58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tb5b,## Распознаём закономерность слагаемых Выпишем скобки по порядку. Первая скобка $1^2 + 2 + 2^2$, вторая $2^2 + 6 + 3^2$, последняя $99^2 + 9900 + 100^2$. В каждой скобке стоят два соседних квадрата $k^2$ и $(k+1)^2$, а между ними — число, которое легко опознать: - при $k=1$: среднее число $2 = 1\cdot 2 = k(k+1)$; - при $k=2$: среднее число $6 = 2\cdot 3 = k(k+1)$; - при $k=99$: среднее число $9900 = 99\cdot 100 = k(k+1)$. Значит, общее слагаемое суммы имеет вид \[ k^2 + k(k+1) + (k+1)^2,\qquad k = 1, 2, \ldots, 99, \] а вся сумма записывается как \[ S = \sum_{k=1}^{99}\bigl(k^2 + k(k+1) + (k+1)^2\bigr). \] ## Ключевое тождество: каждое слагаемое — разность кубов Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Возьмём $a = k+1$ и $b = k$. Тогда $a - b = 1$, и \[ (k+1)^3 - k^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) = (k+1)^2 + (k+1)k + k^2. \] Правая часть — это в точности наше слагаемое $k^2 + k(k+1) + (k+1)^2$. Следовательно, \[ k^2 + k(k+1) + (k+1)^2 = (k+1)^3 - k^3. \] Это превращает каждую скобку в разность двух последовательных кубов. ## Телескопическое суммирование Подставим найденное выражение под знак суммы: \[ S = \sum_{k=1}^{99}\bigl((k+1)^3 - k^3\bigr). \] Это телескопическая сумма: соседние слагаемые взаимно уничтожаются. Распишем несколько первых и последнее звено: \[ S = (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + (4^3 - 3^3) + \ldots + (100^3 - 99^3). \] Все промежуточные кубы $2^3, 3^3, \ldots, 99^3$ встречаются дважды с противоположными знаками и сокращаются. Остаются только крайние члены: \[ S = 100^3 - 1^3 = 1000000 - 1 = 999999. \] ## Проверка Прямое суммирование девяноста девяти слагаемых $k^2 + k(k+1) + (k+1)^2$ при $k=1,\ldots,99$ даёт то же значение $999999$, что совпадает с $100^3 - 1$. Кроме того, сверка структуры слагаемых с условием подтверждает совпадение: первое слагаемое равно $7\ (=1+2+4)$, второе $19\ (=4+6+9)$, последнее $29701\ (=99^2+9900+100^2)$. **Ответ:** $999999$.5c:Tdfe,## Идея решения Рекуррентное соотношение $4a_{n+1} - a_n - 6 = 0$ переписываем в явном виде \[ a_{n+1} = \frac{a_n + 6}{4}. \] Это линейная возвратная последовательность. Найдём её **неподвижную точку** $L$ (предел, если он есть): подставляя $a_{n+1}=a_n=L$, получаем \[ 4L - L - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3L = 6 \quad\Longrightarrow\quad L = 2. \] ## Явная формула для $a_n$ Введём отклонение от неподвижной точки $b_n = a_n - 2$. Тогда \[ b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = \frac{a_n + 6}{4} - 2 = \frac{a_n - 2}{4} = \frac{1}{4}\,b_n. \] Значит $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \tfrac14$. Первый член: \[ b_1 = a_1 - 2 = \frac{7}{4} - 2 = -\frac{1}{4}. \] Отсюда \[ b_n = b_1\cdot\left(\frac14\right)^{n-1} = -\frac{1}{4}\cdot\left(\frac14\right)^{n-1} = -\left(\frac14\right)^{n} = -4^{-n}, \] и, следовательно, \[ a_n = 2 - 4^{-n}. \] **Проверка формулы.** При $n=1$: $a_1 = 2 - \tfrac14 = \tfrac74$ — верно. Подстановка в рекурренту: $4a_{n+1} - a_n = 4\bigl(2 - 4^{-(n+1)}\bigr) - \bigl(2 - 4^{-n}\bigr) = 8 - 4^{-n} - 2 + 4^{-n} = 6$ — тождество выполнено. ## Сумма $S_n$ Суммируем найденную формулу: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(2 - 4^{-k}\bigr) = 2n - \sum_{k=1}^{n} 4^{-k}. \] Внутренняя сумма — геометрическая прогрессия с первым членом $\tfrac14$ и знаменателем $\tfrac14$: \[ \sum_{k=1}^{n} 4^{-k} = \frac{\tfrac14\left(1 - \left(\tfrac14\right)^{n}\right)}{1 - \tfrac14} = \frac{1 - 4^{-n}}{3} = \frac{1}{3} - \frac{4^{-n}}{3}. \] Поэтому \[ S_n = 2n - \frac{1}{3} + \frac{4^{-n}}{3}. \] ## Преобразование неравенства Выделим выражение под модулем: \[ S_n - 2n + \frac{1}{3} = \frac{4^{-n}}{3}. \] Эта величина при всех $n$ положительна, значит модуль снимается без изменения знака: \[ \left| S_n - 2n + \frac{1}{3} \right| = \frac{4^{-n}}{3}. \] Неравенство принимает вид \[ \frac{4^{-n}}{3} < 10^{-4} \quad\Longleftrightarrow\quad 4^{-n} < 3\cdot 10^{-4} \quad\Longleftrightarrow\quad 4^{n} > \frac{10^{4}}{3} = 3333{,}33\ldots \] ## Отбор наименьшего $n$ Сравниваем степени четвёрки с $\tfrac{10^4}{3}\approx 3333{,}3$: | $n$ | $4^{n}$ | $4^{n} > 3333{,}3\,?$ | |---|---|---| | 5 | 1024 | нет | | 6 | 4096 | да | Поскольку $4^{n}$ строго возрастает, наименьшее натуральное $n$, при котором $4^{n} > \tfrac{10^4}{3}$, равно $n = 6$. **Числовая проверка достижимости.** При $n=6$: \[ \frac{4^{-6}}{3} = \frac{1}{3\cdot 4096} = \frac{1}{12288} \approx 8{,}14\cdot 10^{-5} < 10^{-4} \quad(\text{верно}). \] При $n=5$: \[ \frac{4^{-5}}{3} = \frac{1}{3072} \approx 3{,}26\cdot 10^{-4} > 10^{-4} \quad(\text{неравенство не выполнено}). \] Значит $n=5$ не подходит, а $n=6$ — первое подходящее. ## Ответ Наименьшее натуральное $n = 6$.5d:Tc84,**Свёртка левой части.** Обозначим $t = \cos x - \dfrac{\pi}{3}$. Уравнение принимает вид \[ \sin t + \sqrt{3}\,\cos t = 1. \] Выражение $\sin t + \sqrt{3}\cos t$ свернём в одну синусоиду. Поскольку $\sqrt{1^2 + (\sqrt3)^2} = 2$, вынесем множитель $2$: \[ \sin t + \sqrt{3}\,\cos t = 2\left(\tfrac{1}{2}\sin t + \tfrac{\sqrt3}{2}\cos t\right) = 2\left(\cos\tfrac{\pi}{3}\sin t + \sin\tfrac{\pi}{3}\cos t\right) = 2\sin\!\left(t + \tfrac{\pi}{3}\right). \] Здесь использовано $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ и формула синуса суммы. **Упрощение аргумента.** Заметим, что аргумент как раз возвращает нам $\cos x$: \[ t + \frac{\pi}{3} = \left(\cos x - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{3} = \cos x. \] Поэтому уравнение равносильно \[ 2\sin(\cos x) = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin(\cos x) = \frac{1}{2}. \] **Решение по внутренней переменной.** Введём $u = \cos x$. Так как для любого $x$ выполнено $u = \cos x \in [-1;\,1]$, нас интересуют лишь те корни уравнения $\sin u = \dfrac{1}{2}$, которые попадают в отрезок $[-1;\,1]$. Общее решение уравнения $\sin u = \dfrac{1}{2}$: \[ u = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad\text{или}\quad u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}. \] Отберём попадающие в $[-1;\,1]$. Оценим кандидатов: - $u = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}524 \in [-1;\,1]$ — подходит; - $u = \dfrac{5\pi}{6} \approx 2{,}618 > 1$ — не подходит; - сдвиги на $\pm 2\pi$ дают $|u|$ не меньше $2\pi - \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \approx 3{,}67 > 1$ — все они вне отрезка. Значит, единственное допустимое значение — $u = \dfrac{\pi}{6}$, то есть \[ \cos x = \frac{\pi}{6}. \] **Разрешимость и запись ответа.** Проверим достижимость: $\dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}524$, и $\left|\dfrac{\pi}{6}\right| < 1$, поэтому уравнение $\cos x = \dfrac{\pi}{6}$ имеет решения. Отсюда \[ x = \pm\arccos\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}. \] **Проверка.