Задача №18695

Решите неравенство

$$\sqrt{4-5\sin x}<-\sqrt{2}\cos x.$$

Для существования левой части и положительности правой части необходимы условия

$$\sin x⩽\frac{4}{5},\cos x<0.$$

При этих условиях обе части можно возвести в квадрат:

$$4-5\sin x<2{\cos }^{2}x.$$

Положив $t=\sin x$ и используя ${\cos }^{2}x=1-t^2\text{,}$ получаем

$$2t^2-5t+2<0,$$ $$(2t-1)(t-2)<0.$$

С учётом $-1⩽t⩽1$ и области определения имеем

$$\frac{1}{2}<\sin x⩽\frac{4}{5},\cos x<0.$$

Это возможно только во второй четверти. Поэтому

$$x\in \left[\pi -\arcsin \frac{4}{5}+2\pi k;\frac{5\pi }{6}+2\pi k\right),k\in \mathbb{Z}.$$