В правильную треугольную пирамиду SABC, сторона основания у которой AB = 24, вписан шар с центром в точке O, и проведена высота SH. Точка K — середина стороны AB. Вокруг пирамиды OHKA описан второй шар, причём его радиус равен удвоенному радиусу первого шара. Найти длину высоты пирамиды.
## Обозначения и подготовка Пирамида правильная, поэтому вершина S проектируется в центр H основания, а SH — высота; положим SH=h. Основание — равносторонний треугольник со стороной AB=24. Для равностороннего треугольника со стороной a=24: - расстояние от центра до вершины HA=(a)/(3)=83, значит HA^2=192; - апофема основания (расстояние от центра до середины стороны) HK=(a)/(23)=43, значит HK^2=48. Обозначим m=HK=43. Вписанный шар касается плоскости основания, поэтому его центр O лежит на оси SH на высоте, равной радиусу r этого шара: OH=r. ## Шаг 1. Описанный шар около OHKA Покажем, что отрезок OA является диаметром шара, описанного около тетраэдра OHKA. **Прямой угол при H.** Отрезок OH лежит на оси пирамиды и перпендикулярен плоскости основания, а HA лежит в плоскости основания. Следовательно OH HA, то есть OHA=90^. **Прямой угол при K.** Апофема HK перпендикулярна стороне AB, а ось OH перпендикулярна всему основанию, значит OH AB. Поэтому прямая AB перпендикулярна всей плоскости OHK, в частности AB KO. Так как KA лежит на прямой AB, получаем KO KA, то есть OKA=90^. Таким образом, точки H и K видят отрезок OA под прямым углом, а значит лежат на сфере с диаметром OA. Эта сфера содержит также O и A, поэтому она и есть описанная сфера тетраэдра OHKA, а её радиус R_2=12OA. Из прямоугольного треугольника OHA (прямой угол при H): OA^2=OH^2+HA^2=r^2+192. По условию R_2=2r, поэтому 2r=12sqrt(r^2+192) 4r=sqrt(r^2+192) 16r^2=r^2+192. Отсюда 15r^2=192, то есть r^2=(64)/(5), r=(8)/(5)=(85)/(5). Заметим, что r^2=(64)/(5)=12,8<48=m^2 — это понадобится ниже для положительности высоты. ## Шаг 2. Связь радиуса вписанного шара и высоты Центр O равноудалён от основания и от боковой грани; лежа на оси, он лежит на биссектрисе плоского угла SKH в осевом сечении, проходящем через S, H, K (это линейный угол двугранного угла при ребре AB). Значит, в прямоугольном треугольнике OHK (прямой угол при H) OKH=12 SKH, tan OKH=(OH)/(HK)=(r)/(m). Поскольку tan SKH=(SH)/(HK)=(h)/(m), по формуле двойного угла (h)/(m)=tan SKH=(2tan OKH)/(1-tan^2 OKH)=(2r/m)/(1-r^2/m^2)=(2rm)/(m^2-r^2). Отсюда h=(2rm^2)/(m^2-r^2). (Это то же самое, что и стандартная формула радиуса вписанного шара r=(mh)/(m+sqrt(h^2+m^2)), разрешённая относительно h.) ## Шаг 3. Подстановка Подставляем m^2=48, r=(8)/(5), r^2=(64)/(5): m^2-r^2=48-(64)/(5)=(176)/(5), 2rm^2=2*(8)/(5)* 48=(768)/(5). h=(768/5)/(176/5)=(768* 5)/(1765)=(240)/(115)=(485)/(11). Все величины положительны, знаменатель m^2-r^2>0, корень единственный — отбор не требуется. ## Проверка При h=(485)/(11)~ 9,757 прямая формула вписанного шара даёт r=(mh)/(m+sqrt(h^2+m^2))~ 3,578=(85)/(5), а координатный расчёт даёт радиус описанной сферы OHKA ровно 2r (численно отношение R_2/r=2,000). Согласовано. ## Ответ SH=(485)/(11)~ 9,76.
Высота пирамиды \(SH=\dfrac{48\sqrt5}{11}\approx 9{,}76\).