58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tafc,Неравенство \(\cos x-\sqrt{2}\cos 2x+\sin x\leqslant 0\) определено при всех \(x\) (ограничений ОДЗ нет). **Шаг 1. Разложение на множители.** Используем \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\). Тогда \[\cos x+\sin x-\sqrt{2}(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=(\cos x+\sin x)\bigl(1-\sqrt{2}(\cos x-\sin x)\bigr).\] Далее применим формулы вспомогательного аргумента: \(\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\) и \(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\). Поэтому исходное выражение равно \[\sqrt{2}\,\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\Bigl(1-2\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)\Bigr).\] **Шаг 2. Замена.** Положим \(u=x+\dfrac{\pi}{4}\). Поскольку \(\sqrt{2}>0\), неравенство равносильно \[\sin u\,\bigl(1-2\cos u\bigr)\leqslant 0.\] **Шаг 3. Нули множителей и знаки.** Множитель \(\sin u\) обращается в нуль при \(u=\pi k\); множитель \(1-2\cos u\) — при \(\cos u=\dfrac12\), то есть \(u=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\). Рассмотрим один период \(u\in\left[-\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{3}\right)\): | \(u\) | \(\sin u\) | \(1-2\cos u\) | |---|---|---| | \(\left(-\tfrac{\pi}{3},0\right)\) | \(-\) | \(-\) | | \(\left(0,\tfrac{\pi}{3}\right)\) | \(+\) | \(-\) | | \(\left(\tfrac{\pi}{3},\pi\right)\) | \(+\) | \(+\) | | \(\left(\pi,\tfrac{5\pi}{3}\right)\) | \(-\) | \(+\) | Произведение неположительно (\(\leqslant 0\)) на промежутках, где знаки множителей различны или хотя бы один множитель равен нулю, то есть при \[u\in\Bigl[0,\ \tfrac{\pi}{3}\Bigr]\quad\text{и}\quad u\in\Bigl[\pi,\ \tfrac{5\pi}{3}\Bigr]\pmod{2\pi}.\] (Концы включаются, так как в них произведение равно нулю, а неравенство нестрогое.) **Шаг 4. Возврат к \(x\).** Вычитая \(\dfrac{\pi}{4}\), получаем \(x=u-\dfrac{\pi}{4}\): \[u\in\Bigl[0,\tfrac{\pi}{3}\Bigr]+2\pi n\ \Rightarrow\ x\in\Bigl[-\tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3}-\tfrac{\pi}{4}\Bigr]+2\pi n=\Bigl[-\tfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \tfrac{\pi}{12}+2\pi n\Bigr],\] \[u\in\Bigl[\pi,\tfrac{5\pi}{3}\Bigr]+2\pi n\ \Rightarrow\ x\in\Bigl[\pi-\tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{5\pi}{3}-\tfrac{\pi}{4}\Bigr]+2\pi n=\Bigl[\tfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ \tfrac{17\pi}{12}+2\pi n\Bigr].\] **Ответ:** \(x\in\left[\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{17\pi}{12}+2\pi n\right]\cup\left[-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{12}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.\)5c:Te94,Требуется найти все \(x\), при которых \[f(x)=\frac{2\cos\dfrac{\pi(15+x)}{6}+1}{\sqrt{14+5x-x^2}}>0.\] **Область определения.** Подкоренное выражение должно быть строго положительным (под корнем оно не может быть нулём, иначе знаменатель обращается в нуль): \[14+5x-x^2>0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-5x-14<0\quad\Longleftrightarrow\quad (x-7)(x+2)<0,\] откуда ОДЗ: \(-20\) равносильно системе \[\begin{cases} -20.\end{cases}\] **Упрощение числителя.** Раскроем аргумент косинуса: \[\frac{\pi(15+x)}{6}=\frac{15\pi}{6}+\frac{\pi x}{6}=\frac{5\pi}{2}+\frac{\pi x}{6}.\] Так как \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{2}+t\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t\), получаем \[\cos\frac{\pi(15+x)}{6}=-\sin\frac{\pi x}{6}.\] Тогда числитель равен \(2\cos\dfrac{\pi(15+x)}{6}+1=1-2\sin\dfrac{\pi x}{6}\), и условие на числитель принимает вид \[1-2\sin\frac{\pi x}{6}>0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin\frac{\pi x}{6}<\frac12.\] **Решение тригонометрического неравенства на ОДЗ.** Сделаем замену \(t=\dfrac{\pi x}{6}\). При \(x\in(-2,7)\) переменная пробегает интервал \[t\in\left(-\frac{\pi}{3},\,\frac{7\pi}{6}\right).\] Решим \(\sin t<\dfrac12\) на этом промежутке. Равенство \(\sin t=\dfrac12\) внутри интервала достигается в двух точках: \[t=\frac{\pi}{6}\quad(x=1)\qquad\text{и}\qquad t=\frac{5\pi}{6}\quad(x=5).