Найти все значения аргумента x, при каждом из которых соответствующее значение функции f(x)=(2cospi(15+x)6+1)/(sqrt(14+5x-x^2)) положительно.

Требуется найти все x, при которых f(x)=(2cos(pi(15+x))/(6)+1)/(sqrt(14+5x-x^2))>0. **Область определения.** Подкоренное выражение должно быть строго положительным (под корнем оно не может быть нулём, иначе знаменатель обращается в нуль): 14+5x-x^2>0 x^2-5x-14<0 (x-7)(x+2)<0, откуда ОДЗ: -2<x<7. **Знак функции.** На всей ОДЗ знаменатель sqrt(14+5x-x^2) положителен. Следовательно, знак f(x) совпадает со знаком числителя, и неравенство f(x)>0 равносильно системе cases -2<x<7, 2cos(pi(15+x))/(6)+1>0.cases **Упрощение числителя.** Раскроем аргумент косинуса: (pi(15+x))/(6)=(15pi)/(6)+(pi x)/(6)=(5pi)/(2)+(pi x)/(6). Так как cos((5pi)/(2)+t)=cos((pi)/(2)+t)=-sin t, получаем cos(pi(15+x))/(6)=-sin(pi x)/(6). Тогда числитель равен 2cos(pi(15+x))/(6)+1=1-2sin(pi x)/(6), и условие на числитель принимает вид 1-2sin(pi x)/(6)>0 sin(pi x)/(6)<12. **Решение тригонометрического неравенства на ОДЗ.** Сделаем замену t=(pi x)/(6). При xin(-2,7) переменная пробегает интервал tin(-(pi)/(3),(7pi)/(6)). Решим sin t<12 на этом промежутке. Равенство sin t=12 внутри интервала достигается в двух точках: t=(pi)/(6) (x=1) и t=(5pi)/(6) (x=5). На участке tin(-(pi)/(3),(pi)/(6)) синус возрастает от -(3)/(2) до 12, оставаясь меньше 12 — неравенство выполнено. На участке tin((pi)/(6),(5pi)/(6)) синус принимает значения >=12 (на отрезке между этими точками sin t>=12) — неравенство нарушено. На участке tin((5pi)/(6),(7pi)/(6)) синус убывает ниже 12 — неравенство снова выполнено. Возвращаясь к x (множитель (6)/(pi) положителен, поэтому порядок сохраняется), получаем: числитель положителен при xin(-2,1)U(5,7). **Проверка краёв.** В точках x=1 и x=5 числитель обращается в нуль, значит f=0 — эти точки не входят (нужна строгая положительность). В точках x=-2 и x=7 нарушена ОДЗ. Все границы исключаются, интервалы открытые. Знак функции по подынтервалам ОДЗ: | интервал | sin(pi x)/(6) vs 12 | числитель | f(x) | |---|---|---|---| | (-2,1) | <12 | >0 | >0 | | (1,5) | >12 | <0 | <0 | | (5,7) | <12 | >0 | >0 | **Ответ:** (-2,1)U(5,7).

\((-2,1)\cup(5,7)\)