Задача №18525

Три окружности, радиусы второй и третьей из которых равны $2\text{,}$ попарно касаются друг друга внешним образом, и четвёртой окружности, с радиусом, равным $6\text{,}$ — внутренним образом. Найти радиус первой окружности.

Постановка и обозначения

Пусть большая (четвёртая) окружность имеет центр $O$ и радиус $R=6\text{.}$ Внутри неё лежат три окружности, каждая из которых касается большой внутренним образом, а между собой три окружности касаются внешним образом.

Обозначим искомую первую окружность радиусом $r$ с центром $O_1\text{;}$ вторая и третья имеют радиус $2$ с центрами $O_2$ и $O_3\text{.}$

Ключевые факты о касаниях.

• Если малая окружность радиуса $\rho$ касается большой (радиуса $6$) внутренним образом, то расстояние от $O$ до её центра равно $6-\rho \text{.}$
• Если две окружности радиусов ${\rho }_1,{\rho }_2$ касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно ${\rho }_1+{\rho }_2\text{.}$

Отсюда сразу:

Расположение центров второй и третьей окружностей

В треугольнике $O{O}_2{O}_3$ все стороны равны $4\text{,}$ значит он равносторонний, и угол $\angle O_{2}O{O}_3=60^{\circ }\text{.}$

Введём систему координат с началом в $O$ и осью $Ox$ вдоль биссектрисы угла $\angle O_{2}O{O}_3$ (это ось симметрии картины). Тогда точки $O_2,O_3$ симметричны относительно $Ox$ и отклонены от неё на $30^{\circ }\text{:}$

Проверка: $O{O}_2=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4$ и $O_2{O}_3=4$ — согласуется.

Положение первой окружности

Поскольку $O_1{O}_2=O_1{O}_3\text{,}$ центр $O_1$ лежит на оси симметрии $Ox\text{.}$ При этом $O{O}_1=6-r\text{,}$ поэтому у $O_1$ есть ровно две возможные позиции:

Первая — со стороны второй и третьей окружностей (в «кармане» между ними и границей), вторая — с противоположной стороны. Обе конфигурации совместимы с условием, поэтому разберём обе. Обозначим $d=6-r\text{.}$

Запишем условие $O_1{O}_2=r+2\text{,}$ то есть $O_1{O}_2^2=(r+2{)}^2\text{.}$ С учётом $O_2=(2\sqrt{3},2)$ и $O_1=(\pm d,0)\text{:}$

Случай 1: $O_1=(d,0)$ (одна сторона со второй и третьей)

Подставляя $d=6-r$ и раскрывая скобки:

После упрощения $(6-r{)}^2=36-12r+r^2$ слагаемое $r^2$ сокращается, и остаётся линейное уравнение:

Случай 2: $O_1=(-d,0)$ (противоположная сторона)

Аналогично $r^2$ сокращается, и получаем

Проверка достижимости обеих конфигураций

Оба значения дают геометрически реальную картину: во всех случаях выполнены равенства $O_1{O}_2=O_1{O}_3=r+2$ и $O{O}_1=6-r>0\text{,}$ а самая дальняя от $O$ точка первой окружности лежит на расстоянии $O{O}_1+r=(6-r)+r=6=R\text{,}$ то есть первая окружность действительно касается большой изнутри и целиком лежит внутри неё.

• В случае 1 центр $O_1=(6-r,0)\approx (5,29;0)$ лежит за серединой отрезка $O_2{O}_3$ (её абсцисса $2\sqrt{3}\approx 3,46$) — маленькая окружность в «кармане» у границы.
• В случае 2 центр $O_1=(-(6-r),0)\approx (-2,09;0)$ — крупная окружность с другой стороны.

Касания между окружностями внешние (расстояния между центрами равны суммам радиусов), поэтому наложений нет. Обе конфигурации допустимы.

Числовая и символьная проверка (подстановка координат, sympy) подтверждает оба корня.

Ответ

Задача имеет два решения (в зависимости от расположения первой окружности):