Решить неравенство _3| x^(_2 9) - 2 | > _2 x.
## Область определения В правой части стоит _2 x, поэтому сразу требуем x>0. При x>0 выражение x^(_2 9) определено. Единственное дополнительное ограничение — аргумент левого логарифма положителен, то есть |x^(_2 9)-2|!= 0; это условие учтём по ходу решения. ## Замена, убирающая двойные логарифмы Положим t=_2 x, x=2^(t), tinR. Тогда x^(_2 9)=(2^(t))^(_2 9)=2^(t_2 9)=(2^(_2 9))^(t)=9^(t)=3^(2t). Неравенство принимает вид _3|3^(2t)-2|>t. ## Избавляемся от логарифма Поскольку t=_3 3^(t), а функция _3 строго возрастает, для положительного аргумента |3^(2t)-2|>0 равносильно потенцируем: _3|3^(2t)-2|>t|3^(2t)-2|>3^(t). ## Ещё одна замена Пусть y=3^(t); тогда y>0 и 3^(2t)=y^(2). Получаем неравенство с модулем |y^(2)-2|>y, y>0. Рассмотрим два случая по знаку подмодульного выражения. **Случай 1: y(2)** (тогда y^2-2>= 0). Модуль раскрывается со знаком плюс: y^(2)-2>y y^(2)-y-2>0 (y-2)(y+1)>0. При y>0 это даёт y>2. С учётом y>=2 остаётся y>2. **Случай 2: 0<y<sqrt(2)** (тогда y^2-2<0). Модуль раскрывается со знаком минус: 2-y^(2)>y y^(2)+y-2<0 (y-1)(y+2)<0. Это даёт -2<y<1; с учётом 0<y<2 остаётся 0<y<1. Объединяя оба случая, решение по y: 0<y<1 или y>2. Заметим, что запрещённая точка 3^(2t)=2 отвечает y=2 и лежит между полученными интервалами, поэтому на ответ не влияет. ## Возврат к переменной x Вспоминаем, что y=3^(t)=3^(_2 x) и x=2^(t). **Интервал 0<y<1:** 3^(t)<1 t<0_2 x<0 0<x<1. **Интервал y>2:** 3^(t)>2 t>_3 2_2 x>_3 2 x>2^(_3 2). Численно граница равна 2^(_3 2)~ 1,549. ## Проверка - x=12in(0,1): x^(_2 9)=2^(-_2 9)=19, слева _3|19-2|=_3(17)/(9)~ 0,58, справа _212=-1; неравенство верно. - x=2>2^(_3 2): слева _3|9-2|=_3 7~ 1,77, справа _2 2=1; верно. - x=1,2in(1,2^(_3 2)): слева _3|1,78-2|~-1,39, справа _2 1,2~ 0,26; неравенство неверно — точка не входит в ответ. Численный скан по всей области подтверждает, что множество решений — ровно (0,1)U(2^(_3 2),+inf). ## Ответ xin(0,1) U (2^(_3 2), +inf), 2^(_3 2)~ 1,549.
\(x\in(0,\,1)\cup\left(2^{\log_3 2},\,+\infty\right)\), где \(2^{\log_3 2}\approx 1{,}549\).