Задача №18540

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию $\sqrt{a+b+4c}=4\text{.}$ Найти наибольшее значение выражения $\sqrt{a}+\sqrt{2b}+\sqrt{4c}$ и указать, при каких значениях $a,b,c$ оно достигается.

Условие

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют $\sqrt{a+b+4c}=4\text{.}$ Нужно найти наибольшее значение выражения

и указать, при каких $a,b,c$ оно достигается.

Приведение условия

Обе части равенства $\sqrt{a+b+4c}=4$ неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат равносильно:

Все три числа положительны, так что каждое из подкоренных выражений в $S$ положительно и $S>0\text{.}$

Оценка сверху (неравенство Коши — Буняковского)

Запишем слагаемые $S$ так, чтобы под корнями возникли именно величины $a,b,4c\text{,}$ сумма которых фиксирована:

Это скалярное произведение двух векторов

Заметим, что

По неравенству Коши — Буняковского $(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}{)}^2\le |\mathbf{u}{|}^2|\mathbf{v}{|}^2\text{,}$ откуда

Таким образом, $S\le 8$ при любых допустимых $a,b,c\text{.}$

Условие достижения максимума

Равенство в неравенстве Коши — Буняковского достигается тогда и только тогда, когда векторы $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ пропорциональны:

Отсюда

то есть

Подставим в связь $a+b+4c=16\text{:}$

Значит

Все три числа положительны, то есть допустимы, и оценка $S\le 8$ действительно достигается — максимум существует.

Проверка

При $a=4,b=8,c=1\text{:}$

Численная оптимизация при связи $a+b+4c=16$ также даёт максимум $8$ в точке $(a,b,c)=(4,8,1)\text{.}$

Ответ

Наибольшее значение выражения равно $\boxed{8}\text{;}$ оно достигается при $a=4,b=8,c=1\text{.}$