Задача №18285

Найти все значения аргумента $x\text{,}$ при каждом из которых соответствующее значение функции

$$f(x)=\frac{2\cos \frac{\pi (15+x)}{6}+1}{\sqrt{14+5x-x^2}}$$

положительно.

Требуется найти все $x\text{,}$ при которых

$$f(x)=\frac{2\cos \frac{\pi (15+x)}{6}+1}{\sqrt{14+5x-x^2}}>0.$$

Область определения. Подкоренное выражение должно быть строго положительным (под корнем оно не может быть нулём, иначе знаменатель обращается в нуль):

$$14+5x-x^2>0⟺x^2-5x-14<0⟺(x-7)(x+2)<0,$$

откуда ОДЗ: $-2<x<7\text{.}$

Знак функции. На всей ОДЗ знаменатель $\sqrt{14+5x-x^2}$ положителен. Следовательно, знак $f(x)$ совпадает со знаком числителя, и неравенство $f(x)>0$ равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}-2<x<7,\\ 2\cos \frac{\pi (15+x)}{6}+1>0.\end{array}$$

Упрощение числителя. Раскроем аргумент косинуса:

$$\frac{\pi (15+x)}{6}=\frac{15\pi }{6}+\frac{\pi x}{6}=\frac{5\pi }{2}+\frac{\pi x}{6}.$$

Так как $\cos \left(\frac{5\pi }{2}+t\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+t\right)=-\sin t\text{,}$ получаем

$$\cos \frac{\pi (15+x)}{6}=-\sin \frac{\pi x}{6}.$$

Тогда числитель равен $2\cos \frac{\pi (15+x)}{6}+1=1-2\sin \frac{\pi x}{6}\text{,}$ и условие на числитель принимает вид

$$1-2\sin \frac{\pi x}{6}>0⟺\sin \frac{\pi x}{6}<\frac{1}{2}.$$

Решение тригонометрического неравенства на ОДЗ. Сделаем замену $t=\frac{\pi x}{6}\text{.}$ При $x\in (-2,7)$ переменная пробегает интервал

$$t\in \left(-\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{6}\right).$$

Решим $\sin t<\frac{1}{2}$ на этом промежутке. Равенство $\sin t=\frac{1}{2}$ внутри интервала достигается в двух точках:

$$t=\frac{\pi }{6}(x=1)\text{и}t=\frac{5\pi }{6}(x=5).$$

На участке $t\in \left(-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{6}\right)$ синус возрастает от $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ до $\frac{1}{2}\text{,}$ оставаясь меньше $\frac{1}{2}$ — неравенство выполнено. На участке $t\in \left(\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right)$ синус принимает значения $\ge \frac{1}{2}$ (на отрезке между этими точками $\sin t\ge \frac{1}{2}$) — неравенство нарушено. На участке $t\in \left(\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right)$ синус убывает ниже $\frac{1}{2}$ — неравенство снова выполнено.

Возвращаясь к $x$ (множитель $\frac{6}{\pi }$ положителен, поэтому порядок сохраняется), получаем: числитель положителен при

$$x\in (-2,1)\cup (5,7).$$

Проверка краёв. В точках $x=1$ и $x=5$ числитель обращается в нуль, значит $f=0$ — эти точки не входят (нужна строгая положительность). В точках $x=-2$ и $x=7$ нарушена ОДЗ. Все границы исключаются, интервалы открытые.

Знак функции по подынтервалам ОДЗ:

Ответ: $(-2,1)\cup (5,7)\text{.}$