Задача №17309

Бесконечная последовательность $\{a_n\}$ ($n⩾1$), состоящая из натуральных чисел, строится следующим образом. Возьмем любое натуральное число $a$ и пусть $a_1=a\text{.}$ Далее для всех $n⩾2\text{,}$ если $a_{n-1}$ делится на $n\text{,}$ то $a_n=\frac{a_{n-1}}{n}\text{,}$ а если $a_{n-1}$ не делится на $n\text{,}$ то $a_n=a_{n-1}\cdot n\text{.}$ Например, если $a=1\text{,}$ то последовательность такая: $1,2,6,24,120,20,140,1120,10080,1008,\dots \text{.}$

а) Может ли при каком-то начальном значении $a_1=a$ в последовательности на восьмом месте оказаться число 17?
б) Может ли последовательность $\{a_n\}\text{,}$ начиная с некоторого номера $n\text{,}$ только возрастать?
в) Может ли первый элемент $a_1$ появиться в последовательности ещё раз?

а) Чтобы проверить, может ли $a_8=17\text{,}$ попробуем восстановить последовательность в обратном порядке. На каждом шаге $n$ переход $a_{n-1}\to a_n$ определяется делимостью $a_{n-1}$ на $n\text{.}$

1. Если $n=8$ и $a_8=17\text{,}$ то $a_7$ либо равно $17\cdot 8=136$ (так как $136$ делится на $8$), либо $17/8$ (невозможно). Получаем $a_7=136\text{.}$
2. При $n=7$ и $a_7=136\text{:}$ число $136$ не делится на $7$ (так как $136=7\cdot 19+3$). Значит, $a_7=a_6/7\text{,}$ откуда $a_6=136\cdot 7=952\text{.}$
3. При $n=6$ и $a_6=952\text{:}$ число $952$ не делится на $6$ (так как $952=6\cdot 158+4$). Значит, $a_6=a_5/6\text{,}$ откуда $a_5=952\cdot 6=5712\text{.}$
4. При $n=5$ и $a_5=5712\text{:}$ число $5712$ не делится на $5\text{.}$ Значит, $a_5=a_4/5\text{,}$ откуда $a_4=5712\cdot 5=28560\text{.}$
5. При $n=4$ и $a_4=28560\text{:}$ число $28560$ делится на $4\text{.}$ Положим $a_3=28560\cdot 4=114240\text{.}$ Тогда $a_4=114240/4=28560\text{.}$
6. При $n=3$ и $a_3=114240\text{:}$ число $114240$ делится на $3$ (сумма цифр равна 12). Положим $a_2=114240/3=38080\text{.}$ Это число не делится на $3$ (сумма цифр равна 19), поэтому $a_3=38080\cdot 3=114240\text{.}$
7. При $n=2$ и $a_2=38080\text{:}$ число $38080$ чётное. Положим $a_1=38080\cdot 2=76160\text{.}$ Тогда $a_2=76160/2=38080\text{.}$

Таким образом, при $a_1=76160$ восьмым членом последовательности будет 17.

б) Предположим, что последовательность $\{a_n\}$ строго возрастает при $n⩾N\text{.}$ Это означает, что для всех $n⩾N$ число $a_n$ не делится на $n+1\text{,}$ и тогда $a_{n+1}=a_n\cdot (n+1)\text{.}$ Тогда для любого $k⩾1\text{:}$

$$a_{N+k}=a_N\cdot (N+1)\cdot (N+2)\cdot \dots \cdot (N+k).$$

Рассмотрим шаг $k=N+1\text{.}$ Индекс следующего члена последовательности равен $n+1=N+k+1=2N+2=2(N+1)\text{.}$ Произведение $(N+1)\cdot (N+2)\cdot \dots \cdot (2N+1)$ содержит множитель $N+1$ и хотя бы одно чётное число (при $N⩾1$). Следовательно, это произведение делится на $2(N+1)\text{.}$

Тогда $a_{N+k}$ также делится на $2(N+1)\text{.}$ Это означает, что на шаге $n+1=2(N+1)$ должно произойти деление, и $a_{n+1}<a_n\text{,}$ что противоречит предположению о постоянном росте.

Значит, последовательность не может только возрастать.

в) Если $a_n=a_1$ для некоторого $n⩾2\text{,}$ то отношение элементов можно представить в виде:

$$\frac{a_n}{a_1}=\prod _{k=2}^n{k}^{{\epsilon }_k}=1,{\epsilon }_k\in \{1;-1\},$$

где ${\epsilon }_k=1$ соответствует умножению на шаге $k\text{,}$ а ${\epsilon }_k=-1$ — делению. Перенеся множители с отрицательными степенями в другую часть равенства, получим:

$$\prod _{k\in A}k=\prod _{k\in B}k,$$

где $A\cup B=\{2;3;\dots ;n\}$ и $A\cap B=\varnothing \text{.}$ Перемножив левую и правую части, находим:

$$n!=\prod _{k\in A}k\cdot \prod _{k\in B}k={\left(\prod _{k\in A}k\right)}^2.$$

Это означает, что $n!$ должен быть полным квадратом целого числа. Однако согласно постулату Бертрана, для любого $n⩾2$ существует простое число $p\text{,}$ такое что $n/2<p⩽n\text{.}$ Такое число входит в разложение $n!$ ровно в первой степени (так как $2p>n$). Следовательно, $n!$ не может быть квадратом.

Полученное противоречие показывает, что $a_n\ne a_1$ при всех $n⩾2\text{.}$

Ответ:

а) да

б) нет

в) нет