Найти все значения xin[0;pi], при которых выражения tgx и (1)/(cos 2x)-2cos 2x имеют разные знаки.

Нужно найти все xin[0;pi], при которых выражения tgx и (1)/(cos 2x)-2cos 2x имеют разные знаки, то есть при которых их произведение строго отрицательно (и оба выражения при этом определены). **Область определения.** Тангенс не определён при cos x=0, то есть при x=(pi)/(2). Второе выражение не определено при cos 2x=0, то есть при 2x=(pi)/(2)+pi k, что на [0;pi] даёт x=(pi)/(4) и x=(3pi)/(4). Все эти точки из рассмотрения исключаются. **Преобразование второго выражения.** Приведём к общему знаменателю: (1)/(cos 2x)-2cos 2x=(1-2cos^2 2x)/(cos 2x). Так как 2cos^2 2x-1=cos 4x, числитель равен 1-2cos^2 2x=-cos 4x, поэтому (1)/(cos 2x)-2cos 2x=-(cos 4x)/(cos 2x). **Сведение к произведению.** Условие «разные знаки» равносильно неравенству tgx*(-(cos 4x)/(cos 2x))<0, то есть (sin x)/(cos x)*(cos 4x)/(cos 2x)>0. (Множитель -1 перенесён в правую часть, знак неравенства изменился.) На отрезке [0;pi] имеем sin x>= 0, причём sin x=0 лишь в концах x=0 и x=pi — там tgx=0, знаков «разных» быть не может, эти точки исключаем. Внутри (0;pi) множитель sin x>0, поэтому неравенство равносильно (cos 4x)/(cos xcos 2x)>0. **Расстановка знаков.** На (0;pi) рассмотрим знаки трёх множителей. Знаменатель cos x: положителен на (0;(pi)/(2)), отрицателен на ((pi)/(2);pi). Множитель cos 2x: нули в x=(pi)/(4),(3pi)/(4); положителен на (0;(pi)/(4)) и ((3pi)/(4);pi), отрицателен на ((pi)/(4);(3pi)/(4)). Числитель cos 4x: нули в точках 4x=(pi)/(2)+pi k, то есть x=(pi)/(8),(3pi)/(8),(5pi)/(8),(7pi)/(8); положителен на (0;(pi)/(8)),((3pi)/(8);(5pi)/(8)),((7pi)/(8);pi) и отрицателен на ((pi)/(8);(3pi)/(8)),((5pi)/(8);(7pi)/(8)). Все «особые» точки 0,(pi)/(8),(pi)/(4),(3pi)/(8),(pi)/(2),(5pi)/(8),(3pi)/(4),(7pi)/(8),pi разбивают отрезок на восемь интервалов. Определим на каждом знак дроби (cos 4x)/(cos xcos 2x) (берём по пробной точке — середине интервала): | Интервал | cos 4x | cos x | cos 2x | дробь | разные знаки? | |---|---|---|---|---|---| | (0;(pi)/(8)) | + | + | + | + | да | | ((pi)/(8);(pi)/(4)) | - | + | + | - | нет | | ((pi)/(4);(3pi)/(8)) | - | + | - | + | да | | ((3pi)/(8);(pi)/(2)) | + | + | - | - | нет | | ((pi)/(2);(5pi)/(8)) | + | - | - | + | да | | ((5pi)/(8);(3pi)/(4)) | - | - | - | - | нет | | ((3pi)/(4);(7pi)/(8)) | - | - | + | + | да | | ((7pi)/(8);pi) | + | - | + | - | нет | Дробь положительна (значит, исходные выражения имеют разные знаки) на четырёх интервалах: (0;(pi)/(8)), ((pi)/(4);(3pi)/(8)), ((pi)/(2);(5pi)/(8)), ((3pi)/(4);(7pi)/(8)). **Концевые точки.** В точках x=(pi)/(8),(3pi)/(8),(5pi)/(8),(7pi)/(8) числитель cos 4x=0, поэтому второе выражение равно нулю — знаков «разных» нет. В точках x=(pi)/(4),(3pi)/(4) второе выражение не определено, в точке x=(pi)/(2) не определён тангенс, а в концах x=0,pi тангенс равен нулю. Все границы исключаются, поэтому интервалы открытые. **Ответ.** xin(0;(pi)/(8))U((pi)/(4);(3pi)/(8))U((pi)/(2);(5pi)/(8))U((3pi)/(4);(7pi)/(8)). Эти четыре интервала компактно записываются как (pi n)/(4)<x<(pi)/(8)+(pi n)/(4), n=0,1,2,3. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(x\in\left(0;\frac{\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{8}\right)\)