Задача №18537

Решить уравнение ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=\frac{13}{16}\text{.}$

Идея. Свернём левую часть к функции от $\sin 2x\text{,}$ понизим степень и получим простое уравнение относительно $\cos 4x\text{.}$

Шаг 1. Упрощаем левую часть. Обозначим $a={\sin }^{2}x\text{,}$ $b={\cos }^{2}x\text{;}$ тогда $a+b=1\text{.}$ По формуле суммы кубов

Поскольку $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=1-2ab\text{,}$ получаем

Шаг 2. Переходим к двойному углу. Так как $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\text{,}$ то ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x\text{,}$ и

Шаг 3. Составляем и решаем уравнение. Подставляем в исходное равенство:

Воспользуемся понижением степени ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}\text{:}$

Шаг 4. Находим $x\text{.}$ Уравнение $\cos 4x=\frac{1}{2}$ даёт

откуда

ОДЗ уравнения — вся числовая прямая, посторонних корней при переходах не возникало (все преобразования равносильны), поэтому отбор не требуется.

Проверка. При $x=\frac{\pi }{12}$ имеем $2x=\frac{\pi }{6}\text{,}$ ${\sin }^{2}2x=\frac{1}{4}\text{,}$ значит $1-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}=1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16}$ — верно. Численный скан на $[-2\pi ,2\pi ]$ дал ровно 16 корней, и все они укладываются в найденную серию.

Ответ.