Упростить до целого числа (1^2 + 2 + 2^2) + (2^2 + 6 + 3^2) + + (99^2 + 9900 + 100^2).
## Распознаём закономерность слагаемых Выпишем скобки по порядку. Первая скобка 1^2 + 2 + 2^2, вторая 2^2 + 6 + 3^2, последняя 99^2 + 9900 + 100^2. В каждой скобке стоят два соседних квадрата k^2 и (k+1)^2, а между ними — число, которое легко опознать: - при k=1: среднее число 2 = 1* 2 = k(k+1); - при k=2: среднее число 6 = 2* 3 = k(k+1); - при k=99: среднее число 9900 = 99* 100 = k(k+1). Значит, общее слагаемое суммы имеет вид k^2 + k(k+1) + (k+1)^2, k = 1, 2, , 99, а вся сумма записывается как S = _(k=1)^(99)(k^2 + k(k+1) + (k+1)^2). ## Ключевое тождество: каждое слагаемое — разность кубов Воспользуемся формулой разности кубов a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2). Возьмём a = k+1 и b = k. Тогда a - b = 1, и (k+1)^3 - k^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) = (k+1)^2 + (k+1)k + k^2. Правая часть — это в точности наше слагаемое k^2 + k(k+1) + (k+1)^2. Следовательно, k^2 + k(k+1) + (k+1)^2 = (k+1)^3 - k^3. Это превращает каждую скобку в разность двух последовательных кубов. ## Телескопическое суммирование Подставим найденное выражение под знак суммы: S = _(k=1)^(99)((k+1)^3 - k^3). Это телескопическая сумма: соседние слагаемые взаимно уничтожаются. Распишем несколько первых и последнее звено: S = (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + (4^3 - 3^3) + + (100^3 - 99^3). Все промежуточные кубы 2^3, 3^3, , 99^3 встречаются дважды с противоположными знаками и сокращаются. Остаются только крайние члены: S = 100^3 - 1^3 = 1000000 - 1 = 999999. ## Проверка Прямое суммирование девяноста девяти слагаемых k^2 + k(k+1) + (k+1)^2 при k=1,,99 даёт то же значение 999999, что совпадает с 100^3 - 1. Кроме того, сверка структуры слагаемых с условием подтверждает совпадение: первое слагаемое равно 7 (=1+2+4), второе 19 (=4+6+9), последнее 29701 (=99^2+9900+100^2). **Ответ:** 999999.
\(999999\)