** При $\cos x = \dfrac{\pi}{6}$ имеем $t = \cos x - \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{6}$, тогда \[ \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) + \sqrt{3}\,\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} + \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1, \] что совпадает с правой частью. Численный перебор по $x$ на нескольких периодах подтверждает, что других серий корней нет: все решения имеют $\cos x = \dfrac{\pi}{6}$. **Ответ:** $x = \pm\arccos\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$5e:Te13,## Область определения В правой части стоит $\log_2 x$, поэтому сразу требуем $x>0$. При $x>0$ выражение $x^{\log_2 9}$ определено. Единственное дополнительное ограничение — аргумент левого логарифма положителен, то есть $\left|x^{\log_2 9}-2\right|\neq 0$; это условие учтём по ходу решения. ## Замена, убирающая двойные логарифмы Положим \[ t=\log_2 x,\qquad x=2^{t},\qquad t\in\mathbb{R}. \] Тогда \[ x^{\log_2 9}=\left(2^{t}\right)^{\log_2 9}=2^{\,t\log_2 9}=\left(2^{\log_2 9}\right)^{t}=9^{t}=3^{2t}. \] Неравенство принимает вид \[ \log_3\left|3^{2t}-2\right|>t. \] ## Избавляемся от логарифма Поскольку $t=\log_3 3^{t}$, а функция $\log_3$ строго возрастает, для положительного аргумента $\left|3^{2t}-2\right|>0$ равносильно потенцируем: \[ \log_3\left|3^{2t}-2\right|>t\iff\left|3^{2t}-2\right|>3^{t}. \] ## Ещё одна замена Пусть $y=3^{t}$; тогда $y>0$ и $3^{2t}=y^{2}$. Получаем неравенство с модулем \[ \left|y^{2}-2\right|>y,\qquad y>0. \] Рассмотрим два случая по знаку подмодульного выражения. **Случай 1: $y\ge\sqrt{2}$** (тогда $y^2-2\ge 0$). Модуль раскрывается со знаком плюс: \[ y^{2}-2>y\iff y^{2}-y-2>0\iff (y-2)(y+1)>0. \] При $y>0$ это даёт $y>2$. С учётом $y\ge\sqrt2$ остаётся $y>2$. **Случай 2: $0y\iff y^{2}+y-2<0\iff (y-1)(y+2)<0. \] Это даёт \(-22. \] Заметим, что запрещённая точка \(3^{2t}=2$ отвечает $y=\sqrt2$ и лежит между полученными интервалами, поэтому на ответ не влияет. ## Возврат к переменной $x$ Вспоминаем, что $y=3^{t}=3^{\log_2 x}$ и $x=2^{t}$. **Интервал $02$:** $3^{t}>2\iff t>\log_3 2\iff\log_2 x>\log_3 2\iff x>2^{\log_3 2}.$ Численно граница равна $2^{\log_3 2}\approx 1{,}549$. ## Проверка - $x=\tfrac12\in(0,1)$: $x^{\log_2 9}=2^{-\log_2 9}=\tfrac19$, слева $\log_3\left|\tfrac19-2\right|=\log_3\tfrac{17}{9}\approx 0{,}58$, справа $\log_2\tfrac12=-1$; неравенство верно. - $x=2>2^{\log_3 2}$: слева $\log_3|9-2|=\log_3 7\approx 1{,}77$, справа $\log_2 2=1$; верно. - $x=1{,}2\in(1,\,2^{\log_3 2})$: слева $\log_3|1{,}78-2|\approx-1{,}39$, справа $\log_2 1{,}2\approx 0{,}26$; неравенство неверно — точка не входит в ответ. Численный скан по всей области подтверждает, что множество решений — ровно $(0,1)\cup(2^{\log_3 2},+\infty)$. ## Ответ \[ x\in(0,\,1)\ \cup\ \left(2^{\log_3 2},\ +\infty\right),\qquad 2^{\log_3 2}\approx 1{,}549. \]5f:T15bd,## Постановка и обозначения Пусть большая (четвёртая) окружность имеет центр $O$ и радиус $R=6$. Внутри неё лежат три окружности, каждая из которых касается большой **внутренним** образом, а между собой три окружности касаются **внешним** образом. Обозначим искомую первую окружность радиусом $r$ с центром $O_1$; вторая и третья имеют радиус $2$ с центрами $O_2$ и $O_3$. **Ключевые факты о касаниях.