Задача №18535

Упростить до целого числа выражение

$$\frac{6}{\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}}.$$

Идея

В знаменателе стоит сумма шести дробей. Разложим их знаменатели на множители:

$$3=1\cdot 3,15=3\cdot 5,35=5\cdot 7,63=7\cdot 9,99=9\cdot 11,143=11\cdot 13.$$

Видно, что это произведения соседних нечётных чисел вида $(2k-1)(2k+1)$ при $k=1,2,\dots ,6\text{.}$ Для таких дробей работает разложение на разность (метод «телескопической» суммы):

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right).$$

Проверить это тождество легко: приведя правую часть к общему знаменателю, получаем $\frac{1}{2}\cdot \frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{(2k-1)(2k+1)}\text{,}$ что равно левой части.

Сворачиваем сумму

Применим это разложение к каждому слагаемому знаменателя:

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{11}-\frac{1}{13}\right)\right].$$

Все внутренние члены взаимно уничтожаются (каждый $-\frac{1}{2k+1}$ гасится следующим $+\frac{1}{2k+1}$), остаются только самый первый и самый последний:

$$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{13}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{13}=\frac{6}{13}.$$

Итог

Подставляем найденное значение знаменателя в исходную дробь:

$$\frac{6}{\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}}=\frac{6}{\frac{6}{13}}=6\cdot \frac{13}{6}=13.$$

Ответ: $13\text{.}$