Найти сумму всех трёхзначных натуральных чисел, таких, что каждое из них делится нацело ровно на два из трёх следующих чисел: 3, 5, 11.
## Разбор условия Нужны трёхзначные числа N (то есть 100 <= N <= 999), делящиеся **ровно на два** из трёх чисел 3, 5, 11. Значит, из трёх делимостей должны выполняться какие-то две, а третья — нет. Числа 3, 5, 11 попарно взаимно просты, поэтому делимость сразу на два из них равносильна делимости на их произведение: 3* 5 = 15, 3* 11 = 33, 5* 11 = 55. Отсюда три взаимоисключающих случая: - **A:** делится на 15 (значит на 3 и 5), но **не** делится на 11; - **B:** делится на 33 (на 3 и 11), но **не** делится на 5; - **C:** делится на 55 (на 5 и 11), но **не** делится на 3. Эти множества не пересекаются: например, число из случая A делится на 11? нет — а числа из B и C делятся на 11, поэтому попасть одновременно в A и B (или A и C) число не может; а B и C различаются делимостью на 3 и на 5 соответственно. Значит суммы по случаям можно просто сложить. Во всех трёх случаях «запрещённая» третья делимость — это делимость на оставшееся простое, а вместе с уже имеющимися двумя она даёт делимость на 3* 5* 11 = 165. Поэтому в каждом случае удобно взять **все** трёхзначные кратные соответствующего произведения и вычесть кратные 165. ## Вспомогательная сумма: кратные 165 Трёхзначные кратные 165: это 165k, где 165* 1 = 165 и 165* 6 = 990, а 165* 7 = 1155 > 999. Значит k = 1,,6: S_(165) = 165(1+2++6) = 165* 21 = 3465, всего 6 чисел. Эту сумму придётся вычесть в каждом из трёх случаев. ## Случай A: кратные 15, не кратные 11 Трёхзначные кратные 15: 15* 7 = 105 — наименьшее (15* 6=90<100), 15* 66 = 990 — наибольшее (15* 67=1005>999). Значит k=7,,66, это 60 чисел, а их сумма 15(7+8++66) = 15* ((7+66)* 60)/(2) = 15* 2190 = 32850. Из них выбрасываем кратные 11, то есть кратные 165 (их сумма 3465, количество 6): S_A = 32850 - 3465 = 29385 (чисел 60-6=54). ## Случай B: кратные 33, не кратные 5 Трёхзначные кратные 33: 33* 4 = 132 — наименьшее (33* 3=99<100), 33* 30 = 990 — наибольшее (33* 31=1023>999). Значит k=4,,30, это 27 чисел, сумма 33(4+5++30) = 33* ((4+30)* 27)/(2) = 33* 459 = 15147. Выбрасываем кратные 5, то есть снова кратные 165: S_B = 15147 - 3465 = 11682 (чисел 27-6=21). ## Случай C: кратные 55, не кратные 3 Трёхзначные кратные 55: 55* 2 = 110 — наименьшее (55* 1=55<100), 55* 18 = 990 — наибольшее (55* 19=1045>999). Значит k=2,,18, это 17 чисел, сумма 55(2+3++18) = 55* ((2+18)* 17)/(2) = 55* 170 = 9350. Выбрасываем кратные 3, то есть кратные 165: S_C = 9350 - 3465 = 5885 (чисел 17-6=11). ## Итог Случаи не пересекаются, поэтому искомая сумма S = S_A + S_B + S_C = 29385 + 11682 + 5885 = 46952. (Всего таких чисел 54+21+11 = 86.) **Проверка.** Прямой перебор всех трёхзначных чисел 100..999 с подсчётом, сколько из делимостей на 3,5,11 выполняется, даёт ровно 86 чисел с суммой 46952 — совпадает с формульным расчётом по трём случаям. **Ответ:** 46952.
Сумма равна \(46952\).