Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ШМП МГУ, репетиционный вариант, лето 2026
ШМП МГУ (репетиционный, лето 2026)
В тетраэдре SMNP длины рёбер равны MN=NP=MP=2, MS=NS=12, PS=4, SQ — высота пирамиды. Шар с центром O1 касается плоскости MNP в точке Q, и также касается грани MNS. Найти радиус шара.
Основание MNP — равносторонний треугольник со стороной 2. Разместим его в плоскости z=0:
M=(−1,0,0),N=(1,0,0),P=(0,3,0).Проверка: MN=NP=MP=2. Обратите внимание, что ребро MN лежит на оси Ox.
Пусть S=(x,y,z), z>0. Из равенства MS=NS=12=23:
(x+1)2+y2+z2=(x−1)2+y2+z2⟹x=0.Тогда MS2=1+y2+z2=12, то есть y2+z2=11. Из условия PS=4:
(y−3)2+z2=16⟹11(y2+z2)−23y+3=16⟹y=−33.Отсюда z2=11−31=332, и, поскольку z>0,
S=(0,−33,346),SQ=346.Высота SQ перпендикулярна основанию, значит Q — проекция S на плоскость z=0:
Q=(0,−33,0).(Точка Q лежит вне треугольника, по другую сторону от прямой MN, чем P — это нормально для косоугольной пирамиды.)
Шар касается плоскости MNP в точке Q, поэтому его центр O1 лежит на перпендикуляре к основанию, проведённом через Q, а расстояние от O1 до основания равно радиусу. Так как шар должен касаться и грани MNS, лежащей над основанием, центр берём над плоскостью:
O1=(0,−33,r),r>0.Найдём плоскость MNS. Нормаль:
n=MN×MS=(2,0,0)×(1,−33,346)=(0,−386,−323)∥(0,46,3).Плоскость проходит через M=(−1,0,0) и N=(1,0,0), её уравнение:
46y+3z=0,∣n∣=(46)2+(3)2=96+3=311.Расстояние от O1 до этой плоскости должно равняться r:
31146⋅(−33)+3⋅r=311−42+3r=r.При малых r выражение −42+3r<0, поэтому раскрываем модуль со сменой знака:
42−3r=311r⟹42=(311+3)r.Второй случай 3r−42=311r даёт r=311−3−42<0 — отбрасываем. Значит,
r=311+342=99−342(311−3)=24322−6.Это же значение удобно записать через дигранный угол при ребре MN: обе грани содержат прямую MN, поэтому шар вписан в двугранный угол, а r=EQ⋅tan2φ, где EQ=33 и cosφ=331; отсюда
r=4633−1=24322−6≈0,484.Точка касания T плоскости MNS имеет координаты (0,−0,1005,0,5685); её барицентрические коэффициенты относительно M,N,S равны a=21−6633≈0,41, b=3333≈0,17, причём a,b>0 и a+b<1. Значит, T лежит внутри грани MNS — шар действительно касается грани, а не её продолжения. Кроме того, длины касательных совпадают: EQ=ET=33, что подтверждает вычисление.