\] На участке \(t\in\left(-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{6}\right)\) синус возрастает от \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\) до \(\dfrac12\), оставаясь меньше \(\dfrac12\) — неравенство выполнено. На участке \(t\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right)\) синус принимает значения \(\ge\dfrac12\) (на отрезке между этими точками \(\sin t\ge\frac12\)) — неравенство нарушено. На участке \(t\in\left(\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6}\right)\) синус убывает ниже \(\dfrac12\) — неравенство снова выполнено. Возвращаясь к \(x\) (множитель \(\dfrac{6}{\pi}\) положителен, поэтому порядок сохраняется), получаем: числитель положителен при \[x\in(-2,1)\cup(5,7).\] **Проверка краёв.** В точках \(x=1\) и \(x=5\) числитель обращается в нуль, значит \(f=0\) — эти точки не входят (нужна строгая положительность). В точках \(x=-2\) и \(x=7\) нарушена ОДЗ. Все границы исключаются, интервалы открытые. Знак функции по подынтервалам ОДЗ: | интервал | \(\sin\frac{\pi x}{6}\) vs \(\frac12\) | числитель | \(f(x)\) | |---|---|---|---| | \((-2,1)\) | \(<\frac12\) | \(>0\) | \(>0\) | | \((1,5)\) | \(>\frac12\) | \(<0\) | \(<0\) | | \((5,7)\) | \(<\frac12\) | \(>0\) | \(>0\) | **Ответ:** \((-2,1)\cup(5,7)\).5d:Tc09,Решаем неравенство \(\sin x+\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cos 2x+\cos x\leqslant 0\). **Область определения.** Левая часть определена при всех \(x\in\mathbb{R}\) (нет логарифмов, корней из переменных выражений или знаменателей), так что ОДЗ \(=\mathbb{R}\). Функция периодична с периодом \(2\pi\). **Разложение на множители.** Используем \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\): \[\sin x+\cos x+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=(\sin x+\cos x)\left(1+\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x-\sin x)\right).\] **Приведение к одному аргументу.** Подстановка \(t=x+\dfrac{\pi}{4}\): \[\sin x+\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\,\sin t,\qquad \cos x-\sin x=\sqrt{2}\,\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\,\cos t.\] Тогда левая часть равна \[\sqrt{2}\,\sin t\cdot\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\cos t\right).\] Так как \(\sqrt{2}>0\), неравенство равносильно \[\sin t\cdot\left(1+\frac{2}{\sqrt{3}}\cos t\right)\leqslant 0.\] **Знаки множителей** (один период \(t\in[-\pi,\pi]\)): \(\sin t=0\) при \(t=0,\pm\pi\); \(\sin t<0\) на \((-\pi,0)\), \(\sin t>0\) на \((0,\pi)\). \(1+\dfrac{2}{\sqrt3}\cos t=0\iff\cos t=-\dfrac{\sqrt3}{2}\iff t=\pm\dfrac{5\pi}{6}\); множитель \(>0\) при \(|t|<\dfrac{5\pi}{6}\) и \(<0\) при \(\dfrac{5\pi}{6}<|t|\leqslant\pi\). Знак произведения по интервалам \([-\pi,\pi]\): \((-\pi,-\tfrac{5\pi}{6})\): \((-)(-)=+\); \((-\tfrac{5\pi}{6},0)\): \((-)(+)=-\); \((0,\tfrac{5\pi}{6})\): \((+)(+)=+\); \((\tfrac{5\pi}{6},\pi)\): \((+)(-)=-\). Значит, с учётом периода \(2\pi\), произведение \(\leqslant 0\) (нестрого, концы включены, в них значение \(=0\)) при \[t\in\left[-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ 2\pi n\right]\cup\left[\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\ \pi+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.\] **Возврат к \(x=t-\dfrac{\pi}{4}\).** Вычитая \(\dfrac{\pi}{4}\) из концов: \[-\tfrac{5\pi}{6}-\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{13\pi}{12},\quad 0-\tfrac{\pi}{4}=-\tfrac{\pi}{4},\quad \tfrac{5\pi}{6}-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{7\pi}{12},\quad \pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}.\] Получаем ответ: \[x\in\left[-\tfrac{13\pi}{12}+2\pi n,\ -\tfrac{\pi}{4}+2\pi n\right]\cup\left[\tfrac{7\pi}{12}+2\pi n,\ \tfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.\] **Проверка краёв/посторонних корней.