Решить неравенство _(|x-3|-2)(x+(7)/(4)) >= _(|x-3|-2)(x^2-(1)/(4)) .
## Идея В неравенстве _(|x-3|-2)(x+(7)/(4)) >= _(|x-3|-2)(x^(2)-(1)/(4)) одинаковое основание a=|x-3|-2 и разные аргументы. Обозначим u=x+74, v=x^(2)-14 . Сравнение логарифмов с одним основанием сводится к сравнению аргументов, но **направление** неравенства зависит от того, больше основание единицы или лежит в интервале (0;1). Поэтому сначала выпишем область допустимых значений, а затем разберём два случая по основанию. ## Область допустимых значений Нужно, чтобы основание было положительным и отличным от 1, а оба аргумента — положительными. **Основание положительно:** |x-3|-2>0 |x-3|>2 x<1 или x>5. **Основание не равно 1:** |x-3|-2!= 1 |x-3|!= 3 x!= 0, x!= 6. **Первый аргумент положителен:** x+74>0 x>-74. **Второй аргумент положителен:** x^(2)-14>0 x<-12 или x>12. Эти условия будем учитывать в каждом случае. ## Вспомогательные неравенства для аргументов Неравенство u>= v, то есть x+74>= x^(2)-14, равносильно x^(2)-x-2<= 0 (x-2)(x+1)<= 0 -1<= x<= 2. Обратное неравенство u<= v даёт противоположное множество: x^(2)-x-2>= 0 x<= -1 или x>= 2. ## Случай 1: основание больше единицы Логарифм возрастает, поэтому исходное неравенство равносильно u>= v, то есть -1<= x<= 2. Условие a>1: |x-3|-2>1 |x-3|>3 x<0 или x>6. **Ветка x<0.** Учитывая x>-74 и требование положительности второго аргумента (при x<0 годится только x<-12), получаем допустимый коридор -74<x<-12. Пересекаем с решением -1<= x<= 2: -1<= x<-12 . Проверим, что здесь и правда a>1: при xin[-1;-12) имеем x-3in[-4;-3.5), значит |x-3|in(3.5;4] и a=|x-3|-2in(1.5;2]>1 — согласовано. **Ветка x>6.** Пересечение с -1<= x<= 2 пусто. Итог случая 1: [-1;-12). ## Случай 2: основание между нулём и единицей Логарифм убывает, поэтому неравенство равносильно u<= v, то есть x<= -1 или x>= 2. Условие 0<a<1: 0<|x-3|-2<1 2<|x-3|<3 xin(0;1) или xin(5;6). **Ветка xin(0;1).** Здесь положительность второго аргумента требует x>12, то есть xin(12;1). Пересечение с x<=-1 или x>= 2 пусто. **Ветка xin(5;6).** Все аргументы положительны (x>12, x>-74), а условие x>= 2 выполнено на всём интервале. Значит подходит весь xin(5;6). Концы исключены самой областью: при x=5 основание a=|5-3|-2=0, при x=6 основание a=|6-3|-2=1 — оба запрещены. Итог случая 2: (5;6). ## Проверка граничных точек - x=-1: основание a=|-4|-2=2>1, аргументы u=34>0, v=34>0, неравенство обращается в равенство _234=_234 — знак >= выполнен, точка **включается**. - x=-12: второй аргумент v=0, логарифм не определён — точка **исключается**. - Контрольная точка вне ответа x=-1.5 (лежит в допустимом коридоре, но левее -1): a=2.5, u=0.25, v=2; _(2.5)0.25~-1.51<_(2.5)2~0.76 — неравенство не выполнено, значит граница -1 существенна. - Численный скан по всей числовой прямой с мелким шагом даёт множество решений [-1;-0.5)U(5;6), что совпадает с аналитическим ответом. ## Ответ xin[-1;-12)U(5;6).
\(x\in\left[-1;\,-\tfrac12\right)\cup\left(5;\,6\right)\)