Задача №18522

Числовая последовательность удовлетворяет условиям: $a_1=7/4\text{;}$ $4a_{n+1}-a_n-6=0$ при всех $n\ge 1\text{,}$ $S_n=a_1+a_2+\dots +a_n\text{.}$ Найти наименьшее натуральное $n\text{,}$ при котором выполняется неравенство

$$\left|S_n-2n+\frac{1}{3}\right|<10^{-4}.$$

Идея решения

Рекуррентное соотношение $4a_{n+1}-a_n-6=0$ переписываем в явном виде

$$a_{n+1}=\frac{a_n+6}{4}.$$

Это линейная возвратная последовательность. Найдём её неподвижную точку $L$ (предел, если он есть): подставляя $a_{n+1}=a_n=L\text{,}$ получаем

$$4L-L-6=0⟹3L=6⟹L=2.$$

Явная формула для $a_n$

Введём отклонение от неподвижной точки $b_n=a_n-2\text{.}$ Тогда

$$b_{n+1}=a_{n+1}-2=\frac{a_n+6}{4}-2=\frac{a_n-2}{4}=\frac{1}{4}{b}_n.$$

Значит $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=\frac{1}{4}\text{.}$ Первый член:

$$b_1=a_1-2=\frac{7}{4}-2=-\frac{1}{4}.$$

Отсюда

$$b_n=b_1\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=-\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n=-4^{-n},$$

и, следовательно,

$$a_n=2-4^{-n}.$$

Проверка формулы. При $n=1\text{:}$ $a_1=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$ — верно. Подстановка в рекурренту: $4a_{n+1}-a_n=4(2-4^{-(n+1)})-(2-4^{-n})=8-4^{-n}-2+4^{-n}=6$ — тождество выполнено.

Сумма $S_n$

Суммируем найденную формулу:

$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n(2-4^{-k})=2n-\sum _{k=1}^n{4}^{-k}.$$

Внутренняя сумма — геометрическая прогрессия с первым членом $\frac{1}{4}$ и знаменателем $\frac{1}{4}\text{:}$

$$\sum _{k=1}^n{4}^{-k}=\frac{\frac{1}{4}\left(1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1-4^{-n}}{3}=\frac{1}{3}-\frac{4^{-n}}{3}.$$

Поэтому

$$S_n=2n-\frac{1}{3}+\frac{4^{-n}}{3}.$$

Преобразование неравенства

Выделим выражение под модулем:

$$S_n-2n+\frac{1}{3}=\frac{4^{-n}}{3}.$$

Эта величина при всех $n$ положительна, значит модуль снимается без изменения знака:

$$\left|S_n-2n+\frac{1}{3}\right|=\frac{4^{-n}}{3}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{4^{-n}}{3}<10^{-4}⟺4^{-n}<3\cdot 10^{-4}⟺4^n>\frac{10^4}{3}=3333,33\dots$$

Отбор наименьшего $n$

Сравниваем степени четвёрки с $\frac{10^4}{3}\approx 3333,3\text{:}$

Поскольку $4^n$ строго возрастает, наименьшее натуральное $n\text{,}$ при котором $4^n>\frac{10^4}{3}\text{,}$ равно $n=6\text{.}$

Числовая проверка достижимости. При $n=6\text{:}$

$$\frac{4^{-6}}{3}=\frac{1}{3\cdot 4096}=\frac{1}{12288}\approx 8,14\cdot 10^{-5}<10^{-4}(\text{верно}).$$

При $n=5\text{:}$

$$\frac{4^{-5}}{3}=\frac{1}{3072}\approx 3,26\cdot 10^{-4}>10^{-4}(\text{неравенство не выполнено}).$$

Значит $n=5$ не подходит, а $n=6$ — первое подходящее.

Ответ

Наименьшее натуральное $n=6\text{.}$