Задача №16864

Бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ состоит из натуральных чисел.

а) Может ли при всех чётных $n$ последние цифры элементов $a_n$ быть одинаковыми?

б) У элементов $a_{17}$ и $a_{20}$ последние цифры разные, а у элементов $a_{27}$ и $a_{62}$ последние цифры одинаковые. У какого следующего элемента $a_n$ при $n>38$ последняя цифра такая же, как и у $a_{38}\text{?}$

в) Первый член прогрессии $a_1=3\text{.}$ Две последние цифры элемента $a_{12}$ совпадают с двумя последними цифрами элемента $a_n$ впервые при $n=37\text{.}$ Есть ли в прогрессии члены, являющиеся квадратами натуральных чисел?

По условию $\{a_n\}$ — бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия из натуральных чисел:

$$a_n=a_1+(n-1)d,a_1,d,n\in \mathbb{N}.$$

а) Да. Например, при $a_1=2$ и $d=5$ получаем прогрессию

$$2,7,12,17,22,27,\dots$$

Чётные члены: $a_2=7,a_4=17,a_6=27,\dots$ — все оканчиваются цифрой $7\text{.}$

б) Последние цифры $a_{27}$ и $a_{62}$ совпадают тогда и только тогда, когда $a_{62}-a_{27}=35d$ оканчивается на $0\text{,}$ то есть $35d$ делится на $10\text{.}$ Отсюда $7d$ делится на $2\text{,}$ значит $d$ — чётное.

Если бы $d$ делилось на $5\text{,}$ то $d$ делилось бы и на $10\text{,}$ и все элементы прогрессии оканчивались бы одинаковой цифрой. Но последние цифры $a_{17}$ и $a_{20}$ различны, значит $d$ не делится на $5\text{.}$

Чтобы последняя цифра $a_n$ совпадала с последней цифрой $a_{38}\text{,}$ нужно, чтобы $a_n-a_{38}=(n-38)d$ делилось на $10\text{.}$ Так как $d$ чётно и $\gcd (d,5)=1\text{,}$ требуется $(n-38)⋮5\text{.}$

Наименьшее $n>38$ с этим свойством: $n=43\text{.}$

в) Из условия $a_{37}-a_{12}=25d$ оканчивается на $00\text{,}$ то есть $25d$ делится на $100\text{,}$ значит $d$ делится на $4\text{.}$

По минимальности $n=37\text{:}$ если $d⩾8\text{,}$ то $25\cdot 8=200\text{,}$ и тогда $a_{12}$ и $a_{17}$ уже совпадали бы по двум последним цифрам, что противоречит первичности при $n=37\text{.}$ Аккуратное условие: $25d$ делится на $100\text{,}$ но никакое $kd$ при $1⩽k<25$ не делится на $100\text{.}$ Это даёт $d=4\text{.}$

Тогда

$$a_n=3+4(n-1)=4n-1.$$

Это число вида $4n-1\text{,}$ всегда нечётное. Допустим, $a_n$ — квадрат натурального числа. Так как $a_n$ нечётно, а квадрат нечётного числа имеет вид

$$(2m+1{)}^2=4m^2+4m+1=4m(m+1)+1,$$

то $4n-1=4m(m+1)+1\text{,}$ откуда $4n-2=4m(m+1)\text{,}$ и

$$2n-1=2m(m+1).$$

Левая часть нечётна, правая — чётна. Противоречие.

Значит, прогрессия не содержит квадратов натуральных чисел.

Ответ:

а) Да

б) $43$

в) Нет