Задача №18539

В треугольнике $MNP$ с тупым углом $P$ проведена высота $NH$ и биссектриса $MQ\text{.}$ Прямые $NH$ и $MQ$ пересекаются в точке $L\text{.}$ Известно, что $PQ:QN=2:5\text{,}$ $NL:LH=5:4\text{,}$ и $PQ=\frac{4}{\sqrt{10}}\text{.}$ Найти радиус окружности, описанной около треугольника $MPQ\text{.}$

Расстановка обозначений и координат

В треугольнике $MNP$ угол $P$ тупой. Высота $NH$ опущена из вершины $N$ на прямую $MP\text{;}$ поскольку угол $P$ тупой, основание $H$ лежит на продолжении стороны $MP$ за точку $P\text{.}$ Биссектриса $MQ$ выходит из вершины $M\text{,}$ точка $Q$ лежит на стороне $NP\text{.}$

Введём координаты так, чтобы прямая $MP$ стала осью абсцисс:

где $p>0\text{,}$ $n>0\text{,}$ а условие $h>p$ обеспечивает тупой угол при $P\text{.}$ Действительно, $\overrightarrow{PM}=(-p,0)\text{,}$ $\overrightarrow{PN}=(h-p,n)$ и

то есть угол $P$ тупой. Отрезок $NH$ при таких обозначениях вертикален (лежит на прямой $x=h$).

Свойство биссектрисы

Биссектриса $MQ$ делит противоположную сторону $NP$ в отношении прилежащих сторон:

По условию $PQ:QN=2:5\text{,}$ значит

Так как $MN=\sqrt{h^2+n^2}\text{,}$ получаем первое уравнение

Точка $Q$ и точка пересечения $L$

Из $PQ:QN=2:5$ точка $Q$ делит отрезок $PN$ так, что $PQ:PN=2:7\text{:}$

Прямая $MQ$ проходит через начало координат, поэтому её точки имеют вид $(t{Q}_x,t{Q}_y)\text{.}$ Прямая $NH$ задаётся уравнением $x=h\text{.}$ Их пересечение $L$ находится при $t{Q}_x=h\text{,}$ откуда ордината

Точка $L$ лежит на отрезке $NH$ между $N=(h,n)$ и $H=(h,0)\text{;}$ при этом $NL=n-L_y\text{,}$ $LH=L_y\text{.}$ Условие $NL:LH=5:4$ даёт

Подставляя выражение для $L_y$ и сокращая на $n>0\text{:}$

Нахождение размеров

Подставим $h=2p$ в (1):

Теперь вычислим $PN$ и $PQ\text{.}$ Поскольку $h-p=p$ и $n=\frac{3p}{2}\text{,}$

Из условия $PQ=\frac{4}{\sqrt{10}}\text{:}$

Радиус окружности около треугольника $MPQ$

Координаты вершин с учётом $h=2p\text{,}$ $n=\frac{3p}{2}\text{:}$

Удобно применить теорему синусов для треугольника $MPQ$ со стороной $PQ\text{,}$ лежащей против угла $\angle PMQ\text{:}$

Угол $\angle PMQ$ — это угол между лучом $MP$ (осью абсцисс) и лучом $MQ$ с направляющим вектором $\left(\frac{9p}{7},\frac{3p}{7}\right)\parallel (3,1)\text{.}$ Синус угла между вектором $(3,1)$ и осью абсцисс равен отношению модуля второй координаты к длине вектора:

Следовательно,

Проверка через формулу $R=\frac{abc}{4S}\text{.}$ Стороны треугольника $MPQ\text{:}$

площадь $S=\frac{1}{2}\left|P_x{Q}_y-P_y{Q}_x\right|=\frac{1}{2}\cdot p\cdot \frac{3p}{7}=\frac{3p^2}{14}\text{.}$ Тогда

С учётом (3) $p=\frac{28}{\sqrt{130}}\text{,}$ поэтому

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