** - Если малая окружность радиуса $\rho$ касается большой (радиуса $6$) внутренним образом, то расстояние от $O$ до её центра равно $6-\rho$. - Если две окружности радиусов $\rho_1,\rho_2$ касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно $\rho_1+\rho_2$. Отсюда сразу: \[ OO_2=OO_3=6-2=4,\qquad O_2O_3=2+2=4, \] \[ O_1O_2=O_1O_3=r+2,\qquad OO_1=6-r. \] ## Расположение центров второй и третьей окружностей В треугольнике $OO_2O_3$ все стороны равны $4$, значит он равносторонний, и угол $\angle O_2OO_3=60^\circ$. Введём систему координат с началом в $O$ и осью $Ox$ вдоль биссектрисы угла $\angle O_2OO_3$ (это ось симметрии картины). Тогда точки $O_2,O_3$ симметричны относительно $Ox$ и отклонены от неё на $30^\circ$: \[ O_2=\bigl(4\cos30^\circ,\;4\sin30^\circ\bigr)=(2\sqrt3,\;2),\qquad O_3=(2\sqrt3,\;-2). \] Проверка: $OO_2=\sqrt{(2\sqrt3)^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4$ и $O_2O_3=4$ — согласуется. ## Положение первой окружности Поскольку $O_1O_2=O_1O_3$, центр $O_1$ лежит на оси симметрии $Ox$. При этом $OO_1=6-r$, поэтому у $O_1$ есть ровно две возможные позиции: \[ O_1=\bigl(6-r,\;0\bigr)\quad\text{или}\quad O_1=\bigl(-(6-r),\;0\bigr). \] Первая — со стороны второй и третьей окружностей (в «кармане» между ними и границей), вторая — с противоположной стороны. Обе конфигурации совместимы с условием, поэтому разберём обе. Обозначим $d=6-r$. Запишем условие $O_1O_2=r+2$, то есть $O_1O_2^2=(r+2)^2$. С учётом $O_2=(2\sqrt3,2)$ и $O_1=(\pm d,0)$: \[ (2\sqrt3\mp d)^2+2^2=(r+2)^2. \] ### Случай 1: $O_1=(d,0)$ (одна сторона со второй и третьей) \[ (2\sqrt3-d)^2+4=(r+2)^2. \] Подставляя $d=6-r$ и раскрывая скобки: \[ 12-4\sqrt3\,(6-r)+(6-r)^2+4=r^2+4r+4. \] После упрощения $(6-r)^2=36-12r+r^2$ слагаемое $r^2$ сокращается, и остаётся линейное уравнение: \[ (4\sqrt3-16)\,r=24\sqrt3-48, \] \[ r=\frac{24\sqrt3-48}{4\sqrt3-16}=\frac{6(\sqrt3-2)}{\sqrt3-4} =\frac{30-12\sqrt3}{13}\approx0{,}709. \] ### Случай 2: $O_1=(-d,0)$ (противоположная сторона) \[ (2\sqrt3+d)^2+4=(r+2)^2. \] Аналогично $r^2$ сокращается, и получаем \[ (-4\sqrt3-16)\,r=-24\sqrt3-48, \] \[ r=\frac{24\sqrt3+48}{4\sqrt3+16}=\frac{6(\sqrt3+2)}{\sqrt3+4} =\frac{30+12\sqrt3}{13}\approx3{,}907. \] ## Проверка достижимости обеих конфигураций Оба значения дают геометрически реальную картину: во всех случаях выполнены равенства $O_1O_2=O_1O_3=r+2$ и $OO_1=6-r>0$, а самая дальняя от $O$ точка первой окружности лежит на расстоянии $OO_1+r=(6-r)+r=6=R$, то есть первая окружность действительно касается большой изнутри и целиком лежит внутри неё. - В случае 1 центр $O_1=(6-r,0)\approx(5{,}29;0)$ лежит за серединой отрезка $O_2O_3$ (её абсцисса $2\sqrt3\approx3{,}46$) — маленькая окружность в «кармане» у границы. - В случае 2 центр $O_1=(-(6-r),0)\approx(-2{,}09;0)$ — крупная окружность с другой стороны. Касания между окружностями внешние (расстояния между центрами равны суммам радиусов), поэтому наложений нет. Обе конфигурации допустимы. Числовая и символьная проверка (подстановка координат, `sympy`) подтверждает оба корня. ## Ответ Задача имеет два решения (в зависимости от расположения первой окружности): \[ r=\frac{30-12\sqrt3}{13}\approx0{,}709\qquad\text{или}\qquad r=\frac{30+12\sqrt3}{13}\approx3{,}907. \]60:Te90,## Идея Выражение $\sqrt{a}+\sqrt{8b}+\sqrt{2c}$ линейно по «квадратным корням», а связь $a+4b+2c=1$ квадратична по тем же корням. Такая пара (линейная сумма корней при фиксированной сумме их квадратов) — типичная ситуация для **неравенства Коши — Буняковского — Шварца** (КБШ). ## Подготовка: подгоняем ограничение под сумму квадратов Введём величины, квадраты которых в точности дают слагаемые ограничения. Положим \[ y_1=\sqrt{a},\qquad y_2=2\sqrt{b},\qquad y_3=\sqrt{2c}. \] Все они положительны, и \[ y_1^{2}+y_2^{2}+y_3^{2}=a+4b+2c=1. \] Теперь запишем целевое выражение как скалярное произведение с некоторым набором коэффициентов $x_1,x_2,x_3$, то есть в виде $\sum x_i y_i$: - $\sqrt{a}=1\cdot y_1$, значит $x_1=1$; - $\sqrt{8b}=2\sqrt{2}\,\sqrt{b}=\sqrt{2}\cdot\big(2\sqrt{b}\big)=\sqrt{2}\cdot y_2$, значит $x_2=\sqrt{2}$; - $\sqrt{2c}=1\cdot y_3$, значит $x_3=1$. Таким образом \[ \sqrt{a}+\sqrt{8b}+\sqrt{2c}=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3. \] ## Оценка сверху по КБШ По неравенству Коши — Буняковского — Шварца \[ x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\le\sqrt{x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}}\cdot\sqrt{y_1^{2}+y_2^{2}+y_3^{2}}. \] Здесь $x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}=1+2+1=4$, а $y_1^{2}+y_2^{2}+y_3^{2}=1$. Поэтому \[ \sqrt{a}+\sqrt{8b}+\sqrt{2c}\le\sqrt{4}\cdot\sqrt{1}=2. \] Значит, выражение **не превосходит** $2$ при любом допустимом наборе $a,b,c>0$. ## Когда достигается равенство Равенство в КБШ выполняется тогда и только тогда, когда векторы $(x_i)$ и $(y_i)$ пропорциональны: $y_i=\lambda x_i$ при некотором $\lambda>0$. Отсюда \[ \sqrt{a}=\lambda,\qquad 2\sqrt{b}=\sqrt{2}\,\lambda,\qquad \sqrt{2c}=\lambda, \] то есть \[ a=\lambda^{2},\qquad b=\frac{\lambda^{2}}{2},\qquad c=\frac{\lambda^{2}}{2}. \] Подставим это в ограничение и найдём $\lambda$: \[ a+4b+2c=\lambda^{2}+4\cdot\frac{\lambda^{2}}{2}+2\cdot\frac{\lambda^{2}}{2}=\lambda^{2}+2\lambda^{2}+\lambda^{2}=4\lambda^{2}=1, \] откуда $\lambda^{2}=\dfrac14$, $\lambda=\dfrac12$ (берём положительный корень, так как все величины положительны). Значит \[ a=\frac14,\qquad b=\frac18,\qquad c=\frac18. \] Все три числа положительны, то есть найденная точка допустима, и максимум действительно достигается (а не только оценивается сверху). ## Проверка Ограничение: $\dfrac14+4\cdot\dfrac18+2\cdot\dfrac18=\dfrac14+\dfrac12+\dfrac14=1$ — выполнено. Значение выражения: \[ \sqrt{\tfrac14}+\sqrt{8\cdot\tfrac18}+\sqrt{2\cdot\tfrac18}=\frac12+\sqrt{1}+\sqrt{\tfrac14}=\frac12+1+\frac12=2. \] Верхняя граница $2$ достигнута — значит это и есть наибольшее значение. ## Ответ Наибольшее значение равно $2$; оно достигается при $a=\dfrac14,\ b=\dfrac18,\ c=\dfrac18$.61:T1414,## Обозначения и подготовка Пирамида правильная, поэтому вершина $S$ проектируется в центр $H$ основания, а $SH$ — высота; положим $SH=h$. Основание — равносторонний треугольник со стороной $AB=24$. Для равностороннего треугольника со стороной $a=24$: - расстояние от центра до вершины $HA=\dfrac{a}{\sqrt3}=8\sqrt3$, значит $HA^2=192$; - апофема основания (расстояние от центра до середины стороны) $HK=\dfrac{a}{2\sqrt3}=4\sqrt3$, значит $HK^2=48$. Обозначим $m=HK=4\sqrt3$. Вписанный шар касается плоскости основания, поэтому его центр $O$ лежит на оси $SH$ на высоте, равной радиусу $r$ этого шара: $OH=r$. ## Шаг 1. Описанный шар около $OHKA$ Покажем, что отрезок $OA$ является диаметром шара, описанного около тетраэдра $OHKA$. **Прямой угол при $H$.** Отрезок $OH$ лежит на оси пирамиды и перпендикулярен плоскости основания, а $HA$ лежит в плоскости основания. Следовательно $OH\perp HA$, то есть $\angle OHA=90^\circ$. **Прямой угол при $K$.** Апофема $HK$ перпендикулярна стороне $AB$, а ось $OH$ перпендикулярна всему основанию, значит $OH\perp AB$. Поэтому прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $OHK$, в частности $AB\perp KO$. Так как $KA$ лежит на прямой $AB$, получаем $KO\perp KA$, то есть $\angle OKA=90^\circ$. Таким образом, точки $H$ и $K$ видят отрезок $OA$ под прямым углом, а значит лежат на сфере с диаметром $OA$. Эта сфера содержит также $O$ и $A$, поэтому она и есть описанная сфера тетраэдра $OHKA$, а её радиус \[ R_2=\tfrac12\,OA. \] Из