a = 1 , c = 8 ; при b = 5 : a = 2 , c = 9 . Расход = 481 - 148 = 333 или 592 - 259 = 333 . При t -2 значения a , b или c не помещаются в одну десятичную цифру. Ответ В): ежемесячный расход воды 333 кубометра; показания счётчика 1 января, 1 февраля, 1 марта: 148, 481, 814 или 259, 592, 925 .

А) Да (примеры: $243,\,324,\,432$ или $486,\,648,\,864$). Б) $a = 16,\ b = 61,\ c = 106,\ d = 45$. В) Ежемесячный расход $333$ кубометра; показания счётчика: $148,\,481,\,814$ или $259,\,592,\,925$.