В треугольнике MNP с тупым углом P проведена высота NH и биссектриса MQ. Прямые NH и MQ пересекаются в точке L. Известно, что PQ:QN=2:5, NL:LH=5:4, и PQ=(4)/(sqrt(10)). Найти радиус окружности, описанной около треугольника MPQ.
## Расстановка обозначений и координат В треугольнике MNP угол P тупой. Высота NH опущена из вершины N на прямую MP; поскольку угол P тупой, основание H лежит на продолжении стороны MP за точку P. Биссектриса MQ выходит из вершины M, точка Q лежит на стороне NP. Введём координаты так, чтобы прямая MP стала осью абсцисс: M=(0,0), P=(p,0), H=(h,0), N=(h,n), где p>0, n>0, а условие h>p обеспечивает тупой угол при P. Действительно, PM=(-p,0), PN=(h-p,n) и PM*PN=-p(h-p)<0 при h>p, то есть угол P тупой. Отрезок NH при таких обозначениях вертикален (лежит на прямой x=h). ## Свойство биссектрисы Биссектриса MQ делит противоположную сторону NP в отношении прилежащих сторон: (PQ)/(QN)=(MP)/(MN). По условию PQ:QN=2:5, значит (MP)/(MN)=(2)/(5), MN=(5)/(2)MP=(5)/(2)p. Так как MN=sqrt(h^2+n^2), получаем первое уравнение sqrt(h^2+n^2)=(5)/(2)p. 1 ## Точка Q и точка пересечения L Из PQ:QN=2:5 точка Q делит отрезок PN так, что PQ:PN=2:7: Q=P+(2)/(7)(N-P)=(p+(2)/(7)(h-p), (2n)/(7))=((5p+2h)/(7), (2n)/(7)). Прямая MQ проходит через начало координат, поэтому её точки имеют вид (tQ_x,tQ_y). Прямая NH задаётся уравнением x=h. Их пересечение L находится при tQ_x=h, откуда ордината L_y=(hQ_y)/(Q_x)=(h* (2n)/(7))/((5p+2h)/(7))=(2nh)/(5p+2h). Точка L лежит на отрезке NH между N=(h,n) и H=(h,0); при этом NL=n-L_y, LH=L_y. Условие NL:LH=5:4 даёт (n-L_y)/(L_y)=(5)/(4) 4n=9L_y L_y=(4n)/(9). Подставляя выражение для L_y и сокращая на n>0: (2h)/(5p+2h)=(4)/(9) 18h=20p+8h 10h=20p h=2p. 2 ## Нахождение размеров Подставим h=2p в (1): sqrt(4p^2+n^2)=(5)/(2)p 4p^2+n^2=(25)/(4)p^2 n^2=(9)/(4)p^2 n=(3)/(2)p. Теперь вычислим PN и PQ. Поскольку h-p=p и n=(3p)/(2), PN=sqrt((h-p)^2+n^2)=sqrt(p^2+(9)/(4)p^2)=(psqrt(13))/(2), PQ=(2)/(7)PN=(psqrt(13))/(7). Из условия PQ=(4)/(sqrt(10)): (psqrt(13))/(7)=(4)/(sqrt(10)) p=(28)/(sqrt(130)). 3 ## Радиус окружности около треугольника MPQ Координаты вершин с учётом h=2p, n=(3p)/(2): M=(0,0), P=(p,0), Q=((5p+2h)/(7), (2n)/(7))=((9p)/(7), (3p)/(7)). Удобно применить теорему синусов для треугольника MPQ со стороной PQ, лежащей против угла PMQ: R=(PQ)/(2sin PMQ). Угол PMQ — это угол между лучом MP (осью абсцисс) и лучом MQ с направляющим вектором ((9p)/(7),(3p)/(7))(3,1). Синус угла между вектором (3,1) и осью абсцисс равен отношению модуля второй координаты к длине вектора: sin PMQ=(1)/(sqrt(3^2+1^2))=(1)/(sqrt(10)). Следовательно, R=(PQ)/(2* (1)/(sqrt(10)))=(PQsqrt(10))/(2)=((4)/(sqrt(10))*sqrt(10))/(2)=(4)/(2)=2. **Проверка через формулу R=(abc)/(4S).** Стороны треугольника MPQ: MP=p, PQ=(psqrt(13))/(7), MQ=(p)/(7)sqrt(9^2+3^2)=(3psqrt(10))/(7); площадь S=12|P_xQ_y-P_yQ_x|=12* p*(3p)/(7)=(3p^2)/(14). Тогда R=(p*(psqrt(13))/(7)*(3psqrt(10))/(7))/(4*(3p^2)/(14))=(psqrt(130))/(14). С учётом (3) p=(28)/(sqrt(130)), поэтому R=(sqrt(130))/(14)*(28)/(sqrt(130))=(28)/(14)=2. Оба способа дают один и тот же результат. ## Ответ R=2.
Радиус описанной окружности треугольника \(MPQ\) равен \(R = 2\).