58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T821,## Идея В знаменателе стоит сумма шести дробей. Разложим их знаменатели на множители: \[ 3=1\cdot 3,\quad 15=3\cdot 5,\quad 35=5\cdot 7,\quad 63=7\cdot 9,\quad 99=9\cdot 11,\quad 143=11\cdot 13. \] Видно, что это произведения соседних нечётных чисел вида $(2k-1)(2k+1)$ при $k=1,2,\dots,6$. Для таких дробей работает разложение на разность (метод «телескопической» суммы): \[ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right). \] Проверить это тождество легко: приведя правую часть к общему знаменателю, получаем $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)}$, что равно левой части. ## Сворачиваем сумму Применим это разложение к каждому слагаемому знаменателя: \[ \frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{11}-\frac{1}{13}\right)\right]. \] Все внутренние члены взаимно уничтожаются (каждый $-\tfrac{1}{2k+1}$ гасится следующим $+\tfrac{1}{2k+1}$), остаются только самый первый и самый последний: \[ =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{13}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{12}{13}=\frac{6}{13}. \] ## Итог Подставляем найденное значение знаменателя в исходную дробь: \[ \frac{6}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{35}+\dfrac{1}{63}+\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{143}}=\frac{6}{\tfrac{6}{13}}=6\cdot\frac{13}{6}=13. \] **Ответ:** $13$.5c:T12db,## Разбор условия Нужны трёхзначные числа $N$ (то есть $100 \le N \le 999$), делящиеся **ровно на два** из трёх чисел $3,\ 5,\ 11$. Значит, из трёх делимостей должны выполняться какие-то две, а третья — нет. Числа $3,\ 5,\ 11$ попарно взаимно просты, поэтому делимость сразу на два из них равносильна делимости на их произведение: \[ 3\cdot 5 = 15,\qquad 3\cdot 11 = 33,\qquad 5\cdot 11 = 55. \] Отсюда три взаимоисключающих случая: - **A:** делится на $15$ (значит на $3$ и $5$), но **не** делится на $11$; - **B:** делится на $33$ (на $3$ и $11$), но **не** делится на $5$; - **C:** делится на $55$ (на $5$ и $11$), но **не** делится на $3$. Эти множества не пересекаются: например, число из случая A делится на $11$? нет — а числа из B и C делятся на $11$, поэтому попасть одновременно в A и B (или A и C) число не может; а B и C различаются делимостью на $3$ и на $5$ соответственно. Значит суммы по случаям можно просто сложить. Во всех трёх случаях «запрещённая» третья делимость — это делимость на оставшееся простое, а вместе с уже имеющимися двумя она даёт делимость на \[ 3\cdot 5\cdot 11 = 165. \] Поэтому в каждом случае удобно взять **все** трёхзначные кратные соответствующего произведения и вычесть кратные $165$. ## Вспомогательная сумма: кратные 165 Трёхзначные кратные $165$: это $165k$, где $165\cdot 1 = 165$ и $165\cdot 6 = 990$, а $165\cdot 7 = 1155 > 999$. Значит $k = 1,\dots,6$: \[ S_{165} = 165\,(1+2+\dots+6) = 165\cdot 21 = 3465, \] всего $6$ чисел. Эту сумму придётся вычесть в каждом из трёх случаев. ## Случай A: кратные 15, не кратные 11 Трёхзначные кратные $15$: $15\cdot 7 = 105$ — наименьшее ($15\cdot 6=90<100$), $15\cdot 66 = 990$ — наибольшее ($15\cdot 67=1005>999$). Значит $k=7,\dots,66$, это $60$ чисел, а их сумма \[ 15\,(7+8+\dots+66) = 15\cdot \frac{(7+66)\cdot 60}{2} = 15\cdot 2190 = 32850. \] Из них выбрасываем кратные $11$, то есть кратные $165$ (их сумма $3465$, количество $6$): \[ S_A = 32850 - 3465 = 29385\qquad(\text{чисел } 60-6=54). \] ## Случай B: кратные 33, не кратные 5 Трёхзначные кратные $33$: $33\cdot 4 = 132$ — наименьшее ($33\cdot 3=99<100$), $33\cdot 30 = 990$ — наибольшее ($33\cdot 31=1023>999$). Значит $k=4,\dots,30$, это $27$ чисел, сумма \[ 33\,(4+5+\dots+30) = 33\cdot \frac{(4+30)\cdot 27}{2} = 33\cdot 459 = 15147. \] Выбрасываем кратные $5$, то есть снова кратные $165$: \[ S_B = 15147 - 3465 = 11682\qquad(\text{чисел } 27-6=21). \] ## Случай C: кратные 55, не кратные 3 Трёхзначные кратные $55$: $55\cdot 2 = 110$ — наименьшее ($55\cdot 1=55<100$), $55\cdot 18 = 990$ — наибольшее ($55\cdot 19=1045>999$). Значит $k=2,\dots,18$, это $17$ чисел, сумма \[ 55\,(2+3+\dots+18) = 55\cdot \frac{(2+18)\cdot 17}{2} = 55\cdot 170 = 9350. \] Выбрасываем кратные $3$, то есть кратные $165$: \[ S_C = 9350 - 3465 = 5885\qquad(\text{чисел } 17-6=11). \] ## Итог Случаи не пересекаются, поэтому искомая сумма \[ S = S_A + S_B + S_C = 29385 + 11682 + 5885 = 46952. \] (Всего таких чисел $54+21+11 = 86$.) **Проверка.** Прямой перебор всех трёхзначных чисел $100..999$ с подсчётом, сколько из делимостей на $3,5,11$ выполняется, даёт ровно $86$ чисел с суммой $46952$ — совпадает с формульным расчётом по трём случаям. **Ответ:** $46952$.5d:T892,**Идея.** Свернём левую часть к функции от $\sin 2x$, понизим степень и получим простое уравнение относительно $\cos 4x$. **Шаг 1. Упрощаем левую часть.** Обозначим $a=\sin^2 x$, $b=\cos^2 x$; тогда $a+b=1$. По формуле суммы кубов \[ \sin^6 x+\cos^6 x=a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^2-ab+b^2. \] Поскольку $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab$, получаем \[ \sin^6 x+\cos^6 x=(1-2ab)-ab=1-3ab=1-3\sin^2 x\cos^2 x. \] **Шаг 2. Переходим к двойному углу.** Так как $\sin x\cos x=\tfrac12\sin 2x$, то $\sin^2 x\cos^2 x=\tfrac14\sin^2 2x$, и \[ \sin^6 x+\cos^6 x=1-\frac{3}{4}\sin^2 2x. \] **Шаг 3. Составляем и решаем уравнение.** Подставляем в исходное равенство: \[ 1-\frac{3}{4}\sin^2 2x=\frac{13}{16}\quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{4}\sin^2 2x=\frac{3}{16}\quad\Longrightarrow\quad \sin^2 2x=\frac{1}{4}. \] Воспользуемся понижением степени $\sin^2 2x=\dfrac{1-\cos 4x}{2}$: \[ \frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad \cos 4x=\frac{1}{2}. \] **Шаг 4. Находим $x$.** Уравнение $\cos 4x=\tfrac12$ даёт \[ 4x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}, \] откуда \[ x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}. \] ОДЗ уравнения — вся числовая прямая, посторонних корней при переходах не возникало (все преобразования равносильны), поэтому отбор не требуется. **Проверка.** При $x=\dfrac{\pi}{12}$ имеем $2x=\dfrac{\pi}{6}$, $\sin^2 2x=\dfrac14$, значит $1-\dfrac34\cdot\dfrac14=1-\dfrac{3}{16}=\dfrac{13}{16}$ — верно. Численный скан на $[-2\pi,2\pi]$ дал ровно 16 корней, и все они укладываются в найденную серию. **Ответ.** \[ x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}. \]5e:T1538,## Идея В неравенстве \[ \log_{|x-3|-2}\left(x+\frac{7}{4}\right)\ \ge\ \log_{|x-3|-2}\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right) \] одинаковое основание $a=|x-3|-2$ и разные аргументы. Обозначим \[ u=x+\frac74,\qquad v=x^{2}-\frac14 . \] Сравнение логарифмов с одним основанием сводится к сравнению аргументов, но **направление** неравенства зависит от того, больше основание единицы или лежит в интервале $(0;1)$. Поэтому сначала выпишем область допустимых значений, а затем разберём два случая по основанию. ## Область допустимых значений Нужно, чтобы основание было положительным и отличным от $1$, а оба аргумента — положительными. **Основание положительно:** \[ |x-3|-2>0\ \Longleftrightarrow\ |x-3|>2\ \Longleftrightarrow\ x<1\ \text{или}\ x>5. \] **Основание не равно $1$:** \[ |x-3|-2\ne 1\ \Longleftrightarrow\ |x-3|\ne 3\ \Longleftrightarrow\ x\ne 0,\quad x\ne 6. \] **Первый аргумент положителен:** \[ x+\frac74>0\ \Longleftrightarrow\ x>-\frac74. \] **Второй аргумент положителен:** \[ x^{2}-\frac14>0\ \Longleftrightarrow\ x<-\frac12\ \text{или}\ x>\frac12. \] Эти условия будем учитывать в каждом случае. ## Вспомогательные неравенства для аргументов Неравенство $u\ge v$, то есть $x+\dfrac74\ge x^{2}-\dfrac14$, равносильно \[ x^{2}-x-2\le 0\ \Longleftrightarrow\ (x-2)(x+1)\le 0\ \Longleftrightarrow\ -1\le x\le 2. \] Обратное неравенство $u\le v$ даёт противоположное множество: \[ x^{2}-x-2\ge 0\ \Longleftrightarrow\ x\le -1\ \text{или}\ x\ge 2. \] ## Случай 1: основание больше единицы Логарифм возрастает, поэтому исходное неравенство равносильно $u\ge v$, то есть $-1\le x\le 2$. Условие $a>1$: \[ |x-3|-2>1\ \Longleftrightarrow\ |x-3|>3\ \Longleftrightarrow\ x<0\ \text{или}\ x>6. \] **Ветка $x<0$.** Учитывая $x>-\dfrac74$ и требование положительности второго аргумента (при $x<0$ годится только $x<-\tfrac12$), получаем допустимый коридор $-\dfrac741$: при $x\in[-1;-\tfrac12)$ имеем $x-3\in[-4;-3.5)$, значит $|x-3|\in(3.5;4]$ и $a=|x-3|-2\in(1.5;2]>1$ — согласовано. **Ветка $x>6$.** Пересечение с $-1\le x\le 2$ пусто. Итог случая 1: $\left[-1;\,-\dfrac12\right)$. ## Случай 2: основание между нулём и единицей Логарифм убывает, поэтому неравенство равносильно $u\le v$, то есть $x\le -1$ или $x\ge 2$. Условие $0\dfrac12$, то есть $x\in\left(\tfrac12;1\right)$. Пересечение с $\{x\le-1\ \text{или}\ x\ge 2\}$ пусто. **Ветка $x\in(5;6)$.** Все аргументы положительны ($x>\tfrac12$, $x>-\tfrac74$), а условие $x\ge 2$ выполнено на всём интервале. Значит подходит весь \[ x\in(5;6). \] Концы исключены самой областью: при $x=5$ основание $a=|5-3|-2=0$, при $x=6$ основание $a=|6-3|-2=1$ — оба запрещены. Итог случая 2: $(5;\,6)$. ## Проверка граничных точек - $x=-1$: основание $a=|-4|-2=2>1$, аргументы $u=\tfrac34>0$, $v=\tfrac34>0$, неравенство обращается в равенство $\log_2\tfrac34=\log_2\tfrac34$ — знак $\ge$ выполнен, точка **включается**. - $x=-\tfrac12$: второй аргумент $v=0$, логарифм не определён — точка **исключается**. - Контрольная точка вне ответа $x=-1.5$ (лежит в допустимом коридоре, но левее $-1$): $a=2.5$, $u=0.25$, $v=2$; $\log_{2.5}0.25\approx-1.51<\log_{2.5}2\approx0.76$ — неравенство не выполнено, значит граница $-1$ существенна. - Численный скан по всей числовой прямой с мелким шагом даёт множество решений $[-1;\,-0.5)\cup(5;\,6)$, что совпадает с аналитическим ответом. ## Ответ \[ x\in\left[-1;\,-\frac12\right)\cup\left(5;\,6\right). \]5f:T1453,## Расстановка обозначений и координат В треугольнике $MNP$ угол $P$ тупой. Высота $NH$ опущена из вершины $N$ на прямую $MP$; поскольку угол $P$ тупой, основание $H$ лежит на продолжении стороны $MP$ за точку $P$. Биссектриса $MQ$ выходит из вершины $M$, точка $Q$ лежит на стороне $NP$. Введём координаты так, чтобы прямая $MP$ стала осью абсцисс: \[ M=(0,0),\qquad P=(p,0),\qquad H=(h,0),\qquad N=(h,n), \] где $p>0$, $n>0$, а условие $h>p$ обеспечивает тупой угол при $P$. Действительно, $\vec{PM}=(-p,0)$, $\vec{PN}=(h-p,n)$ и \[ \vec{PM}\cdot\vec{PN}=-p(h-p)<0\quad\text{при }h>p, \] то есть угол $P$ тупой. Отрезок $NH$ при таких обозначениях вертикален (лежит