Числовая последовательность удовлетворяет условиям: a_1 = 7/4; 4a_(n+1) - a_n - 6 = 0 при всех n >= 1, S_n = a_1 + a_2 + + a_n. Найти наименьшее натуральное n, при котором выполняется неравенство | S_n - 2n + (1)/(3) | < 10^(-4).
## Идея решения Рекуррентное соотношение 4a_(n+1) - a_n - 6 = 0 переписываем в явном виде a_(n+1) = (a_n + 6)/(4). Это линейная возвратная последовательность. Найдём её **неподвижную точку** L (предел, если он есть): подставляя a_(n+1)=a_n=L, получаем 4L - L - 6 = 0 3L = 6 L = 2. ## Явная формула для a_n Введём отклонение от неподвижной точки b_n = a_n - 2. Тогда b_(n+1) = a_(n+1) - 2 = (a_n + 6)/(4) - 2 = (a_n - 2)/(4) = (1)/(4)b_n. Значит (b_n) — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 14. Первый член: b_1 = a_1 - 2 = (7)/(4) - 2 = -(1)/(4). Отсюда b_n = b_1*(14)^(n-1) = -(1)/(4)*(14)^(n-1) = -(14)^(n) = -4^(-n), и, следовательно, a_n = 2 - 4^(-n). **Проверка формулы.** При n=1: a_1 = 2 - 14 = 74 — верно. Подстановка в рекурренту: 4a_(n+1) - a_n = 4(2 - 4^(-(n+1))) - (2 - 4^(-n)) = 8 - 4^(-n) - 2 + 4^(-n) = 6 — тождество выполнено. ## Сумма S_n Суммируем найденную формулу: S_n = _(k=1)^(n) a_k = _(k=1)^(n)(2 - 4^(-k)) = 2n - _(k=1)^(n) 4^(-k). Внутренняя сумма — геометрическая прогрессия с первым членом 14 и знаменателем 14: _(k=1)^(n) 4^(-k) = (14(1 - (14)^(n)))/(1 - 14) = (1 - 4^(-n))/(3) = (1)/(3) - (4^(-n))/(3). Поэтому S_n = 2n - (1)/(3) + (4^(-n))/(3). ## Преобразование неравенства Выделим выражение под модулем: S_n - 2n + (1)/(3) = (4^(-n))/(3). Эта величина при всех n положительна, значит модуль снимается без изменения знака: | S_n - 2n + (1)/(3) | = (4^(-n))/(3). Неравенство принимает вид (4^(-n))/(3) < 10^(-4) 4^(-n) < 3* 10^(-4) 4^(n) > (10^(4))/(3) = 3333,33 ## Отбор наименьшего n Сравниваем степени четвёрки с (10^4)/(3)~ 3333,3: | n | 4^(n) | 4^(n) > 3333,3? | |---|---|---| | 5 | 1024 | нет | | 6 | 4096 | да | Поскольку 4^(n) строго возрастает, наименьшее натуральное n, при котором 4^(n) > (10^4)/(3), равно n = 6. **Числовая проверка достижимости.** При n=6: (4^(-6))/(3) = (1)/(3* 4096) = (1)/(12288) ~ 8,14* 10^(-5) < 10^(-4) (верно). При n=5: (4^(-5))/(3) = (1)/(3072) ~ 3,26* 10^(-4) > 10^(-4) (неравенство не выполнено). Значит n=5 не подходит, а n=6 — первое подходящее. ## Ответ Наименьшее натуральное n = 6.
Наименьшее натуральное \(n = 6\).