Три окружности, радиусы второй и третьей из которых равны 2, попарно касаются друг друга внешним образом, и четвёртой окружности, с радиусом, равным 6, — внутренним образом. Найти радиус первой окружности.
## Постановка и обозначения Пусть большая (четвёртая) окружность имеет центр O и радиус R=6. Внутри неё лежат три окружности, каждая из которых касается большой **внутренним** образом, а между собой три окружности касаются **внешним** образом. Обозначим искомую первую окружность радиусом r с центром O_1; вторая и третья имеют радиус 2 с центрами O_2 и O_3. **Ключевые факты о касаниях.** - Если малая окружность радиуса касается большой (радиуса 6) внутренним образом, то расстояние от O до её центра равно 6-. - Если две окружности радиусов _1,_2 касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно _1+_2. Отсюда сразу: OO_2=OO_3=6-2=4, O_2O_3=2+2=4, O_1O_2=O_1O_3=r+2, OO_1=6-r. ## Расположение центров второй и третьей окружностей В треугольнике OO_2O_3 все стороны равны 4, значит он равносторонний, и угол O_2OO_3=60^. Введём систему координат с началом в O и осью Ox вдоль биссектрисы угла O_2OO_3 (это ось симметрии картины). Тогда точки O_2,O_3 симметричны относительно Ox и отклонены от неё на 30^: O_2=(430^,430^)=(23,2), O_3=(23,-2). Проверка: OO_2=sqrt((23)^2+2^2)=sqrt(12+4)=4 и O_2O_3=4 — согласуется. ## Положение первой окружности Поскольку O_1O_2=O_1O_3, центр O_1 лежит на оси симметрии Ox. При этом OO_1=6-r, поэтому у O_1 есть ровно две возможные позиции: O_1=(6-r,0) или O_1=(-(6-r),0). Первая — со стороны второй и третьей окружностей (в «кармане» между ними и границей), вторая — с противоположной стороны. Обе конфигурации совместимы с условием, поэтому разберём обе. Обозначим d=6-r. Запишем условие O_1O_2=r+2, то есть O_1O_2^2=(r+2)^2. С учётом O_2=(23,2) и O_1=(+- d,0): (23-+ d)^2+2^2=(r+2)^2. ### Случай 1: O_1=(d,0) (одна сторона со второй и третьей) (23-d)^2+4=(r+2)^2. Подставляя d=6-r и раскрывая скобки: 12-43(6-r)+(6-r)^2+4=r^2+4r+4. После упрощения (6-r)^2=36-12r+r^2 слагаемое r^2 сокращается, и остаётся линейное уравнение: (43-16)r=243-48, r=(243-48)/(43-16)=(6(3-2))/(3-4) =(30-123)/(13)~0,709. ### Случай 2: O_1=(-d,0) (противоположная сторона) (23+d)^2+4=(r+2)^2. Аналогично r^2 сокращается, и получаем (-43-16)r=-243-48, r=(243+48)/(43+16)=(6(3+2))/(3+4) =(30+123)/(13)~3,907. ## Проверка достижимости обеих конфигураций Оба значения дают геометрически реальную картину: во всех случаях выполнены равенства O_1O_2=O_1O_3=r+2 и OO_1=6-r>0, а самая дальняя от O точка первой окружности лежит на расстоянии OO_1+r=(6-r)+r=6=R, то есть первая окружность действительно касается большой изнутри и целиком лежит внутри неё. - В случае 1 центр O_1=(6-r,0)~(5,29;0) лежит за серединой отрезка O_2O_3 (её абсцисса 23~3,46) — маленькая окружность в «кармане» у границы. - В случае 2 центр O_1=(-(6-r),0)~(-2,09;0) — крупная окружность с другой стороны. Касания между окружностями внешние (расстояния между центрами равны суммам радиусов), поэтому наложений нет. Обе конфигурации допустимы. Числовая и символьная проверка (подстановка координат, `sympy`) подтверждает оба корня. ## Ответ Задача имеет два решения (в зависимости от расположения первой окружности): r=(30-123)/(13)~0,709 или r=(30+123)/(13)~3,907.
Возможны два расположения первой окружности, поэтому \(r_1=\dfrac{30-12\sqrt3}{13}\approx 0{,}709\) или \(r_2=\dfrac{30+12\sqrt3}{13}\approx 3{,}907\).