Задача №15477

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала $m$ фотографий, а Наташа — $n$ фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

Пусть фотографировали $k$ дней.

Суммы фотографий Маши и Наташи:

$$S_M=km+\frac{k(k-1)}{2},S_N=kn+\frac{k(k-1)}{2}.$$

Разность:

$$S_N-S_M=k(n-m)=1001.$$

а) При $k=7\text{:}$

$$n-m=\frac{1001}{7}=143.$$

Например, возьмём $m=1\text{,}$ $n=144\text{.}$ Тогда:

$$\text{Маша: }1,2,\dots ,7,S_M=28,$$ $$\text{Наташа: }144,145,\dots ,150,S_N=1029,$$

разность $1029-28=1001\text{.}$ Значит, могли.

б) При $k=8\text{:}$

$$n-m=\frac{1001}{8}=125.125\notin \mathbb{Z}.$$

Следовательно, не могут.

в) Из условия, в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий, поэтому $m+(k-1)<40\text{.}$

Так как $k(n-m)=1001\text{,}$ то $k$ — делитель 1001. Делители 1001: 7, 11, 13, 77, \dots

При $k\le 39$ подходят 7, 11, 13.

Для каждого подходящего $k$ максимальное $m$ из условия: $m_{\text{max}}=40-k\text{.}$

Тогда суммарное число фотографий Наташи:

$$S_N=k\left(m+\frac{1001}{k}\right)+\frac{k(k-1)}{2}=km+1001+\frac{k(k-1)}{2}.$$

Вычислим:

$$k=7:m=33,S_N=7\cdot 33+1001+\frac{7\cdot 6}{2}=231+1001+21=1253.$$ $$k=11:m=29,S_N=11\cdot 29+1001+\frac{11\cdot 10}{2}=319+1001+55=1375.$$ $$k=13:m=27,S_N=13\cdot 27+1001+\frac{13\cdot 12}{2}=351+1001+78=1430.$$

Наибольшее значение — 1430.

Ответ:
а) Могли.

б) Не могли.

в) 1430.