Задача №18536

Найти сумму всех трёхзначных натуральных чисел, таких, что каждое из них делится нацело ровно на два из трёх следующих чисел: $3,5,11\text{.}$

Разбор условия

Нужны трёхзначные числа $N$ (то есть $100\le N\le 999$), делящиеся ровно на два из трёх чисел $3,5,11\text{.}$ Значит, из трёх делимостей должны выполняться какие-то две, а третья — нет.

Числа $3,5,11$ попарно взаимно просты, поэтому делимость сразу на два из них равносильна делимости на их произведение:

Отсюда три взаимоисключающих случая:

• A: делится на $15$ (значит на $3$ и $5$), но не делится на $11\text{;}$
• B: делится на $33$ (на $3$ и $11$), но не делится на $5\text{;}$
• C: делится на $55$ (на $5$ и $11$), но не делится на $3\text{.}$

Эти множества не пересекаются: например, число из случая A делится на $11\text{?}$ нет — а числа из B и C делятся на $11\text{,}$ поэтому попасть одновременно в A и B (или A и C) число не может; а B и C различаются делимостью на $3$ и на $5$ соответственно. Значит суммы по случаям можно просто сложить.

Во всех трёх случаях «запрещённая» третья делимость — это делимость на оставшееся простое, а вместе с уже имеющимися двумя она даёт делимость на

Поэтому в каждом случае удобно взять все трёхзначные кратные соответствующего произведения и вычесть кратные $165\text{.}$

Вспомогательная сумма: кратные 165

Трёхзначные кратные $165\text{:}$ это $165k\text{,}$ где $165\cdot 1=165$ и $165\cdot 6=990\text{,}$ а $165\cdot 7=1155>999\text{.}$ Значит $k=1,\dots ,6\text{:}$

всего $6$ чисел. Эту сумму придётся вычесть в каждом из трёх случаев.

Случай A: кратные 15, не кратные 11

Трёхзначные кратные $15\text{:}$ $15\cdot 7=105$ — наименьшее ($15\cdot 6=90<100$), $15\cdot 66=990$ — наибольшее ($15\cdot 67=1005>999$). Значит $k=7,\dots ,66\text{,}$ это $60$ чисел, а их сумма

Из них выбрасываем кратные $11\text{,}$ то есть кратные $165$ (их сумма $3465\text{,}$ количество $6$):

Случай B: кратные 33, не кратные 5

Трёхзначные кратные $33\text{:}$ $33\cdot 4=132$ — наименьшее ($33\cdot 3=99<100$), $33\cdot 30=990$ — наибольшее ($33\cdot 31=1023>999$). Значит $k=4,\dots ,30\text{,}$ это $27$ чисел, сумма

Выбрасываем кратные $5\text{,}$ то есть снова кратные $165\text{:}$

Случай C: кратные 55, не кратные 3

Трёхзначные кратные $55\text{:}$ $55\cdot 2=110$ — наименьшее ($55\cdot 1=55<100$), $55\cdot 18=990$ — наибольшее ($55\cdot 19=1045>999$). Значит $k=2,\dots ,18\text{,}$ это $17$ чисел, сумма

Выбрасываем кратные $3\text{,}$ то есть кратные $165\text{:}$

Итог

Случаи не пересекаются, поэтому искомая сумма

(Всего таких чисел $54+21+11=86\text{.}$)

Проверка. Прямой перебор всех трёхзначных чисел $\mathrm{100..999}$ с подсчётом, сколько из делимостей на $3,5,11$ выполняется, даёт ровно $86$ чисел с суммой $46952$ — совпадает с формульным расчётом по трём случаям.

Ответ: $46952\text{.}$