Положительные числа a, b, c удовлетворяют условию sqrt(a+b+4c)=4 . Найти наибольшее значение выражения sqrt(a)+sqrt(2b)+sqrt(4c) и указать, при каких значениях a, b, c оно достигается.
## Условие Положительные числа a,b,c удовлетворяют sqrt(a+b+4c)=4. Нужно найти наибольшее значение выражения S=sqrt(a)+sqrt(2b)+sqrt(4c) и указать, при каких a,b,c оно достигается. ## Приведение условия Обе части равенства sqrt(a+b+4c)=4 неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат равносильно: a+b+4c=16. Все три числа положительны, так что каждое из подкоренных выражений в S положительно и S>0. ## Оценка сверху (неравенство Коши — Буняковского) Запишем слагаемые S так, чтобы под корнями возникли именно величины a, b, 4c, сумма которых фиксирована: S=sqrt(a)+sqrt(2)sqrt(b)+2sqrt(c)=1*sqrt(a)+sqrt(2)*sqrt(b)+1*(2sqrt(c)). Это скалярное произведение двух векторов u=(sqrt(a), sqrt(b), 2sqrt(c)), v=(1, sqrt(2), 1). Заметим, что |u|^2=a+b+4c=16, |v|^2=1+2+1=4. По неравенству Коши — Буняковского (u*v)^2<= |u|^2|v|^2, откуда S=u*v<= sqrt(16)*sqrt(4)=4* 2=8. Таким образом, S<= 8 при любых допустимых a,b,c. ## Условие достижения максимума Равенство в неравенстве Коши — Буняковского достигается тогда и только тогда, когда векторы u и v пропорциональны: (sqrt(a))/(1)=(sqrt(b))/(sqrt(2))=(2sqrt(c))/(1)=t, t>0. Отсюда sqrt(a)=t, sqrt(b)=tsqrt(2), sqrt(c)=(t)/(2), то есть a=t^2, b=2t^2, c=(t^2)/(4), 4c=t^2. Подставим в связь a+b+4c=16: t^2+2t^2+t^2=4t^2=16 t^2=4 t=2 (t>0). Значит a=4, b=8, c=1. Все три числа положительны, то есть допустимы, и оценка S<= 8 действительно достигается — максимум существует. ## Проверка При a=4, b=8, c=1: a+b+4c=4+8+4=16, sqrt(a+b+4c)=sqrt(16)=4 (условие выполнено), sqrt(a)+sqrt(2b)+sqrt(4c)=sqrt(4)+sqrt(16)+sqrt(4)=2+4+2=8. Численная оптимизация при связи a+b+4c=16 также даёт максимум 8 в точке (a,b,c)=(4,8,1). ## Ответ Наибольшее значение выражения равно 8; оно достигается при a=4, b=8, c=1.
Наибольшее значение равно \(8\); достигается при \(a=4,\ b=8,\ c=1\).