Положительные числа a, b, c удовлетворяют условию a + 4b + 2c = 1. Найти наибольшее значение выражения sqrt(a) + sqrt(8b) + sqrt(2c) и указать, при каких значениях a, b, c оно достигается.
## Идея Выражение sqrt(a)+sqrt(8b)+sqrt(2c) линейно по «квадратным корням», а связь a+4b+2c=1 квадратична по тем же корням. Такая пара (линейная сумма корней при фиксированной сумме их квадратов) — типичная ситуация для **неравенства Коши — Буняковского — Шварца** (КБШ). ## Подготовка: подгоняем ограничение под сумму квадратов Введём величины, квадраты которых в точности дают слагаемые ограничения. Положим y_1=sqrt(a), y_2=2sqrt(b), y_3=sqrt(2c). Все они положительны, и y_1^(2)+y_2^(2)+y_3^(2)=a+4b+2c=1. Теперь запишем целевое выражение как скалярное произведение с некоторым набором коэффициентов x_1,x_2,x_3, то есть в виде x_i y_i: - sqrt(a)=1* y_1, значит x_1=1; - sqrt(8b)=2sqrt(2)sqrt(b)=sqrt(2)*(2sqrt(b))=sqrt(2)* y_2, значит x_2=sqrt(2); - sqrt(2c)=1* y_3, значит x_3=1. Таким образом sqrt(a)+sqrt(8b)+sqrt(2c)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3. ## Оценка сверху по КБШ По неравенству Коши — Буняковского — Шварца x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3(x_1^(2)+x_2^(2)+x_3^(2))*sqrt(y_1^(2)+y_2^(2)+y_3^(2)). Здесь x_1^(2)+x_2^(2)+x_3^(2)=1+2+1=4, а y_1^(2)+y_2^(2)+y_3^(2)=1. Поэтому sqrt(a)+sqrt(8b)+sqrt(2c)(4)*sqrt(1)=2. Значит, выражение **не превосходит** 2 при любом допустимом наборе a,b,c>0. ## Когда достигается равенство Равенство в КБШ выполняется тогда и только тогда, когда векторы (x_i) и (y_i) пропорциональны: y_i= x_i при некотором >0. Отсюда sqrt(a)=, 2sqrt(b)=sqrt(2), sqrt(2c)=, то есть a=^(2), b=(^(2))/(2), c=(^(2))/(2). Подставим это в ограничение и найдём : a+4b+2c=^(2)+4*(^(2))/(2)+2*(^(2))/(2)=^(2)+2^(2)+^(2)=4^(2)=1, откуда ^(2)=14, =12 (берём положительный корень, так как все величины положительны). Значит a=14, b=18, c=18. Все три числа положительны, то есть найденная точка допустима, и максимум действительно достигается (а не только оценивается сверху). ## Проверка Ограничение: 14+4*18+2*18=14+12+14=1 — выполнено. Значение выражения: sqrt(14)+sqrt(8*18)+sqrt(2*18)=12+sqrt(1)+sqrt(14)=12+1+12=2. Верхняя граница 2 достигнута — значит это и есть наибольшее значение. ## Ответ Наибольшее значение равно 2; оно достигается при a=14, b=18, c=18.
Наибольшее значение равно \(2\); оно достигается при \(a=\dfrac14,\ b=\dfrac18,\ c=\dfrac18\).