на прямой $x=h$). ## Свойство биссектрисы Биссектриса $MQ$ делит противоположную сторону $NP$ в отношении прилежащих сторон: \[ \frac{PQ}{QN}=\frac{MP}{MN}. \] По условию $PQ:QN=2:5$, значит \[ \frac{MP}{MN}=\frac{2}{5},\qquad MN=\frac{5}{2}\,MP=\frac{5}{2}\,p. \] Так как $MN=\sqrt{h^2+n^2}$, получаем первое уравнение \[ \sqrt{h^2+n^2}=\frac{5}{2}\,p. \tag{1} \] ## Точка $Q$ и точка пересечения $L$ Из $PQ:QN=2:5$ точка $Q$ делит отрезок $PN$ так, что $PQ:PN=2:7$: \[ Q=P+\frac{2}{7}(N-P)=\left(p+\frac{2}{7}(h-p),\ \frac{2n}{7}\right)=\left(\frac{5p+2h}{7},\ \frac{2n}{7}\right). \] Прямая $MQ$ проходит через начало координат, поэтому её точки имеют вид $(tQ_x,\,tQ_y)$. Прямая $NH$ задаётся уравнением $x=h$. Их пересечение $L$ находится при $tQ_x=h$, откуда ордината \[ L_y=\frac{h\,Q_y}{Q_x}=\frac{h\cdot \tfrac{2n}{7}}{\tfrac{5p+2h}{7}}=\frac{2nh}{5p+2h}. \] Точка $L$ лежит на отрезке $NH$ между $N=(h,n)$ и $H=(h,0)$; при этом $NL=n-L_y$, $LH=L_y$. Условие $NL:LH=5:4$ даёт \[ \frac{n-L_y}{L_y}=\frac{5}{4}\ \Longrightarrow\ 4n=9L_y\ \Longrightarrow\ L_y=\frac{4n}{9}. \] Подставляя выражение для $L_y$ и сокращая на $n>0$: \[ \frac{2h}{5p+2h}=\frac{4}{9}\ \Longrightarrow\ 18h=20p+8h\ \Longrightarrow\ 10h=20p\ \Longrightarrow\ h=2p. \tag{2} \] ## Нахождение размеров Подставим $h=2p$ в (1): \[ \sqrt{4p^2+n^2}=\frac{5}{2}p\ \Longrightarrow\ 4p^2+n^2=\frac{25}{4}p^2\ \Longrightarrow\ n^2=\frac{9}{4}p^2\ \Longrightarrow\ n=\frac{3}{2}p. \] Теперь вычислим $PN$ и $PQ$. Поскольку $h-p=p$ и $n=\tfrac{3p}{2}$, \[ PN=\sqrt{(h-p)^2+n^2}=\sqrt{p^2+\tfrac{9}{4}p^2}=\frac{p\sqrt{13}}{2}, \qquad PQ=\frac{2}{7}\,PN=\frac{p\sqrt{13}}{7}. \] Из условия $PQ=\dfrac{4}{\sqrt{10}}$: \[ \frac{p\sqrt{13}}{7}=\frac{4}{\sqrt{10}}\ \Longrightarrow\ p=\frac{28}{\sqrt{130}}. \tag{3} \] ## Радиус окружности около треугольника $MPQ$ Координаты вершин с учётом $h=2p$, $n=\tfrac{3p}{2}$: \[ M=(0,0),\qquad P=(p,0),\qquad Q=\left(\frac{5p+2h}{7},\ \frac{2n}{7}\right)=\left(\frac{9p}{7},\ \frac{3p}{7}\right). \] Удобно применить теорему синусов для треугольника $MPQ$ со стороной $PQ$, лежащей против угла $\angle PMQ$: \[ R=\frac{PQ}{2\sin\angle PMQ}. \] Угол $\angle PMQ$ — это угол между лучом $MP$ (осью абсцисс) и лучом $MQ$ с направляющим вектором $\left(\tfrac{9p}{7},\tfrac{3p}{7}\right)\parallel(3,1)$. Синус угла между вектором $(3,1)$ и осью абсцисс равен отношению модуля второй координаты к длине вектора: \[ \sin\angle PMQ=\frac{1}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}. \] Следовательно, \[ R=\frac{PQ}{2\cdot \tfrac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{PQ\,\sqrt{10}}{2}=\frac{\tfrac{4}{\sqrt{10}}\cdot\sqrt{10}}{2}=\frac{4}{2}=2. \] **Проверка через формулу $R=\dfrac{abc}{4S}$.** Стороны треугольника $MPQ$: \[ MP=p,\quad PQ=\frac{p\sqrt{13}}{7},\quad MQ=\frac{p}{7}\sqrt{9^2+3^2}=\frac{3p\sqrt{10}}{7}; \] площадь $S=\tfrac12\left|P_xQ_y-P_yQ_x\right|=\tfrac12\cdot p\cdot\tfrac{3p}{7}=\dfrac{3p^2}{14}$. Тогда \[ R=\frac{p\cdot\tfrac{p\sqrt{13}}{7}\cdot\tfrac{3p\sqrt{10}}{7}}{4\cdot\tfrac{3p^2}{14}}=\frac{p\sqrt{130}}{14}. \] С учётом (3) $p=\dfrac{28}{\sqrt{130}}$, поэтому \[ R=\frac{\sqrt{130}}{14}\cdot\frac{28}{\sqrt{130}}=\frac{28}{14}=2. \] Оба способа дают один и тот же результат. ## Ответ \[ R=2. \]60:Tc4c,## Условие Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют $\sqrt{a+b+4c}=4$. Нужно найти наибольшее значение выражения \[ S=\sqrt{a}+\sqrt{2b}+\sqrt{4c} \] и указать, при каких $a,b,c$ оно достигается. ## Приведение