58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T628,Это задача устного счёта: первый множитель считается напрямую, а под корнем спрятан полный квадрат. **Первый множитель.** \[ 20^2 + 51^2 = 400 + 2601 = 3001. \] **Подкоренное выражение.** Здесь нужно узнать полный квадрат суммы \(1998+1001\). Раскроем его: \[ (1998+1001)^2 = 1998^2 + 2\cdot 1998\cdot 1001 + 1001^2. \] Средний член равен \[ 2\cdot 1998\cdot 1001 = 3\,999\,996 = 4\cdot 999\,999. \] Именно это число и стоит третьим слагаемым под корнем: только при нём выражение сворачивается в полный квадрат и задача имеет целочисленный «устный» ответ (в напечатанном условии у множителя \(4\) перед \(999\,999\) потерялась цифра). Тогда \[ 1998^2 + 2\cdot 1998\cdot 1001 + 1001^2 = (1998+1001)^2 = 2999^2, \] а поскольку \(1998+1001 = 2999 > 0\), арифметический квадратный корень равен основанию: \[ \sqrt{2999^2} = 2999. \] **Перемножаем.** Множители \(3001\) и \(2999\) симметричны относительно \(3000\), поэтому удобна формула разности квадратов: \[ 3001\cdot 2999 = (3000+1)(3000-1) = 3000^2 - 1 = 9\,000\,000 - 1 = 8\,999\,999. \] **Ответ:** \(8\,999\,999\).5c:Tc93,## Идея решения Соотношение \[ a_{n+3} = 3a_{n+2} - 3a_{n+1} + a_n \] — это линейная рекуррента третьего порядка с постоянными коэффициентами. Её характеристическое уравнение получается подстановкой \(a_n = x^n\): \[ x^3 = 3x^2 - 3x + 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0. \] Левая часть — это в точности разложение куба разности: \[ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3 = 0. \] Значит, \(x = 1\) — корень кратности \(3\). ## Общий вид последовательности Если характеристическое уравнение имеет корень \(x=1\) кратности \(3\), то общее решение рекурренты — это произвольный многочлен степени не выше второй от номера \(n\): \[ a_n = A + B\,n + C\,n^2, \] где \(A, B, C\) — постоянные (это стандартный факт для кратного корня: базис решений \(1^n,\; n\cdot 1^n,\; n^2\cdot 1^n\)). Проверим, что такая формула действительно удовлетворяет рекурренте. Для многочлена \(a_n = A+Bn+Cn^2\) третья конечная разность тождественно равна нулю, а рекуррента как раз и означает зануление третьей разности: \[ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = \Delta^3 a_n = 0, \] что для многочлена степени \(\le 2\) выполнено при всех \(n\). Значит, семейство \(a_n = A+Bn+Cn^2\) — это в точности все решения, и остаётся подобрать константы под начальные условия. ## Нахождение коэффициентов Подставляем \(n = 1, 2, 3\) и используем \(a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ a_3 = 23\): \[ \begin{cases} A + B + C = 1,\\ A + 2B + 4C = 2,\\ A + 3B + 9C = 23. \end{cases} \] Вычтем из второго уравнения первое, а из третьего — второе: \[ B + 3C = 1, \qquad B + 5C = 21. \] Вычитая, получаем \(2C = 20\), то есть \(C = 10\). Тогда \(B = 1 - 3\cdot 10 = -29\), и наконец \(A = 1 - B - C = 1 + 29 - 10 = 20\). Итак, \[ a_n = 10n^2 - 29n + 