Задача №17906

Решите неравенство $\cos x-\sqrt{\frac{2}{3}}\cos 2x-\sin x⩾0\text{.}$

Решаем неравенство $\cos x-\sqrt{\frac{2}{3}}\cos 2x-\sin x⩾0\text{.}$

Используем $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\text{.}$ Тогда левая часть содержит общий множитель $\cos x-\sin x\text{:}$

Введём вспомогательный угол $t=x+\frac{\pi }{4}\text{.}$ Тогда

Подставляя и учитывая $\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\text{,}$ получаем

так как $\sqrt{2}>0\text{.}$ Все преобразования равносильны: $t$ пробегает всю прямую, ОДЗ совпадает с $\mathbb{R}$ (тригонометрические функции определены всюду), посторонних корней деление/умножение на положительную постоянную не вносит.

Анализируем знаки сомножителей на периоде $t\in [0,2\pi )$ (функция $2\pi$-периодична).

Множитель $A=\cos t⩾0$ на $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\cup \left[\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ и $A<0$ на $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)\text{.}$

Множитель $B=1-\frac{2}{\sqrt{3}}\sin t⩾0\iff \sin t⩽\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ На периоде $\sin t>\frac{\sqrt{3}}{2}$ только на $\left(\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)\text{,}$ поэтому $B⩾0$ на $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]\cup \left[\frac{2\pi }{3},2\pi \right)$ и $B<0$ на $\left(\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)\text{.}$

Произведение $A\cdot B⩾0$ там, где оба множителя одного знака (или хотя бы один равен нулю). Контрольные точки разбиения $\left\{\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{2}\right\}$ дают:

Концы включены, поскольку неравенство нестрогое (в точках $t=\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{2}$ произведение равно нулю). Объединяя крайние куски через $0\equiv 2\pi \text{,}$ запишем решение по $t$ (mod $2\pi$) симметрично:

Возвращаясь к $x=t-\frac{\pi }{4}\text{:}$

С учётом периодичности $2\pi n\text{:}$