Задача №18524

Решить неравенство

$${\log }_3\left|x^{{\log }_{2}9}-2\right|>{\log }_{2}x.$$

Область определения

В правой части стоит ${\log }_{2}x\text{,}$ поэтому сразу требуем $x>0\text{.}$ При $x>0$ выражение $x^{{\log }_{2}9}$ определено. Единственное дополнительное ограничение — аргумент левого логарифма положителен, то есть $\left|x^{{\log }_{2}9}-2\right|\ne 0\text{;}$ это условие учтём по ходу решения.

Замена, убирающая двойные логарифмы

Положим

$$t={\log }_{2}x,x=2^t,t\in \mathbb{R}.$$

Тогда

$$x^{{\log }_{2}9}={\left(2^t\right)}^{{\log }_{2}9}=2^{t{\log }_{2}9}={\left(2^{{\log }_{2}9}\right)}^t=9^t=3^{2t}.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_3\left|3^{2t}-2\right|>t.$$

Избавляемся от логарифма

Поскольку $t={\log }_3{3}^t\text{,}$ а функция ${\log }_3$ строго возрастает, для положительного аргумента $\left|3^{2t}-2\right|>0$ равносильно потенцируем:

$${\log }_3\left|3^{2t}-2\right|>t⟺\left|3^{2t}-2\right|>3^t.$$

Ещё одна замена

Пусть $y=3^t\text{;}$ тогда $y>0$ и $3^{2t}=y^2\text{.}$ Получаем неравенство с модулем

$$\left|y^2-2\right|>y,y>0.$$

Рассмотрим два случая по знаку подмодульного выражения.

Случай 1: $y\ge \sqrt{2}$ (тогда $y^2-2\ge 0$). Модуль раскрывается со знаком плюс:

$$y^2-2>y⟺y^2-y-2>0⟺(y-2)(y+1)>0.$$

При $y>0$ это даёт $y>2\text{.}$ С учётом $y\ge \sqrt{2}$ остаётся $y>2\text{.}$

Случай 2: $0<y<\sqrt{2}$ (тогда $y^2-2<0$). Модуль раскрывается со знаком минус:

$$2-y^2>y⟺y^2+y-2<0⟺(y-1)(y+2)<0.$$

Это даёт $-2<y<1\text{;}$ с учётом $0<y<\sqrt{2}$ остаётся $0<y<1\text{.}$

Объединяя оба случая, решение по $y\text{:}$

$$0<y<1\text{или}y>2.$$

Заметим, что запрещённая точка $3^{2t}=2$ отвечает $y=\sqrt{2}$ и лежит между полученными интервалами, поэтому на ответ не влияет.

Возврат к переменной $x$

Вспоминаем, что $y=3^t=3^{{\log }_{2}x}$ и $x=2^t\text{.}$

Интервал $0<y<1\text{:}$ $3^t<1⟺t<0⟺{\log }_{2}x<0⟺0<x<1.$

Интервал $y>2\text{:}$ $3^t>2⟺t>{\log }_{3}2⟺{\log }_{2}x>{\log }_{3}2⟺x>2^{{\log }_{3}2}.$

Численно граница равна $2^{{\log }_{3}2}\approx 1,549\text{.}$

Проверка

• $x=\frac{1}{2}\in (0,1)\text{:}$ $x^{{\log }_{2}9}=2^{-{\log }_{2}9}=\frac{1}{9}\text{,}$ слева ${\log }_3\left|\frac{1}{9}-2\right|={\log }_3\frac{17}{9}\approx 0,58\text{,}$ справа ${\log }_2\frac{1}{2}=-1\text{;}$ неравенство верно.
• $x=2>2^{{\log }_{3}2}\text{:}$ слева ${\log }_3|9-2|={\log }_{3}7\approx 1,77\text{,}$ справа ${\log }_{2}2=1\text{;}$ верно.
• $x=1,2\in (1,2^{{\log }_{3}2})\text{:}$ слева ${\log }_3|1,78-2|\approx -1,39\text{,}$ справа ${\log }_{2}1,2\approx 0,26\text{;}$ неравенство неверно — точка не входит в ответ.

Численный скан по всей области подтверждает, что множество решений — ровно $(0,1)\cup (2^{{\log }_{3}2},+\infty )\text{.}$

Ответ

$$x\in (0,1)\cup \left(2^{{\log }_{3}2},+\infty \right),2^{{\log }_{3}2}\approx 1,549.$$