прямоугольного треугольника $OHA$ (прямой угол при $H$): \[ OA^2=OH^2+HA^2=r^2+192. \] По условию $R_2=2r$, поэтому \[ 2r=\tfrac12\sqrt{r^2+192}\ \Longrightarrow\ 4r=\sqrt{r^2+192}\ \Longrightarrow\ 16r^2=r^2+192. \] Отсюда $15r^2=192$, то есть \[ r^2=\frac{64}{5},\qquad r=\frac{8}{\sqrt5}=\frac{8\sqrt5}{5}. \] Заметим, что $r^2=\dfrac{64}{5}=12{,}8<48=m^2$ — это понадобится ниже для положительности высоты. ## Шаг 2. Связь радиуса вписанного шара и высоты Центр $O$ равноудалён от основания и от боковой грани; лежа на оси, он лежит на биссектрисе плоского угла $\angle SKH$ в осевом сечении, проходящем через $S$, $H$, $K$ (это линейный угол двугранного угла при ребре $AB$). Значит, в прямоугольном треугольнике $OHK$ (прямой угол при $H$) \[ \angle OKH=\tfrac12\angle SKH,\qquad \tan\angle OKH=\frac{OH}{HK}=\frac{r}{m}. \] Поскольку $\tan\angle SKH=\dfrac{SH}{HK}=\dfrac{h}{m}$, по формуле двойного угла \[ \frac{h}{m}=\tan\angle SKH=\frac{2\tan\angle OKH}{1-\tan^2\angle OKH}=\frac{2r/m}{1-r^2/m^2}=\frac{2rm}{m^2-r^2}. \] Отсюда \[ h=\frac{2r\,m^2}{m^2-r^2}. \] (Это то же самое, что и стандартная формула радиуса вписанного шара $r=\dfrac{mh}{m+\sqrt{h^2+m^2}}$, разрешённая относительно $h$.) ## Шаг 3. Подстановка Подставляем $m^2=48$, $r=\dfrac{8}{\sqrt5}$, $r^2=\dfrac{64}{5}$: \[ m^2-r^2=48-\frac{64}{5}=\frac{176}{5},\qquad 2r\,m^2=2\cdot\frac{8}{\sqrt5}\cdot 48=\frac{768}{\sqrt5}. \] \[ h=\frac{768/\sqrt5}{176/5}=\frac{768\cdot 5}{176\sqrt5}=\frac{240}{11\sqrt5}=\frac{48\sqrt5}{11}. \] Все величины положительны, знаменатель $m^2-r^2>0$, корень единственный — отбор не требуется. ## Проверка При $h=\dfrac{48\sqrt5}{11}\approx 9{,}757$ прямая формула вписанного шара даёт $r=\dfrac{mh}{m+\sqrt{h^2+m^2}}\approx 3{,}578=\dfrac{8\sqrt5}{5}$, а координатный расчёт даёт радиус описанной сферы $OHKA$ ровно $2r$ (численно отношение $R_2/r=2{,}000$). Согласовано. ## Ответ \[ SH=\frac{48\sqrt5}{11}\approx 9{,}76. \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ВМК МГУ\",\"description\":\"Коллекция \\\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ВМК МГУ\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 7 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/probn-2026-vmk\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-07-10T12:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ВМК МГУ\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Пробный ДВИ МГУ 2026 — ВМК МГУ-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ВМК МГУ"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"probn-2026-vmk","serverCollection":{"id":"2cd0312b-c687-4b10-8e04-9c045ff0edaa","name":"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ВМК МГУ","code":"probn-2026-vmk","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"exam_format_2026":"written","hidden_problem_count":0,"is_probnik":true,"solved_count":0,"source":"ВМК МГУ, пробный вариант ДВИ 2026","source_url":"","total_problem_count":7,"variant_batch":"dvi-probniki-2026-v1","visible_problem_count":7,"year":2026},"created_at":"2026-07-10T12:00:00Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem_count":7,"visible_count":7,"total_count":7,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"4eec7a85-4770-435f-b103-c97326ec2421","collection_id":"2cd0312b-c687-4b10-8e04-9c045ff0edaa","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"4eec7a85-4770-435f-b103-c97326ec2421","short_id":18521,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Упростить до целого числа\n\\[\n(1^2 + 2 + 2^2) + (2^2 + 6 + 3^2) + \\ldots + (99^2 + 9900 + 100^2).