Задача №18538

Решить неравенство ${\log }_{|x-3|-2}\left(x+\frac{7}{4}\right)\ge {\log }_{|x-3|-2}\left(x^2-\frac{1}{4}\right)\text{.}$

Идея

В неравенстве

одинаковое основание $a=|x-3|-2$ и разные аргументы. Обозначим

Сравнение логарифмов с одним основанием сводится к сравнению аргументов, но направление неравенства зависит от того, больше основание единицы или лежит в интервале $(0;1)\text{.}$ Поэтому сначала выпишем область допустимых значений, а затем разберём два случая по основанию.

Область допустимых значений

Нужно, чтобы основание было положительным и отличным от $1\text{,}$ а оба аргумента — положительными.

Основание положительно:

Основание не равно $1\text{:}$

Первый аргумент положителен:

Второй аргумент положителен:

Эти условия будем учитывать в каждом случае.

Вспомогательные неравенства для аргументов

Неравенство $u\ge v\text{,}$ то есть $x+\frac{7}{4}\ge x^2-\frac{1}{4}\text{,}$ равносильно

Обратное неравенство $u\le v$ даёт противоположное множество:

Случай 1: основание больше единицы

Логарифм возрастает, поэтому исходное неравенство равносильно $u\ge v\text{,}$ то есть $-1\le x\le 2\text{.}$

Условие $a>1\text{:}$

Ветка $x<0\text{.}$ Учитывая $x>-\frac{7}{4}$ и требование положительности второго аргумента (при $x<0$ годится только $x<-\frac{1}{2}$), получаем допустимый коридор $-\frac{7}{4}<x<-\frac{1}{2}\text{.}$ Пересекаем с решением $-1\le x\le 2\text{:}$

Проверим, что здесь и правда $a>1\text{:}$ при $x\in [-1;-\frac{1}{2})$ имеем $x-3\in [-4;-3.5)\text{,}$ значит $|x-3|\in (3.5;4]$ и $a=|x-3|-2\in (1.5;2]>1$ — согласовано.

Ветка $x>6\text{.}$ Пересечение с $-1\le x\le 2$ пусто.

Итог случая 1: $\left[-1;-\frac{1}{2}\right)\text{.}$

Случай 2: основание между нулём и единицей

Логарифм убывает, поэтому неравенство равносильно $u\le v\text{,}$ то есть $x\le -1$ или $x\ge 2\text{.}$

Условие $0<a<1\text{:}$

Ветка $x\in (0;1)\text{.}$ Здесь положительность второго аргумента требует $x>\frac{1}{2}\text{,}$ то есть $x\in \left(\frac{1}{2};1\right)\text{.}$ Пересечение с $\{x\le -1\text{или}x\ge 2\}$ пусто.

Ветка $x\in (5;6)\text{.}$ Все аргументы положительны ($x>\frac{1}{2}\text{,}$ $x>-\frac{7}{4}$), а условие $x\ge 2$ выполнено на всём интервале. Значит подходит весь

Концы исключены самой областью: при $x=5$ основание $a=|5-3|-2=0\text{,}$ при $x=6$ основание $a=|6-3|-2=1$ — оба запрещены.

Итог случая 2: $(5;6)\text{.}$

Проверка граничных точек

• $x=-1\text{:}$ основание $a=|-4|-2=2>1\text{,}$ аргументы $u=\frac{3}{4}>0\text{,}$ $v=\frac{3}{4}>0\text{,}$ неравенство обращается в равенство ${\log }_2\frac{3}{4}={\log }_2\frac{3}{4}$ — знак $\ge$ выполнен, точка включается.
• $x=-\frac{1}{2}\text{:}$ второй аргумент $v=0\text{,}$ логарифм не определён — точка исключается.
• Контрольная точка вне ответа $x=-1.5$ (лежит в допустимом коридоре, но левее $-1$): $a=2.5\text{,}$ $u=0.25\text{,}$ $v=2\text{;}$ ${\log }_{2.5}0.25\approx -1.51<{\log }_{2.5}2\approx 0.76$ — неравенство не выполнено, значит граница $-1$ существенна.
• Численный скан по всей числовой прямой с мелким шагом даёт множество решений $[-1;-0.5)\cup (5;6)\text{,}$ что совпадает с аналитическим ответом.

Ответ