** Концы интервалов — нули левой части (\(f=0\)), и так как неравенство нестрогое, они входят в ответ; посторонних корней нет, поскольку преобразование (разложение и переход к \(t\)) равносильно на всём \(\mathbb{R}\).5e:Tdbe,Решаем неравенство \(\cos x-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cos 2x-\sin x\geqslant 0\). Используем \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\). Тогда левая часть содержит общий множитель \(\cos x-\sin x\): \[\cos x-\sin x-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,\cos 2x=(\cos x-\sin x)\left(1-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,(\cos x+\sin x)\right).\] Введём вспомогательный угол \(t=x+\dfrac{\pi}{4}\). Тогда \[\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos t,\qquad \cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin t.\] Подставляя и учитывая \(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\sqrt{2}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\), получаем \[\sqrt{2}\,\cos t\left(1-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\sin t\right)\geqslant 0\ \Longleftrightarrow\ \cos t\left(1-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\sin t\right)\geqslant 0,\] так как \(\sqrt{2}>0\). Все преобразования равносильны: \(t\) пробегает всю прямую, ОДЗ совпадает с \(\mathbb{R}\) (тригонометрические функции определены всюду), посторонних корней деление/умножение на положительную постоянную не вносит. Анализируем знаки сомножителей на периоде \(t\in[0,2\pi)\) (функция \(2\pi\)-периодична). Множитель \(A=\cos t\geqslant 0\) на \(\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]\cup\left[\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right)\) и \(A<0\) на \(\left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\right)\). Множитель \(B=1-\tfrac{2}{\sqrt{3}}\sin t\geqslant 0\Leftrightarrow \sin t\leqslant\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). На периоде \(\sin t>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) только на \(\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}\right)\), поэтому \(B\geqslant 0\) на \(\left[0,\tfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\tfrac{2\pi}{3},2\pi\right)\) и \(B<0\) на \(\left(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}\right)\). Произведение \(A\cdot B\geqslant 0\) там, где оба множителя одного знака (или хотя бы один равен нулю). Контрольные точки разбиения \(\left\{\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{3\pi}{2}\right\}\) дают: \[A B\geqslant 0\ \text{при}\ t\in\left[0,\tfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3}\right]\cup\left[\tfrac{3\pi}{2},2\pi\right].\] Концы включены, поскольку неравенство нестрогое (в точках \(t=\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{3\pi}{2}\) произведение равно нулю). Объединяя крайние куски через \(0\equiv 2\pi\), запишем решение по \(t\) (mod \(2\pi\)) симметрично: \[t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3}\right]\ (\mathrm{mod}\ 2\pi).\] Возвращаясь к \(x=t-\dfrac{\pi}{4}\): \[t\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{3}\right]\Rightarrow x\in\left[-\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{\pi}{12}\right],\qquad t\in\left[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3}\right]\Rightarrow x\in\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{12}\right].\] С учётом периодичности \(2\pi n\): \[\boxed{\,x\in\left[-\tfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ \tfrac{\pi}{12}+2\pi n\right]\cup\left[\tfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \tfrac{5\pi}{12}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb{Z}.}\]5f:T1636,Нужно найти все \(x\in[0;\pi]\), при которых выражения \[\operatorname{tg}x\qquad\text{и}\qquad \frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x\] имеют разные знаки, то есть при которых их произведение строго отрицательно (и оба выражения при этом определены). **Область определения.** Тангенс не определён при \(\cos x=0\), то есть при \(x=\dfrac{\pi}{2}\). Второе выражение не определено при \(\cos 2x=0\), то есть при \(2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), что на \([0;\pi]\) даёт \(x=\dfrac{\pi}{4}\) и \(x=\dfrac{3\pi}{4}\). Все эти точки из рассмотрения исключаются. **Преобразование второго выражения.