условия Обе части равенства $\sqrt{a+b+4c}=4$ неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат равносильно: \[ a+b+4c=16. \] Все три числа положительны, так что каждое из подкоренных выражений в $S$ положительно и $S>0$. ## Оценка сверху (неравенство Коши — Буняковского) Запишем слагаемые $S$ так, чтобы под корнями возникли именно величины $a,\ b,\ 4c$, сумма которых фиксирована: \[ S=\sqrt{a}+\sqrt{2}\,\sqrt{b}+2\sqrt{c}=1\cdot\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{b}+1\cdot\bigl(2\sqrt{c}\bigr). \] Это скалярное произведение двух векторов \[ \mathbf{u}=\bigl(\sqrt{a},\ \sqrt{b},\ 2\sqrt{c}\bigr),\qquad \mathbf{v}=\bigl(1,\ \sqrt{2},\ 1\bigr). \] Заметим, что \[ |\mathbf{u}|^2=a+b+4c=16,\qquad |\mathbf{v}|^2=1+2+1=4. \] По неравенству Коши — Буняковского $(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2\le |\mathbf{u}|^2\,|\mathbf{v}|^2$, откуда \[ S=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\le \sqrt{16}\cdot\sqrt{4}=4\cdot 2=8. \] Таким образом, $S\le 8$ при любых допустимых $a,b,c$. ## Условие достижения максимума Равенство в неравенстве Коши — Буняковского достигается тогда и только тогда, когда векторы $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ пропорциональны: \[ \frac{\sqrt{a}}{1}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{c}}{1}=t,\qquad t>0. \] Отсюда \[ \sqrt{a}=t,\quad \sqrt{b}=t\sqrt{2},\quad \sqrt{c}=\frac{t}{2}, \] то есть \[ a=t^2,\qquad b=2t^2,\qquad c=\frac{t^2}{4},\qquad 4c=t^2. \] Подставим в связь $a+b+4c=16$: \[ t^2+2t^2+t^2=4t^2=16\ \Longrightarrow\ t^2=4\ \Longrightarrow\ t=2\ (t>0). \] Значит \[ a=4,\qquad b=8,\qquad c=1. \] Все три числа положительны, то есть допустимы, и оценка $S\le 8$ действительно достигается — максимум существует. ## Проверка При $a=4,\ b=8,\ c=1$: \[ a+b+4c=4+8+4=16,\qquad \sqrt{a+b+4c}=\sqrt{16}=4\ (\text{условие выполнено}), \] \[ \sqrt{a}+\sqrt{2b}+\sqrt{4c}=\sqrt{4}+\sqrt{16}+\sqrt{4}=2+4+2=8. \] Численная оптимизация при связи $a+b+4c=16$ также даёт максимум $8$ в точке $(a,b,c)=(4,8,1)$. ## Ответ Наибольшее значение выражения равно $\boxed{8}$; оно достигается при $a=4,\ b=8,\ c=1$.61:T12a2,## Выбор системы координат Основание $MNP$ — равносторонний треугольник со стороной $2$. Разместим его в плоскости $z=0$: \[ M=(-1,\,0,\,0),\qquad N=(1,\,0,\,0),\qquad P=\left(0,\,\sqrt3,\,0\right). \] Проверка: $MN=NP=MP=2$. Обратите внимание, что ребро $MN$ лежит на оси $Ox$. ## Координаты вершины $S$ Пусть $S=(x,y,z)$, $z>0$. Из равенства $MS=NS=\sqrt{12}=2\sqrt3$: \[ (x+1)^2+y^2+z^2=(x-1)^2+y^2+z^2 \;\Longrightarrow\; x=0. \] Тогда $MS^2=1+y^2+z^2=12$, то есть $y^2+z^2=11$. Из условия $PS=4$: \[ (y-\sqrt3)^2+z^2=16 \;\Longrightarrow\; \underbrace{(y^2+z^2)}_{11}-2\sqrt3\,y+3=16 \;\Longrightarrow\; y=-\frac{\sqrt3}{3}. \] Отсюда $z^2=11-\dfrac13=\dfrac{32}{3}$, и, поскольку $z>0$, \[ S=\left(0,\,-\frac{\sqrt3}{3},\,\frac{4\sqrt6}{3}\right),\qquad SQ=\frac{4\sqrt6}{3}. \] ## Основание высоты и центр шара Высота $SQ$ перпендикулярна основанию, значит $Q$ — проекция $S$ на плоскость $z=0$: \[ Q=\left(0,\,-\frac{\sqrt3}{3},\,0\right). \] (Точка $Q$ лежит вне треугольника, по другую сторону от прямой $MN$, чем $P$ — это нормально для косоугольной пирамиды.) Шар касается плоскости $MNP$ в точке $Q$, поэтому его центр $O_1$ лежит на перпендикуляре к основанию, проведённом через $Q$, а расстояние от $O_1$ до основания равно радиусу. Так как шар должен касаться и грани $MNS$, лежащей над основанием, центр