Задача №16778

А) Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия, состоящая из трёх трёхзначных натуральных чисел $a,b,c\text{,}$ где $a<b<c\text{,}$ у которых множества цифр одинаковые?

Б) Три натуральных числа $a,b,c$ образуют арифметическую прогрессию. Число $a$ двузначное, число $b$ получается, если цифры числа $a$ поменять местами, число $c$ получается, если между цифрами числа $a$ вставить ещё одну цифру. Найдите числа $a,b,c$ и разность прогрессии $d\text{.}$

В) На счётчике расхода воды 1 января стояло трёхзначное число. 1 февраля цифры поменялись местами — первая стала третьей, вторая первой, а третья второй. 1 марта цифры опять поменялись местами таким же образом — первая стала третьей, вторая первой, а третья второй. При этом расход воды в январе и феврале был одинаковым. Найдите ежемесячный расход воды и показания счётчика с 1 января по 1 марта.

Решение.

А) Да. Числа $243,324,432$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=\frac{4}{3}\text{,}$ у всех трёх — одинаковое множество цифр $\{2;3;4\}\text{.}$ Также подходят числа $486,648,864$ (тот же $q=\frac{4}{3}\text{,}$ множество цифр $\{4;6;8\}$).

Подробнее. Так как прогрессия возрастающая и все числа меньше $1000\text{,}$ $q>1$ и $q^2<10\text{.}$ Перебор целых $q\in \{2;3\}$ и дробных $q=\frac{n}{m}$ (где $m<n\text{,}$ $q^2<10$) показывает, что множество цифр сохраняется только при $q=\frac{4}{3}$ для указанных троек.

Б) Пусть $a=\overline{xy}=10x+y\text{.}$ Тогда $b=\overline{yx}=10y+x\text{,}$ $c=\overline{xzy}=100x+10z+y\text{,}$ где $x,y,z$ — цифры.

Разность прогрессии: $d=b-a=9(y-x)$ — делится на $9\text{.}$ Тогда $2d=c-a=90x+10z\text{,}$ поэтому $d=45x+5z\text{.}$ Поскольку $d$ кратно $9\text{,}$ и $z$ кратно $9\text{:}$ $z=0$ или $z=9\text{.}$

При $z=9\text{:}$ $d=45x+45=9(y-x)\Rightarrow y=6x+5⩾11$ — невозможно (цифра).

При $z=0\text{:}$ $d=45x=9(y-x)\Rightarrow y=6x\text{.}$ Откуда $x=1\text{,}$ $y=6\text{.}$

Ответ Б): $a=16\text{,}$ $b=61\text{,}$ $c=106\text{,}$ $d=45\text{.}$

В) Пусть 1 января на счётчике стояло число $\overline{abc}\text{.}$ Тогда 1 февраля — $\overline{bca}\text{,}$ 1 марта — $\overline{cab}\text{.}$ По условию (расход в январе равен расходу в феврале):

$$\overline{bca}-\overline{abc}=\overline{cab}-\overline{bca}\iff \overline{abc}+\overline{cab}=2\cdot \overline{bca}.$$

Раскрывая:

$$100a+10b+c+100c+10a+b=200b+20c+2a,$$ $$4a+3c=7b\iff 4(a-b)=3(b-c).$$

Отсюда

$$\{\begin{array}{l}a-b=3t,\\ b-c=4t,\end{array}t\in \mathbb{Z},$$

или $a=b+3t\text{,}$ $c=b-4t\text{.}$

Расход воды положителен, поэтому показания возрастают: $\overline{abc}<\overline{bca}<\overline{cab}\text{,}$ т.е. $a<b<c\text{.}$

При $t>0\text{:}$ $a>b>c$ — противоречие. При $t=0\text{:}$ $a=b=c\text{,}$ нулевой расход — не подходит. При $t=-1\text{:}$ $a=b-3\text{,}$ $c=b+4\text{,}$ и при $b=4\text{:}$ $a=1\text{,}$ $c=8\text{;}$ при $b=5\text{:}$ $a=2\text{,}$ $c=9\text{.}$ Расход $=481-148=333$ или $592-259=333\text{.}$

При $t⩽-2$ значения $a\text{,}$ $b$ или $c$ не помещаются в одну десятичную цифру.

Ответ В): ежемесячный расход воды $333$ кубометра; показания счётчика 1 января, 1 февраля, 1 марта: $148,481,814$ или $259,592,925\text{.}$