Задача №18523

Решить уравнение

$$\sin \left(\cos x-\pi /3\right)+\sqrt{3}\cos \left(\cos x-\pi /3\right)=1.$$

Свёртка левой части. Обозначим $t=\cos x-\frac{\pi }{3}\text{.}$ Уравнение принимает вид

$$\sin t+\sqrt{3}\cos t=1.$$

Выражение $\sin t+\sqrt{3}\cos t$ свернём в одну синусоиду. Поскольку $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2\text{,}$ вынесем множитель $2\text{:}$

$$\sin t+\sqrt{3}\cos t=2\left(\frac{1}{2}\sin t+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos t\right)=2\left(\cos \frac{\pi }{3}\sin t+\sin \frac{\pi }{3}\cos t\right)=2\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right).$$

Здесь использовано $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\text{,}$ $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и формула синуса суммы.

Упрощение аргумента. Заметим, что аргумент как раз возвращает нам $\cos x\text{:}$

$$t+\frac{\pi }{3}=\left(\cos x-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\pi }{3}=\cos x.$$

Поэтому уравнение равносильно

$$2\sin (\cos x)=1⟺\sin (\cos x)=\frac{1}{2}.$$

Решение по внутренней переменной. Введём $u=\cos x\text{.}$ Так как для любого $x$ выполнено $u=\cos x\in [-1;1]\text{,}$ нас интересуют лишь те корни уравнения $\sin u=\frac{1}{2}\text{,}$ которые попадают в отрезок $[-1;1]\text{.}$

Общее решение уравнения $\sin u=\frac{1}{2}\text{:}$

$$u=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{или}u=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Отберём попадающие в $[-1;1]\text{.}$ Оценим кандидатов:

• $u=\frac{\pi }{6}\approx 0,524\in [-1;1]$ — подходит;
• $u=\frac{5\pi }{6}\approx 2,618>1$ — не подходит;
• сдвиги на $\pm 2\pi$ дают $|u|$ не меньше $2\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}\approx 3,67>1$ — все они вне отрезка.

Значит, единственное допустимое значение — $u=\frac{\pi }{6}\text{,}$ то есть

$$\cos x=\frac{\pi }{6}.$$

Разрешимость и запись ответа. Проверим достижимость: $\frac{\pi }{6}\approx 0,524\text{,}$ и $\left|\frac{\pi }{6}\right|<1\text{,}$ поэтому уравнение $\cos x=\frac{\pi }{6}$ имеет решения. Отсюда

$$x=\pm \arccos \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Проверка. При $\cos x=\frac{\pi }{6}$ имеем $t=\cos x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}\text{,}$ тогда

$$\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)+\sqrt{3}\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1,$$

что совпадает с правой частью. Численный перебор по $x$ на нескольких периодах подтверждает, что других серий корней нет: все решения имеют $\cos x=\frac{\pi }{6}\text{.}$

Ответ: $x=\pm \arccos \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$