\n\\]","answer_text":"\$999999\$","answer":"\$999999\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"1","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ВМК МГУ, пробный вариант ДВИ 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-vmk","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"}]}},{"problem_id":"092af20a-0df5-4ccd-a022-c4ae45a89640","collection_id":"2cd0312b-c687-4b10-8e04-9c045ff0edaa","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"092af20a-0df5-4ccd-a022-c4ae45a89640","short_id":18522,"task_number":15,"topic_id":"aaf1e2e8-a5c8-4dae-880f-0853b25f4b34","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Числовая последовательность удовлетворяет условиям: \$a_1 = 7/4\$; \$4a_{n+1} - a_n - 6 = 0\$ при всех \$n \\ge 1\$, \$S_n = a_1 + a_2 + \\ldots + a_n\$. Найти наименьшее натуральное \$n\$, при котором выполняется неравенство\n\\[\n\\left| S_n - 2n + \\tfrac{1}{3} \\right| < 10^{-4}.\n\\]","answer_text":"Наименьшее натуральное \$n = 6\$.","answer":"Наименьшее натуральное \$n = 6\$.","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"2","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ВМК МГУ, пробный вариант ДВИ 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-vmk","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"aaf1e2e8-a5c8-4dae-880f-0853b25f4b34","name":"Последовательности","description":null},"tags":[{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"2ab8a19b-82b8-4932-ad0f-3f3577ee6b69","collection_id":"2cd0312b-c687-4b10-8e04-9c045ff0edaa","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"2ab8a19b-82b8-4932-ad0f-3f3577ee6b69","short_id":18523,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\n\\sin\\!\\left(\\cos x - \\pi/3\\right) + \\sqrt{3}\\,\\cos\\!\\left(\\cos x - \\pi/3\\right) = 1.\n\\]","answer_text":"\$x = \\pm\\arccos\\dfrac{\\pi}{6} + 2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}.\$","answer":"\$x = \\pm\\arccos\\dfrac{\\pi}{6} + 2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}.\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"3","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ВМК МГУ, пробный вариант ДВИ 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-vmk","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"c04c64eb-0a91-459f-8a98-25e089aa4372","code":"tag-181","name":"Уравнения смешанного типа"},{"id":"dcec6e03-173e-4ea7-9b6a-cb935a3bdda5","code":"tag-212","name":"Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов"}]}},{"problem_id":"01bd9b17-8b7e-4d4d-9da9-5bf0577f5fc4","collection_id":"2cd0312b-c687-4b10-8e04-9c045ff0edaa","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"01bd9b17-8b7e-4d4d-9da9-5bf0577f5fc4","short_id":18524,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\n\\log_3\\left| x^{\\log_2 9} - 2 \\right| > \\log_2 x.\n\\]","answer_text":"\$x\\in(0,\\,1)\\cup\\left(2^{\\log_3 2},\\,+\\infty\\right)\$, где \$2^{\\log_3 2}\\approx 1{,}549\$.","answer":"\$x\\in(0,\\,1)\\cup\\left(2^{\\log_3 2},\\,+\\infty\\right)\$, где \$2^{\\log_3 2}\\approx 1{,}549\$.","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"4","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ВМК МГУ, пробный вариант ДВИ 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-vmk","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"ef0a4935-961c-423c-ba57-b551b32f8213","collection_id":"2cd0312b-c687-4b10-8e04-9c045ff0edaa","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"ef0a4935-961c-423c-ba57-b551b32f8213","short_id":18525,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Три