берём над плоскостью: \[ O_1=\left(0,\,-\frac{\sqrt3}{3},\,r\right),\qquad r>0. \] ## Условие касания грани $MNS$ Найдём плоскость $MNS$. Нормаль: \[ \vec n=\vec{MN}\times\vec{MS}=(2,0,0)\times\left(1,-\tfrac{\sqrt3}{3},\tfrac{4\sqrt6}{3}\right)=\left(0,\,-\tfrac{8\sqrt6}{3},\,-\tfrac{2\sqrt3}{3}\right)\parallel\left(0,\,4\sqrt6,\,\sqrt3\right). \] Плоскость проходит через $M=(-1,0,0)$ и $N=(1,0,0)$, её уравнение: \[ 4\sqrt6\,y+\sqrt3\,z=0,\qquad |\vec n|=\sqrt{(4\sqrt6)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{96+3}=3\sqrt{11}. \] Расстояние от $O_1$ до этой плоскости должно равняться $r$: \[ \frac{\left|4\sqrt6\cdot\left(-\tfrac{\sqrt3}{3}\right)+\sqrt3\cdot r\right|}{3\sqrt{11}}=\frac{\left|-4\sqrt2+\sqrt3\,r\right|}{3\sqrt{11}}=r. \] ## Решение уравнения и отбор корня При малых $r$ выражение $-4\sqrt2+\sqrt3\,r<0$, поэтому раскрываем модуль со сменой знака: \[ 4\sqrt2-\sqrt3\,r=3\sqrt{11}\,r \;\Longrightarrow\; 4\sqrt2=\left(3\sqrt{11}+\sqrt3\right)r. \] Второй случай $\sqrt3\,r-4\sqrt2=3\sqrt{11}\,r$ даёт $r=\dfrac{-4\sqrt2}{3\sqrt{11}-\sqrt3}<0$ — отбрасываем. Значит, \[ r=\frac{4\sqrt2}{3\sqrt{11}+\sqrt3}=\frac{4\sqrt2\left(3\sqrt{11}-\sqrt3\right)}{99-3}=\frac{3\sqrt{22}-\sqrt6}{24}. \] Это же значение удобно записать через дигранный угол при ребре $MN$: обе грани содержат прямую $MN$, поэтому шар вписан в двугранный угол, а $r=EQ\cdot\tan\dfrac{\varphi}{2}$, где $EQ=\dfrac{\sqrt3}{3}$ и $\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{33}}$; отсюда \[ r=\frac{\sqrt{33}-1}{4\sqrt6}=\frac{3\sqrt{22}-\sqrt6}{24}\approx 0{,}484. \] ## Проверка достижимости (касание именно грани) Точка касания $T$ плоскости $MNS$ имеет координаты $\left(0,\,-0{,}1005,\,0{,}5685\right)$; её барицентрические коэффициенты относительно $M,N,S$ равны $a=\tfrac12-\tfrac{\sqrt{33}}{66}\approx0{,}41$, $b=\tfrac{\sqrt{33}}{33}\approx0{,}17$, причём $a,b>0$ и $a+b<1$. Значит, $T$ лежит **внутри** грани $MNS$ — шар действительно касается грани, а не её продолжения. Кроме того, длины касательных совпадают: $EQ=ET=\tfrac{\sqrt3}{3}$, что подтверждает вычисление. ## Ответ \[ \boxed{\,r=\frac{3\sqrt{22}-\sqrt6}{24}=\frac{\sqrt{33}-1}{4\sqrt6}\approx0{,}48\,}. \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ШМП МГУ, лето 2026\",\"description\":\"Коллекция \\\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ШМП МГУ, лето 2026\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 7 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/probn-2026-shmp-leto\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-07-10T12:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ШМП МГУ, лето 2026\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Пробный ДВИ МГУ 2026 — ШМП МГУ, лето 2026-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ШМП МГУ, лето 2026"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"probn-2026-shmp-leto","serverCollection":{"id":"0f2a6eec-c9e9-4c01-b2b3-d35a0861fcc8","name":"Пробный ДВИ МГУ 2026 — ШМП МГУ, лето 2026","code":"probn-2026-shmp-leto","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"exam_format_2026":"written","hidden_problem_count":0,"is_probnik":true,"solved_count":0,"source":"ШМП МГУ, репетиционный вариант, лето 