Решить уравнение sin(cos x - pi/3) + sqrt(3)cos(cos x - pi/3) = 1.
**Свёртка левой части.** Обозначим t = cos x - (pi)/(3). Уравнение принимает вид sin t + sqrt(3)cos t = 1. Выражение sin t + sqrt(3)cos t свернём в одну синусоиду. Поскольку sqrt(1^2 + (3)^2) = 2, вынесем множитель 2: sin t + sqrt(3)cos t = 2((1)/(2)sin t + (3)/(2)cos t) = 2(cos(pi)/(3)sin t + sin(pi)/(3)cos t) = 2sin(t + (pi)/(3)). Здесь использовано cos(pi)/(3) = (1)/(2), sin(pi)/(3) = (3)/(2) и формула синуса суммы. **Упрощение аргумента.** Заметим, что аргумент как раз возвращает нам cos x: t + (pi)/(3) = (cos x - (pi)/(3)) + (pi)/(3) = cos x. Поэтому уравнение равносильно 2sin(cos x) = 1 sin(cos x) = (1)/(2). **Решение по внутренней переменной.** Введём u = cos x. Так как для любого x выполнено u = cos x in [-1;1], нас интересуют лишь те корни уравнения sin u = (1)/(2), которые попадают в отрезок [-1;1]. Общее решение уравнения sin u = (1)/(2): u = (pi)/(6) + 2pi k или u = (5pi)/(6) + 2pi k, kinZ. Отберём попадающие в [-1;1]. Оценим кандидатов: - u = (pi)/(6) ~ 0,524 in [-1;1] — подходит; - u = (5pi)/(6) ~ 2,618 > 1 — не подходит; - сдвиги на +- 2pi дают |u| не меньше 2pi - (5pi)/(6) = (7pi)/(6) ~ 3,67 > 1 — все они вне отрезка. Значит, единственное допустимое значение — u = (pi)/(6), то есть cos x = (pi)/(6). **Разрешимость и запись ответа.** Проверим достижимость: (pi)/(6) ~ 0,524, и |(pi)/(6)| < 1, поэтому уравнение cos x = (pi)/(6) имеет решения. Отсюда x = +-arccos(pi)/(6) + 2pi n, ninZ. **Проверка.** При cos x = (pi)/(6) имеем t = cos x - (pi)/(3) = -(pi)/(6), тогда sin(-(pi)/(6)) + sqrt(3)cos(-(pi)/(6)) = -(1)/(2) + sqrt(3)*(3)/(2) = -(1)/(2) + (3)/(2) = 1, что совпадает с правой частью. Численный перебор по x на нескольких периодах подтверждает, что других серий корней нет: все решения имеют cos x = (pi)/(6). **Ответ:** x = +-arccos(pi)/(6) + 2pi n, ninZ.
\(x = \pm\arccos\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.\)