Задача №18526

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию $a+4b+2c=1\text{.}$ Найти наибольшее значение выражения $\sqrt{a}+\sqrt{8b}+\sqrt{2c}$ и указать, при каких значениях $a,b,c$ оно достигается.

Идея

Выражение $\sqrt{a}+\sqrt{8b}+\sqrt{2c}$ линейно по «квадратным корням», а связь $a+4b+2c=1$ квадратична по тем же корням. Такая пара (линейная сумма корней при фиксированной сумме их квадратов) — типичная ситуация для неравенства Коши — Буняковского — Шварца (КБШ).

Подготовка: подгоняем ограничение под сумму квадратов

Введём величины, квадраты которых в точности дают слагаемые ограничения. Положим

Все они положительны, и

Теперь запишем целевое выражение как скалярное произведение с некоторым набором коэффициентов $x_1,x_2,x_3\text{,}$ то есть в виде $\sum x_i{y}_i\text{:}$

• $\sqrt{a}=1\cdot y_1\text{,}$ значит $x_1=1\text{;}$
• $\sqrt{8b}=2\sqrt{2}\sqrt{b}=\sqrt{2}\cdot \left(2\sqrt{b}\right)=\sqrt{2}\cdot y_2\text{,}$ значит $x_2=\sqrt{2}\text{;}$
• $\sqrt{2c}=1\cdot y_3\text{,}$ значит $x_3=1\text{.}$

Таким образом

Оценка сверху по КБШ

По неравенству Коши — Буняковского — Шварца

Здесь $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1+2+1=4\text{,}$ а $y_1^2+y_2^2+y_3^2=1\text{.}$ Поэтому

Значит, выражение не превосходит $2$ при любом допустимом наборе $a,b,c>0\text{.}$

Когда достигается равенство

Равенство в КБШ выполняется тогда и только тогда, когда векторы $(x_i)$ и $(y_i)$ пропорциональны: $y_i=\lambda x_i$ при некотором $\lambda >0\text{.}$ Отсюда

то есть

Подставим это в ограничение и найдём $\lambda \text{:}$

откуда ${\lambda }^2=\frac{1}{4}\text{,}$ $\lambda =\frac{1}{2}$ (берём положительный корень, так как все величины положительны). Значит

Все три числа положительны, то есть найденная точка допустима, и максимум действительно достигается (а не только оценивается сверху).

Проверка

Ограничение: $\frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{8}+2\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1$ — выполнено.

Значение выражения:

Верхняя граница $2$ достигнута — значит это и есть наибольшее значение.

Ответ

Наибольшее значение равно $2\text{;}$ оно достигается при $a=\frac{1}{4},b=\frac{1}{8},c=\frac{1}{8}\text{.}$