Бесконечная последовательность a_n ( n 1 ), состоящая из натуральных чисел, строится следующим образом. Возьмем любое натуральное число a и пусть a_1 = a . Далее для всех n 2 , если a_(n-1) делится на n , то a_n = (a_(n-1))/(n) , а если a_(n-1) не делится на n , то a_n = a_(n-1) * n . Например, если a = 1 , то последовательность такая: 1, 2, 6, 24, 120, 20, 140, 1120, 10080, 1008, . а) Может ли при каком-то начальном значении a_1 = a в последовательности на восьмом месте оказаться число 17? б) Может ли последовательность a_n , начиная с некоторого номера n , только возрастать? в) Может ли первый элемент a_1 появиться в последовательности ещё раз?

а) Чтобы проверить, может ли a_8 = 17 , попробуем восстановить последовательность в обратном порядке. На каждом шаге n переход a_(n-1) a_n определяется делимостью a_(n-1) на n . 1. Если n = 8 и a_8 = 17 , то a_7 либо равно 17 * 8 = 136 (так как 136 делится на 8 ), либо 17/8 (невозможно). Получаем a_7 = 136 . 2. При n = 7 и a_7 = 136 : число 136 не делится на 7 (так как 136 = 7 * 19 + 3 ). Значит, a_7 = a_6 / 7 , откуда a_6 = 136 * 7 = 952 . 3. При n = 6 и a_6 = 952 : число 952 не делится на 6 (так как 952 = 6 * 158 + 4 ). Значит, a_6 = a_5 / 6 , откуда a_5 = 952 * 6 = 5712 . 4. При n = 5 и a_5 = 5712 : число 5712 не делится на 5 . Значит, a_5 = a_4 / 5 , откуда a_4 = 5712 * 5 = 28560 . 5. При n = 4 и a_4 = 28560 : число 28560 делится на 4 . Положим a_3 = 28560 * 4 = 114240 . Тогда a_4 = 114240 / 4 = 28560 . 6. При n = 3 и a_3 = 114240 : число 114240 делится на 3 (сумма цифр равна 12). Положим a_2 = 114240 / 3 = 38080 . Это число не делится на 3 (сумма цифр равна 19), поэтому a_3 = 38080 * 3 = 114240 . 7. При n = 2 и a_2 = 38080 : число 38080 чётное. Положим a_1 = 38080 * 2 = 76160 . Тогда a_2 = 76160 / 2 = 38080 . Таким образом, при a_1 = 76160 восьмым членом последовательности будет 17. б) Предположим, что последовательность a_n строго возрастает при n N . Это означает, что для всех n N число a_n не делится на n+1 , и тогда a_(n+1) = a_n * (n+1) . Тогда для любого k 1 : a_(N+k) = a_N * (N+1) * (N+2) * * (N+k). Рассмотрим шаг k = N+1 . Индекс следующего члена последовательности равен n+1 = N+k+1 = 2N+2 = 2(N+1) . Произведение (N+1) * (N+2) * * (2N+1) содержит множитель N+1 и хотя бы одно чётное число (при N 1 ). Следовательно, это произведение делится на 2(N+1) . Тогда a_(N+k) также делится на 2(N+1) . Это означает, что на шаге n+1 = 2(N+1) должно произойти деление, и a_(n+1) < a_n , что противоречит предположению о постоянном росте. Значит, последовательность не может только возрастать. в) Если a_n = a_1 для некоторого n 2 , то отношение элементов можно представить в виде: (a_n)/(a_1) = _(k=2)^(n) k^(_k) = 1, _k in 1; -1, где _k = 1 соответствует умножению на шаге k , а _k = -1 — делению. Перенеся множители с отрицательными степенями в другую часть равенства, получим: _(k in A) k = _(k in B) k, где A U B = 2; 3; ; n и A n B = . Перемножив левую и правую части, находим: n! = _(k in A) k * _(k in B) k = ( _(k in A) k )^2. Это означает, что n! должен быть полным квадратом целого числа. Однако согласно постулату Бертрана, для любого n 2 существует простое число p , такое что n/2 < p n . Такое число входит в разложение n! ровно в первой степени (так как 2p > n ). Следовательно, n! не может быть квадратом. Полученное противоречие показывает, что a_n != a_1 при всех n 2 . Ответ: а) да б) нет в) нет

А) да, например a = 76160. Б) нет. В) нет.