Задача №17898

Решите неравенство $\cos x-\sqrt{2}\cos 2x+\sin x⩽0\text{.}$

Неравенство $\cos x-\sqrt{2}\cos 2x+\sin x⩽0$ определено при всех $x$ (ограничений ОДЗ нет).

Шаг 1. Разложение на множители. Используем $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\text{.}$ Тогда

Далее применим формулы вспомогательного аргумента: $\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ и $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\text{.}$ Поэтому исходное выражение равно

Шаг 2. Замена. Положим $u=x+\frac{\pi }{4}\text{.}$ Поскольку $\sqrt{2}>0\text{,}$ неравенство равносильно

Шаг 3. Нули множителей и знаки. Множитель $\sin u$ обращается в нуль при $u=\pi k\text{;}$ множитель $1-2\cos u$ — при $\cos u=\frac{1}{2}\text{,}$ то есть $u=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\text{.}$ Рассмотрим один период $u\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right)\text{:}$

Произведение неположительно ($⩽0$) на промежутках, где знаки множителей различны или хотя бы один множитель равен нулю, то есть при

(Концы включаются, так как в них произведение равно нулю, а неравенство нестрогое.)

Шаг 4. Возврат к $x\text{.}$ Вычитая $\frac{\pi }{4}\text{,}$ получаем $x=u-\frac{\pi }{4}\text{:}$

Ответ: $x\in \left[\frac{3\pi }{4}+2\pi n,\frac{17\pi }{12}+2\pi n\right]\cup \left[-\frac{\pi }{4}+2\pi n,\frac{\pi }{12}+2\pi n\right],n\in \mathbb{Z}.$