Задача №18521

Упростить до целого числа

$$(1^2+2+2^2)+(2^2+6+3^2)+\dots +(99^2+9900+100^2).$$

Распознаём закономерность слагаемых

Выпишем скобки по порядку. Первая скобка $1^2+2+2^2\text{,}$ вторая $2^2+6+3^2\text{,}$ последняя $99^2+9900+100^2\text{.}$ В каждой скобке стоят два соседних квадрата $k^2$ и $(k+1{)}^2\text{,}$ а между ними — число, которое легко опознать:

• при $k=1\text{:}$ среднее число $2=1\cdot 2=k(k+1)\text{;}$
• при $k=2\text{:}$ среднее число $6=2\cdot 3=k(k+1)\text{;}$
• при $k=99\text{:}$ среднее число $9900=99\cdot 100=k(k+1)\text{.}$

Значит, общее слагаемое суммы имеет вид

$$k^2+k(k+1)+(k+1{)}^2,k=1,2,\dots ,99,$$

а вся сумма записывается как

$$S=\sum _{k=1}^{99}(k^2+k(k+1)+(k+1{)}^2).$$

Ключевое тождество: каждое слагаемое — разность кубов

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\text{.}$ Возьмём $a=k+1$ и $b=k\text{.}$ Тогда $a-b=1\text{,}$ и

$$(k+1{)}^3-k^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(k+1{)}^2+(k+1)k+k^2.$$

Правая часть — это в точности наше слагаемое $k^2+k(k+1)+(k+1{)}^2\text{.}$ Следовательно,

$$k^2+k(k+1)+(k+1{)}^2=(k+1{)}^3-k^3.$$

Это превращает каждую скобку в разность двух последовательных кубов.

Телескопическое суммирование

Подставим найденное выражение под знак суммы:

$$S=\sum _{k=1}^{99}((k+1{)}^3-k^3).$$

Это телескопическая сумма: соседние слагаемые взаимно уничтожаются. Распишем несколько первых и последнее звено:

$$S=(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+(4^3-3^3)+\dots +(100^3-99^3).$$

Все промежуточные кубы $2^3,3^3,\dots ,99^3$ встречаются дважды с противоположными знаками и сокращаются. Остаются только крайние члены:

$$S=100^3-1^3=1000000-1=999999.$$

Проверка

Прямое суммирование девяноста девяти слагаемых $k^2+k(k+1)+(k+1{)}^2$ при $k=1,\dots ,99$ даёт то же значение $999999\text{,}$ что совпадает с $100^3-1\text{.}$ Кроме того, сверка структуры слагаемых с условием подтверждает совпадение: первое слагаемое равно $7(=1+2+4)\text{,}$ второе $19(=4+6+9)\text{,}$ последнее $29701(=99^2+9900+100^2)\text{.}$

Ответ: $999999\text{.}$