Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня. а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней? б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней? в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

Пусть фотографировали k дней. Суммы фотографий Маши и Наташи: S_M = km + (k(k-1))/(2), S_N = kn + (k(k-1))/(2). Разность: S_N - S_M = k(n-m) = 1001. а) При k=7: n - m = (1001)/(7) = 143. Например, возьмём m=1, n=144. Тогда: Маша: 1, 2, , 7, S_M = 28, Наташа: 144, 145, , 150, S_N = 1029, разность 1029 - 28 = 1001. Значит, могли. б) При k=8: n - m = (1001)/(8) = 125.125not in Z. Следовательно, не могут. в) Из условия, в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий, поэтому m + (k-1) < 40. Так как k(n-m) = 1001, то k — делитель 1001. Делители 1001: 7, 11, 13, 77, При k<= 39 подходят 7, 11, 13. Для каждого подходящего k максимальное m из условия: m_(max) = 40 - k. Тогда суммарное число фотографий Наташи: S_N = k( m + (1001)/(k)) + (k(k-1))/(2) = km + 1001 + (k(k-1))/(2). Вычислим: k = 7: m = 33, S_N = 7* 33 + 1001 + (7* 6)/(2) = 231 + 1001 + 21 = 1253. k = 11: m = 29, S_N = 11* 29 + 1001 + (11* 10)/(2) = 319 + 1001 + 55 = 1375. k = 13: m = 27, S_N = 13* 27 + 1001 + (13* 12)/(2) = 351 + 1001 + 78 = 1430. Наибольшее значение — 1430. Ответ: а) Могли. б) Не могли. в) 1430.

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }1430\)