Задача №18086

Найти все значения $x\in [0;\pi ]\text{,}$ при которых выражения

$$\mathrm{tg}x\text{и}\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x$$

имеют разные знаки.

Нужно найти все $x\in [0;\pi ]\text{,}$ при которых выражения

$$\mathrm{tg}x\text{и}\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x$$

имеют разные знаки, то есть при которых их произведение строго отрицательно (и оба выражения при этом определены).

Область определения. Тангенс не определён при $\cos x=0\text{,}$ то есть при $x=\frac{\pi }{2}\text{.}$ Второе выражение не определено при $\cos 2x=0\text{,}$ то есть при $2x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{,}$ что на $[0;\pi ]$ даёт $x=\frac{\pi }{4}$ и $x=\frac{3\pi }{4}\text{.}$ Все эти точки из рассмотрения исключаются.

Преобразование второго выражения. Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x=\frac{1-2{\cos }^{2}2x}{\cos 2x}.$$

Так как $2{\cos }^{2}2x-1=\cos 4x\text{,}$ числитель равен $1-2{\cos }^{2}2x=-\cos 4x\text{,}$ поэтому

$$\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x=-\frac{\cos 4x}{\cos 2x}.$$

Сведение к произведению. Условие «разные знаки» равносильно неравенству

$$\mathrm{tg}x\cdot \left(-\frac{\cos 4x}{\cos 2x}\right)<0,\text{то есть}\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{\cos 4x}{\cos 2x}>0.$$

(Множитель $-1$ перенесён в правую часть, знак неравенства изменился.) На отрезке $[0;\pi ]$ имеем $\sin x\ge 0\text{,}$ причём $\sin x=0$ лишь в концах $x=0$ и $x=\pi$ — там $\mathrm{tg}x=0\text{,}$ знаков «разных» быть не может, эти точки исключаем. Внутри $(0;\pi )$ множитель $\sin x>0\text{,}$ поэтому неравенство равносильно

$$\frac{\cos 4x}{\cos x\cos 2x}>0.$$

Расстановка знаков. На $(0;\pi )$ рассмотрим знаки трёх множителей.

Знаменатель $\cos x\text{:}$ положителен на $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ отрицателен на $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)\text{.}$

Множитель $\cos 2x\text{:}$ нули в $x=\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\text{;}$ положителен на $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ и $\left(\frac{3\pi }{4};\pi \right)\text{,}$ отрицателен на $\left(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)\text{.}$

Числитель $\cos 4x\text{:}$ нули в точках $4x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{,}$ то есть $x=\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8},\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}\text{;}$ положителен на $\left(0;\frac{\pi }{8}\right),\left(\frac{3\pi }{8};\frac{5\pi }{8}\right),\left(\frac{7\pi }{8};\pi \right)$ и отрицателен на $\left(\frac{\pi }{8};\frac{3\pi }{8}\right),\left(\frac{5\pi }{8};\frac{7\pi }{8}\right)\text{.}$

Все «особые» точки $0,\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{8},\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{8},\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{8},\pi$ разбивают отрезок на восемь интервалов. Определим на каждом знак дроби $\frac{\cos 4x}{\cos x\cos 2x}$ (берём по пробной точке — середине интервала):

Дробь положительна (значит, исходные выражения имеют разные знаки) на четырёх интервалах:

$$\left(0;\frac{\pi }{8}\right),\left(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{8}\right),\left(\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{8}\right),\left(\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{8}\right).$$

Концевые точки. В точках $x=\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8},\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$ числитель $\cos 4x=0\text{,}$ поэтому второе выражение равно нулю — знаков «разных» нет. В точках $x=\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$ второе выражение не определено, в точке $x=\frac{\pi }{2}$ не определён тангенс, а в концах $x=0,\pi$ тангенс равен нулю. Все границы исключаются, поэтому интервалы открытые.

Ответ.

$$\boxed{x\in \left(0;\frac{\pi }{8}\right)\cup \left(\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{8}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{8}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{8}\right).}$$

Эти четыре интервала компактно записываются как

$$\frac{\pi n}{4}<x<\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{4},n=0,1,2,3.$$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.