Упростить до целого числа выражение (6)/(13+115+135+163+199+1143).
## Идея В знаменателе стоит сумма шести дробей. Разложим их знаменатели на множители: 3=1* 3, 15=3* 5, 35=5* 7, 63=7* 9, 99=9* 11, 143=11* 13. Видно, что это произведения соседних нечётных чисел вида (2k-1)(2k+1) при k=1,2,,6. Для таких дробей работает разложение на разность (метод «телескопической» суммы): (1)/((2k-1)(2k+1))=(1)/(2)((1)/(2k-1)-(1)/(2k+1)). Проверить это тождество легко: приведя правую часть к общему знаменателю, получаем (1)/(2)*((2k+1)-(2k-1))/((2k-1)(2k+1))=(1)/(2)*(2)/((2k-1)(2k+1)), что равно левой части. ## Сворачиваем сумму Применим это разложение к каждому слагаемому знаменателя: (1)/(3)+(1)/(15)+(1)/(35)+(1)/(63)+(1)/(99)+(1)/(143)=(1)/(2)[((1)/(1)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(5))+((1)/(5)-(1)/(7))+((1)/(7)-(1)/(9))+((1)/(9)-(1)/(11))+((1)/(11)-(1)/(13))]. Все внутренние члены взаимно уничтожаются (каждый -(1)/(2k+1) гасится следующим +(1)/(2k+1)), остаются только самый первый и самый последний: =(1)/(2)(1-(1)/(13))=(1)/(2)*(12)/(13)=(6)/(13). ## Итог Подставляем найденное значение знаменателя в исходную дробь: (6)/((1)/(3)+(1)/(15)+(1)/(35)+(1)/(63)+(1)/(99)+(1)/(143))=(6)/((6)/(13))=6*(13)/(6)=13. **Ответ:** 13.
\(13\)