2026","source_url":"","total_problem_count":7,"variant_batch":"dvi-probniki-2026-v1","visible_problem_count":7,"year":2026},"created_at":"2026-07-10T12:20:00Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem_count":7,"visible_count":7,"total_count":7,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"88b40c27-fa2f-422c-a366-a9e5300afd3e","collection_id":"0f2a6eec-c9e9-4c01-b2b3-d35a0861fcc8","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"88b40c27-fa2f-422c-a366-a9e5300afd3e","short_id":18535,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Упростить до целого числа выражение\n\\[ \\dfrac{6}{\\dfrac{1}{3}+\\dfrac{1}{15}+\\dfrac{1}{35}+\\dfrac{1}{63}+\\dfrac{1}{99}+\\dfrac{1}{143}}. \\]","answer_text":"\$13\$","answer":"\$13\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"1","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ШМП МГУ, репетиционный вариант, лето 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-shmp-leto","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"81b6d40c-482e-45fe-8124-ccabd1c95818","collection_id":"0f2a6eec-c9e9-4c01-b2b3-d35a0861fcc8","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"81b6d40c-482e-45fe-8124-ccabd1c95818","short_id":18536,"task_number":15,"topic_id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найти сумму всех трёхзначных натуральных чисел, таких, что каждое из них делится нацело ровно на два из трёх следующих чисел: \$3, 5, 11\$.","answer_text":"Сумма равна \$46952\$.","answer":"Сумма равна \$46952\$.","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"2","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ШМП МГУ, репетиционный вариант, лето 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-shmp-leto","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","name":"Числа и делимость","description":null},"tags":[{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"}]}},{"problem_id":"18cbc358-aefd-4368-9219-87d540d8bb79","collection_id":"0f2a6eec-c9e9-4c01-b2b3-d35a0861fcc8","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"18cbc358-aefd-4368-9219-87d540d8bb79","short_id":18537,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решить уравнение \$ \\sin^6 x + \\cos^6 x = \\dfrac{13}{16} \$.","answer_text":"\$x = \\pm\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{\\pi k}{2},\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\pm\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{\\pi k}{2},\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"3","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ШМП МГУ, репетиционный вариант, лето 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-shmp-leto","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"2a6876b0-df38-4bc8-89a9-d986e627b92a","code":"tag-38","name":"Основное тригонометрическое тождество и его следствия"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"8ea6d94f-c18c-4ec8-8054-5d6cec392300","collection_id":"0f2a6eec-c9e9-4c01-b2b3-d35a0861fcc8","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"8ea6d94f-c18c-4ec8-8054-5d6cec392300","short_id":18538,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить неравенство \$ \\log_{|x-3|-2}\\left(x+\\dfrac{7}{4}\\right) \\ge \\log_{|x-3|-2}\\left(x^2-\\dfrac{1}{4}\\right) \$.","answer_text":"\$x\\in\\left[-1;\\,-\\tfrac12\\right)\\cup\\left(5;\\,6\\right)\$","answer":"\$x\\in\\left[-1;\\,-\\tfrac12\\right)\\cup\\left(5;\\,6\\right)\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"4","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ШМП МГУ, репетиционный вариант, лето 