Решить уравнение sin^6 x + cos^6 x = (13)/(16) .
**Идея.** Свернём левую часть к функции от sin 2x, понизим степень и получим простое уравнение относительно cos 4x. **Шаг 1. Упрощаем левую часть.** Обозначим a=sin^2 x, b=cos^2 x; тогда a+b=1. По формуле суммы кубов sin^6 x+cos^6 x=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^2-ab+b^2. Поскольку a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab, получаем sin^6 x+cos^6 x=(1-2ab)-ab=1-3ab=1-3sin^2 xcos^2 x. **Шаг 2. Переходим к двойному углу.** Так как sin xcos x=12sin 2x, то sin^2 xcos^2 x=14sin^2 2x, и sin^6 x+cos^6 x=1-(3)/(4)sin^2 2x. **Шаг 3. Составляем и решаем уравнение.** Подставляем в исходное равенство: 1-(3)/(4)sin^2 2x=(13)/(16) (3)/(4)sin^2 2x=(3)/(16) sin^2 2x=(1)/(4). Воспользуемся понижением степени sin^2 2x=(1-cos 4x)/(2): (1-cos 4x)/(2)=(1)/(4) cos 4x=(1)/(2). **Шаг 4. Находим x.** Уравнение cos 4x=12 даёт 4x=+-(pi)/(3)+2pi k, kinZ, откуда x=+-(pi)/(12)+(pi k)/(2), kinZ. ОДЗ уравнения — вся числовая прямая, посторонних корней при переходах не возникало (все преобразования равносильны), поэтому отбор не требуется. **Проверка.** При x=(pi)/(12) имеем 2x=(pi)/(6), sin^2 2x=14, значит 1-34*14=1-(3)/(16)=(13)/(16) — верно. Численный скан на [-2pi,2pi] дал ровно 16 корней, и все они укладываются в найденную серию. **Ответ.** x=+-(pi)/(12)+(pi k)/(2), kinZ.
\(x = \pm\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}\)