окружности, радиусы второй и третьей из которых равны \$2\$, попарно касаются друг друга внешним образом, и четвёртой окружности, с радиусом, равным \$6\$, — внутренним образом. Найти радиус первой окружности.","answer_text":"Возможны два расположения первой окружности, поэтому \$r_1=\\dfrac{30-12\\sqrt3}{13}\\approx 0{,}709\$ или \$r_2=\\dfrac{30+12\\sqrt3}{13}\\approx 3{,}907\$.","answer":"Возможны два расположения первой окружности, поэтому \$r_1=\\dfrac{30-12\\sqrt3}{13}\\approx 0{,}709\$ или \$r_2=\\dfrac{30+12\\sqrt3}{13}\\approx 3{,}907\$.","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"5","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ВМК МГУ, пробный вариант ДВИ 2026","source_url":"","template_pair":"probn-2026-shmp-popov#5","variant_key":"probn-2026-vmk","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"f8c015b6-cb48-4711-a78c-7b5ceaaf5d71","code":"tag-237","name":"Окружности и системы окружностей"}]}},{"problem_id":"775f09d6-7ac3-40b5-aa4c-1224d735fbc5","collection_id":"2cd0312b-c687-4b10-8e04-9c045ff0edaa","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"775f09d6-7ac3-40b5-aa4c-1224d735fbc5","short_id":18526,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Положительные числа \$a, b, c\$ удовлетворяют условию \$a + 4b + 2c = 1\$. Найти наибольшее значение выражения \$\\sqrt{a} + \\sqrt{8b} + \\sqrt{2c}\$ и указать, при каких значениях \$a, b, c\$ оно достигается.","answer_text":"Наибольшее значение равно \$2\$; оно достигается при \$a=\\dfrac14,\\ b=\\dfrac18,\\ c=\\dfrac18\$.","answer":"Наибольшее значение равно \$2\$; оно достигается при \$a=\\dfrac14,\\ b=\\dfrac18,\\ c=\\dfrac18\$.","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"6","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ВМК МГУ, пробный вариант ДВИ 2026","source_url":"","template_pair":"probn-2026-shmp-leto#6","variant_key":"probn-2026-vmk","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"4ab3de8e-a1d9-41ef-93f4-2e9310ac49f6","code":"tag-71","name":"Задачи на оптимальный выбор"}]}},{"problem_id":"50078b48-7192-448b-9a63-e53f85dd24ef","collection_id":"2cd0312b-c687-4b10-8e04-9c045ff0edaa","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"50078b48-7192-448b-9a63-e53f85dd24ef","short_id":18527,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"В правильную треугольную пирамиду \$SABC\$, сторона основания у которой \$AB = 24\$, вписан шар с центром в точке \$O\$, и проведена высота \$SH\$. Точка \$K\$ — середина стороны \$AB\$. Вокруг пирамиды \$OHKA\$ описан второй шар, причём его радиус равен удвоенному радиусу первого шара. Найти длину высоты пирамиды.","answer_text":"Высота пирамиды \$SH=\\dfrac{48\\sqrt5}{11}\\approx 9{,}76\$.","answer":"Высота пирамиды \$SH=\\dfrac{48\\sqrt5}{11}\\approx 9{,}76\$.","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"7","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ВМК МГУ, пробный вариант ДВИ 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-vmk","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"c2f87176-38e1-4180-99e4-f61bcd4dbdb7","code":"tag-183","name":"Правильная треугольная пирамида"},{"id":"da939019-cc2d-47f3-895d-009e5f7496f5","code":"tag-209","name":"Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы"},{"id":"efe23998-8e8a-4d60-ace9-a559b7ded5cb","code":"tag-229","name":"Вписанный шар"}]}}],"total":7},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