Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия a_n состоит из натуральных чисел. а) Может ли при всех чётных n последние цифры элементов a_n быть одинаковыми? б) У элементов a_(17) и a_(20) последние цифры разные, а у элементов a_(27) и a_(62) последние цифры одинаковые. У какого следующего элемента a_n при n > 38 последняя цифра такая же, как и у a_(38) ? в) Первый член прогрессии a_1 = 3 . Две последние цифры элемента a_(12) совпадают с двумя последними цифрами элемента a_n впервые при n = 37 . Есть ли в прогрессии члены, являющиеся квадратами натуральных чисел?

По условию a_n — бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия из натуральных чисел: a_n = a_1 + (n-1)d, a_1, d, n in N. а) Да. Например, при a_1 = 2 и d = 5 получаем прогрессию 2, 7, 12, 17, 22, 27, Чётные члены: a_2 = 7, a_4 = 17, a_6 = 27, — все оканчиваются цифрой 7 . б) Последние цифры a_(27) и a_(62) совпадают тогда и только тогда, когда a_(62) - a_(27) = 35d оканчивается на 0 , то есть 35d делится на 10 . Отсюда 7d делится на 2 , значит d — чётное. Если бы d делилось на 5 , то d делилось бы и на 10 , и все элементы прогрессии оканчивались бы одинаковой цифрой. Но последние цифры a_(17) и a_(20) различны, значит d не делится на 5 . Чтобы последняя цифра a_n совпадала с последней цифрой a_(38) , нужно, чтобы a_n - a_(38) = (n - 38)d делилось на 10 . Так как d чётно и (d, 5) = 1 , требуется (n - 38) 5 . Наименьшее n > 38 с этим свойством: n = 43 . в) Из условия a_(37) - a_(12) = 25d оканчивается на 00 , то есть 25d делится на 100 , значит d делится на 4 . По минимальности n = 37 : если d 8 , то 25 * 8 = 200 , и тогда a_(12) и a_(17) уже совпадали бы по двум последним цифрам, что противоречит первичности при n = 37 . Аккуратное условие: 25d делится на 100 , но никакое kd при 1 k < 25 не делится на 100 . Это даёт d = 4 . Тогда a_n = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1. Это число вида 4n - 1 , всегда нечётное. Допустим, a_n — квадрат натурального числа. Так как a_n нечётно, а квадрат нечётного числа имеет вид (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m+1) + 1, то 4n - 1 = 4m(m+1) + 1 , откуда 4n - 2 = 4m(m+1) , и 2n - 1 = 2m(m+1). Левая часть нечётна, правая — чётна. Противоречие. Значит, прогрессия не содержит квадратов натуральных чисел. Ответ: а) Да б) 43 в) Нет

А) Да; Б) $43$; В) Нет