Изобретатель-самоучка Акакий Шестеренкин взял у сурового ростовщика Порфирия Кровопийцева кредит на S рублей на срок n месяцев. Условия Порфирия безжалостны: — каждый месяц долг Акакия возрастает на 50% по сравнению с концом предыдущего месяца; — после этого Акакий приносит платеж (строго в целых рублях, сдачи Порфирий не дает); — долг должен погашаться дифференцированно: каждый месяц после платежа остаток долга должен быть на одну и ту же величину (S)/(n) меньше долга на конец предыдущего месяца. Известно, что ни в один из месяцев Акакию не пришлось делить рубли на копейки (все ежемесячные платежи — целые числа). Пусть M — общая сумма рублей, выплаченная за n месяцев. А) Могло ли оказаться так, что общая сумма выплат M ровно в 2 раза превысила размер займа S ? Б) Акакий подсчитал, что число M является простым. Возможно ли это при n>1 ? В) Найдите все возможные значения суммы займа S , если известно, что срок кредита n>2 , разность между первым и вторым платежом составила ровно 1 рубль, а общая сумма выплат M в точности равна квадрату некоторого простого числа.

Обозначим D_k — остаток долга в конце k -го месяца после платежа, D_0 = S . По условию D_k = D_(k-1) - (S)/(n) , значит D_k = (S(n-k))/(n), D_n = 0. Платёж в месяц k — это 1,5 * D_(k-1) - D_k : P_k = (3)/(2)* (S(n-k+1))/(n) - (S(n-k))/(n) = (S(n-k+3))/(2n). Суммируем: M = _(k=1)^(n) P_k = (S)/(2n)_(k=1)^(n)(n-k+3) = (S)/(2n)*(n(n+5))/(2) = (S(n+5))/(4). Условие целочисленности. P_k = (S(n-k+3))/(2n) должно быть целым для всех k in 1,,n , т.е. 2n S * j для всех j in 3,4,,n+2 . Взяв j = 3 и j = 4 (взаимно простые): 2n 4S - 3S = S . Значит S = 2nm для некоторого m in N . Обратно, при S = 2nm платежи P_k = m(n-k+3) — целые. Тогда M = (2nm(n+5))/(4) = (nm(n+5))/(2) (целое, так как одно из n, n+5 чётно). А) Может ли M = 2S ? (S(n+5))/(4) = 2S <=> n + 5 = 8 <=> n = 3 . Пример: n = 3 , m = 1 , S = 6 . Проверка: P_1 = 1 * 5 = 5 , P_2 = 4 , P_3 = 3 . Остатки: D_1 = 4 , D_2 = 2 , D_3 = 0 . Итого M = 12 = 2 * 6 . Ответ А: да, может (например, n = 3 , S = 6 ). Б) Простое ли M при n > 1 ? При n = 2 , m = 1 , S = 4 : M = (2 * 1 * 7)/(2) = 7 — простое. Проверка: P_1 = 1 * (2 - 1 + 3) = 4 , P_2 = 1 * 3 = 3 . Остаток: D_0 = 4 6 - 4 = 2 = D_1 , D_1 = 2 3 - 3 = 0 . Итого M = 7 — простое. Ответ Б: да, возможно (например, n = 2 , S = 4 ). В) n > 2 , P_1 - P_2 = 1 , M = p^2 — квадрат простого. Разность платежей: P_1 - P_2 = (S(n+2) - S(n+1))/(2n) = (S)/(2n). Условие (S)/(2n) = 1 => S = 2n (т.е. m = 1 ). Тогда M = (n(n+5))/(2) = p^2 . Ищем n > 2 , при котором n(n+5) = 2 p^2 и p — простое. Заметим: одно из n, n+5 чётно, другое нечётно. Рассмотрим случаи. Случай n нечётно, n+5 чётно. Тогда n * (n+5)/(2) = p^2 . Пусть j = (n+5)/2 . Имеем (n, j) (n,2j - n) = (n, 5) . 1. Если (n, 5) = 1 , то (n,j) = 1 , n j = p^2 , n, j = 1,p^2 . Подбор: n = 1 даёт j = 3 , p^2 = 3 — нет; n = p^2 , j = 1 => n + 5 = 2 — невозможно. 2. Если 5 n , n = 5l ( l нечётно), n+5 = 5(l+1) , l+1 = 2s . Получим 25 l s = p^2 , (l, s) = 1 . Значит 5 p , p = 5q , q^2 = l s . l и s — взаимно простые квадраты: l = a^2 , s = b^2 , a^2 + 1 = 2 b^2 . Решения уравнения a^2 - 2b^2 = -1 (Пелля): (a, b) = (1, 1),(7, 5),(41, 29), 1. (a,b) = (1,1) : l = 1 , s = 1 , q = 1 , p = 5 — простое; n = 5l = 5 > 2 , S = 2n = 10 , M = 25 = 5^2 . Подходит. 2. (a,b) = (7,5) : l = 49 , s = 25 , q = 7 * 5 = 35 , p = 5 * 35 = 175 = 5^2 * 7 — не простое. 3. (a,b) = (41,29) : p = 5 * 41 * 29 = 5945 — не простое. В общем для (a, b) с a > 1 : p = 5 a b имеет три множителя — не простое. Случай n чётно, n = 2k . Тогда k(2k+5) = p^2 , (k,2k+5) in 1; 5 . 1. = 1 : k,2k+5 = 1,p^2 . k = 1 : 2k+5 = 7 = p^2 — нет. 2. = 5 : k = 5l , 2k+5 = 5(2l+1) , 25 l(2l+1) = p^2 , (l,2l+1)=1 . 5 p , p = 5q , q^2 = l(2l+1) , l = m^2 , 2l+1 = c^2 , т.е. c^2 - 2m^2 = 1 (Пелля): (m,c) = (0,1),(2,3),(12,17), При m = 0 : l = 0 — недопустимо ( S = 0 ). При m = 2 : l = 4 , c = 3 , q = 6 , p = 30 — не простое. Дальше p растёт и составное. Итого единственное решение: n = 5 , S = 10 , M = 25 = 5^2 . Ответ: А) Да, может (например, n = 3 , S = 6 , тогда M = 12 = 2S ). Б) Да, возможно (например, n = 2 , S = 4 , тогда M = 7 ). В) S = 10 .

А) да (например n=3, S=6); Б) да (например n=2, S=4); В) S = 10