** Приведём к общему знаменателю: \[\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x=\frac{1-2\cos^2 2x}{\cos 2x}.\] Так как \(2\cos^2 2x-1=\cos 4x\), числитель равен \(1-2\cos^2 2x=-\cos 4x\), поэтому \[\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x=-\frac{\cos 4x}{\cos 2x}.\] **Сведение к произведению.** Условие «разные знаки» равносильно неравенству \[\operatorname{tg}x\cdot\left(-\frac{\cos 4x}{\cos 2x}\right)<0,\qquad\text{то есть}\qquad \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos 4x}{\cos 2x}>0.\] (Множитель \(-1\) перенесён в правую часть, знак неравенства изменился.) На отрезке \([0;\pi]\) имеем \(\sin x\ge 0\), причём \(\sin x=0\) лишь в концах \(x=0\) и \(x=\pi\) — там \(\operatorname{tg}x=0\), знаков «разных» быть не может, эти точки исключаем. Внутри \((0;\pi)\) множитель \(\sin x>0\), поэтому неравенство равносильно \[\frac{\cos 4x}{\cos x\,\cos 2x}>0.\] **Расстановка знаков.** На \((0;\pi)\) рассмотрим знаки трёх множителей. Знаменатель \(\cos x\): положителен на \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\), отрицателен на \(\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\). Множитель \(\cos 2x\): нули в \(x=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\); положителен на \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) и \(\left(\dfrac{3\pi}{4};\pi\right)\), отрицателен на \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right)\). Числитель \(\cos 4x\): нули в точках \(4x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), то есть \(x=\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\); положителен на \(\left(0;\dfrac{\pi}{8}\right),\left(\dfrac{3\pi}{8};\dfrac{5\pi}{8}\right),\left(\dfrac{7\pi}{8};\pi\right)\) и отрицателен на \(\left(\dfrac{\pi}{8};\dfrac{3\pi}{8}\right),\left(\dfrac{5\pi}{8};\dfrac{7\pi}{8}\right)\). Все «особые» точки \(0,\dfrac{\pi}{8},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{8},\pi\) разбивают отрезок на восемь интервалов. Определим на каждом знак дроби \(\dfrac{\cos 4x}{\cos x\,\cos 2x}\) (берём по пробной точке — середине интервала): | Интервал | \(\cos 4x\) | \(\cos x\) | \(\cos 2x\) | дробь | разные знаки? | |---|---|---|---|---|---| | \((0;\tfrac{\pi}{8})\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | да | | \((\tfrac{\pi}{8};\tfrac{\pi}{4})\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | нет | | \((\tfrac{\pi}{4};\tfrac{3\pi}{8})\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | да | | \((\tfrac{3\pi}{8};\tfrac{\pi}{2})\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | нет | | \((\tfrac{\pi}{2};\tfrac{5\pi}{8})\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | да | | \((\tfrac{5\pi}{8};\tfrac{3\pi}{4})\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | нет | | \((\tfrac{3\pi}{4};\tfrac{7\pi}{8})\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | да | | \((\tfrac{7\pi}{8};\pi)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | нет | Дробь положительна (значит, исходные выражения имеют разные знаки) на четырёх интервалах: \[\left(0;\frac{\pi}{8}\right),\quad\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{8}\right),\quad\left(\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{8}\right),\quad\left(\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{8}\right).\] **Концевые точки.** В точках \(x=\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\) числитель \(\cos 4x=0\), поэтому второе выражение равно нулю — знаков «разных» нет. В точках \(x=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\) второе выражение не определено, в точке \(x=\dfrac{\pi}{2}\) не определён тангенс, а в концах \(x=0,\pi\) тангенс равен нулю. Все границы исключаются, поэтому интервалы открытые. **Ответ.** \[\boxed{\,x\in\left(0;\frac{\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{8}\right).\,}\] Эти четыре интервала компактно записываются как \[\frac{\pi n}{4}=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]