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-shmp-leto","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"}]}},{"problem_id":"47716bea-ab29-4a32-8adf-cbc7ed22d891","collection_id":"0f2a6eec-c9e9-4c01-b2b3-d35a0861fcc8","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"47716bea-ab29-4a32-8adf-cbc7ed22d891","short_id":18539,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В треугольнике \$MNP\$ с тупым углом \$P\$ проведена высота \$NH\$ и биссектриса \$MQ\$. Прямые \$NH\$ и \$MQ\$ пересекаются в точке \$L\$. Известно, что \$PQ:QN=2:5\$, \$NL:LH=5:4\$, и \$PQ=\\dfrac{4}{\\sqrt{10}}\$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника \$MPQ\$.","answer_text":"Радиус описанной окружности треугольника \$MPQ\$ равен \$R = 2\$.","answer":"Радиус описанной окружности треугольника \$MPQ\$ равен \$R = 2\$.","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"5","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ШМП МГУ, репетиционный вариант, лето 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-shmp-leto","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"d3b75ad2-c6a5-4ba6-85c8-0cbefe7f8516","code":"tag-199","name":"Окружность, описанная вокруг треугольника"}]}},{"problem_id":"e6747da8-c2e6-42d5-874a-f33931317bfb","collection_id":"0f2a6eec-c9e9-4c01-b2b3-d35a0861fcc8","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"e6747da8-c2e6-42d5-874a-f33931317bfb","short_id":18540,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Положительные числа \$a, b, c\$ удовлетворяют условию \$ \\sqrt{a+b+4c}=4 \$. Найти наибольшее значение выражения \$ \\sqrt{a}+\\sqrt{2b}+\\sqrt{4c} \$ и указать, при каких значениях \$a, b, c\$ оно достигается.","answer_text":"Наибольшее значение равно \$8\$; достигается при \$a=4,\\ b=8,\\ c=1\$.","answer":"Наибольшее значение равно \$8\$; достигается при \$a=4,\\ b=8,\\ c=1\$.","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"6","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ШМП МГУ, репетиционный вариант, лето 2026","source_url":"","template_pair":"probn-2026-vmk#6","variant_key":"probn-2026-shmp-leto","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"4ab3de8e-a1d9-41ef-93f4-2e9310ac49f6","code":"tag-71","name":"Задачи на оптимальный выбор"}]}},{"problem_id":"110588a6-fbc6-4830-a679-88f5275782c1","collection_id":"0f2a6eec-c9e9-4c01-b2b3-d35a0861fcc8","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"110588a6-fbc6-4830-a679-88f5275782c1","short_id":18541,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"В тетраэдре \$SMNP\$ длины рёбер равны \$MN=NP=MP=2\$, \$MS=NS=\\sqrt{12}\$, \$PS=4\$, \$SQ\$ — высота пирамиды. Шар с центром \$O_1\$ касается плоскости \$MNP\$ в точке \$Q\$, и также касается грани \$MNS\$. Найти радиус шара.","answer_text":"Радиус шара \$r=\\dfrac{3\\sqrt{22}-\\sqrt6}{24}=\\dfrac{\\sqrt{33}-1}{4\\sqrt6}\\approx 0{,}48\$.","answer":"Радиус шара \$r=\\dfrac{3\\sqrt{22}-\\sqrt6}{24}=\\dfrac{\\sqrt{33}-1}{4\\sqrt6}\\approx 0{,}48\$.","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"7","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ШМП МГУ, репетиционный вариант, лето 2026","source_url":"","template_pair":"probn-2026-shmp-popov#7","variant_key":"probn-2026-shmp-leto","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"70650cb8-97e2-45bf-84d4-ff24f2da3722","code":"tag-100","name":"Расстояние от точки до плоскости"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"},{"id":"da939019-cc2d-47f3-895d-009e5f7496f5","code":"tag-209","name":"Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы"}]}}],"total":7},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]