В тетраэдре SMNP длины рёбер равны MN=NP=MP=2, MS=NS=sqrt(12), PS=4, SQ — высота пирамиды. Шар с центром O_1 касается плоскости MNP в точке Q, и также касается грани MNS. Найти радиус шара.
## Выбор системы координат Основание MNP — равносторонний треугольник со стороной 2. Разместим его в плоскости z=0: M=(-1,0,0), N=(1,0,0), P=(0,3,0). Проверка: MN=NP=MP=2. Обратите внимание, что ребро MN лежит на оси Ox. ## Координаты вершины S Пусть S=(x,y,z), z>0. Из равенства MS=NS=sqrt(12)=23: (x+1)^2+y^2+z^2=(x-1)^2+y^2+z^2 =0. Тогда MS^2=1+y^2+z^2=12, то есть y^2+z^2=11. Из условия PS=4: (y-3)^2+z^2=16 (y^2+z^2)_(11)-23y+3=16 =-(3)/(3). Отсюда z^2=11-13=(32)/(3), и, поскольку z>0, S=(0,-(3)/(3),(46)/(3)), SQ=(46)/(3). ## Основание высоты и центр шара Высота SQ перпендикулярна основанию, значит Q — проекция S на плоскость z=0: Q=(0,-(3)/(3),0). (Точка Q лежит вне треугольника, по другую сторону от прямой MN, чем P — это нормально для косоугольной пирамиды.) Шар касается плоскости MNP в точке Q, поэтому его центр O_1 лежит на перпендикуляре к основанию, проведённом через Q, а расстояние от O_1 до основания равно радиусу. Так как шар должен касаться и грани MNS, лежащей над основанием, центр берём над плоскостью: O_1=(0,-(3)/(3),r), r>0. ## Условие касания грани MNS Найдём плоскость MNS. Нормаль: n=MN*MS=(2,0,0)*(1,-(3)/(3),(46)/(3))=(0,-(86)/(3),-(23)/(3))(0,46,3). Плоскость проходит через M=(-1,0,0) и N=(1,0,0), её уравнение: 46y+3z=0, | n|=sqrt((46)^2+(3)^2)=sqrt(96+3)=3sqrt(11). Расстояние от O_1 до этой плоскости должно равняться r: (|46*(-(3)/(3))+3* r|)/(3sqrt(11))=(|-42+3r|)/(3sqrt(11))=r. ## Решение уравнения и отбор корня При малых r выражение -42+3r<0, поэтому раскрываем модуль со сменой знака: 42-3r=3sqrt(11)r 42=(3sqrt(11)+3)r. Второй случай 3r-42=3sqrt(11)r даёт r=(-42)/(3sqrt(11)-3)<0 — отбрасываем. Значит, r=(42)/(3sqrt(11)+3)=(42(3sqrt(11)-3))/(99-3)=(3sqrt(22)-6)/(24). Это же значение удобно записать через дигранный угол при ребре MN: обе грани содержат прямую MN, поэтому шар вписан в двугранный угол, а r=EQ*tan()/(2), где EQ=(3)/(3) и cos=(1)/(sqrt(33)); отсюда r=(sqrt(33)-1)/(46)=(3sqrt(22)-6)/(24)~ 0,484. ## Проверка достижимости (касание именно грани) Точка касания T плоскости MNS имеет координаты (0,-0,1005,0,5685); её барицентрические коэффициенты относительно M,N,S равны a=12-(sqrt(33))/(66)~0,41, b=(sqrt(33))/(33)~0,17, причём a,b>0 и a+b<1. Значит, T лежит **внутри** грани MNS — шар действительно касается грани, а не её продолжения. Кроме того, длины касательных совпадают: EQ=ET=(3)/(3), что подтверждает вычисление. ## Ответ r=(3sqrt(22)-6)/(24)=(sqrt(33)-1)/(46)~0,48.
Радиус шара \(r=\dfrac{3\sqrt{22}-\sqrt6}{24}=\dfrac{\sqrt{33}-1}{4\sqrt6}\approx 0{,}48\).