20. \] **Контроль по начальным данным:** | \(n\) | \(10n^2-29n+20\) | должно быть | |---|---|---| | 1 | \(10-29+20=1\) | 1 | | 2 | \(40-58+20=2\) | 2 | | 3 | \(90-87+20=23\) | 23 | Все три условия выполнены. ## Вычисление \(a_{100}\) \[ a_{100} = 10\cdot 100^2 - 29\cdot 100 + 20 = 100000 - 2900 + 20 = 97120. \] Для надёжности этот же результат получен прямым разгоном рекурренты от \(a_1,a_2,a_3\) до \(a_{100}\): он совпал со значением по формуле. ## Ответ \[ a_{100} = 97120. \]5d:T140d,## Область допустимых значений В неравенстве участвуют логарифмы с основаниями \(x-1,\ x-2,\ x-3,\ x-4\) и аргументами \(x-1,\ x-2,\ x-3,\ x-4\). Каждое основание должно быть положительным и отличным от \(1\), каждый аргумент -- положительным. - Положительность оснований и аргументов даёт \(x-4>0\), то есть \(x>4\) (это самое сильное условие, оно обеспечивает положительность и всех остальных выражений). - Основания не равны \(1\): \(x-1\neq1,\ x-2\neq1,\ x-3\neq1,\ x-4\neq1\), то есть \(x\neq2,3,4,5\). С учётом \(x>4\) единственное дополнительное ограничение -- \(x\neq5\). Итого \[ x>4,\qquad x\neq5. \] ## Свёртка выражения Перейдём к натуральным логарифмам и введём обозначения \[ a=\ln(x-1),\quad b=\ln(x-2),\quad c=\ln(x-3),\quad d=\ln(x-4). \] В ОДЗ все эти числа определены (аргументы положительны), а знаменатели \(a,b,c,d\) отличны от нуля (основания \(\neq1\)). Тогда \[ \log_{x-1}(x-2)=\frac{b}{a},\quad \log_{x-2}(x-3)=\frac{c}{b},\quad \log_{x-3}(x-4)=\frac{d}{c},\quad \log_{x-4}(x-2)=\frac{b}{d},\quad \log_{x-2}(x-1)=\frac{a}{b}. \] Первое произведение телескопически сворачивается: \[ \frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{d}{a}=\log_{x-1}(x-4). \] Второе произведение: \[ \frac{b}{d}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{d}=\log_{x-4}(x-1). \] Поэтому неравенство равносильно \[ \log_{x-1}(x-4)+\log_{x-4}(x-1)\ \ge\ \frac{5}{2}. \] ## Замена и решение относительно \(t\) Обозначим \[ t=\log_{x-1}(x-4)=\frac{d}{a}. \] Тогда \(\log_{x-4}(x-1)=\dfrac{a}{d}=\dfrac{1}{t}\), и неравенство принимает вид \[ t+\frac{1}{t}\ \ge\ \frac{5}{2}. \] Определим знак \(t\) на ОДЗ. При \(x>4\) основание \(x-1>3>1\), значит знак \(\log_{x-1}(x-4)\) совпадает со знаком \((x-4)-1=x-5\): - если \(45\), то \(x-4>1\) и \(t>0\). **Случай \(45\) (\(t>0\)).** Умножим \(t+\dfrac1t\ge\dfrac52\) на \(t>0\): \[ t^2-\frac{5}{2}t+1\ge0\ \Longleftrightarrow\ 2t^2-5t+2\ge0\ \Longleftrightarrow\ (2t-1)(t-2)\ge0. \] Отсюда при \(t>0\) получаем \[ 05\) выполнено \(01\), поэтому \[ t=\log_{x-1}(x-4)<\log_{x-1}(x-1)=1. \] Значит ветвь \(t\ge2\) невозможна (формально: \(\log_{x-1}(x-4)\ge2\Leftrightarrow x-4\ge(x-1)^2\Leftrightarrow x^2-3x+5\le0\), но дискриминант \(9-20<0\), решений нет). Остаётся ветвь \(00\) уже обеспечено \(x>5\). Разберём \(t\le\dfrac12\): так как основание \(x-1>1\), логарифм монотонно возрастает, и \[ \log_{x-1}(x-4)\le\frac12\ \Longleftrightarrow\ x-4\le(x-1)^{1/2}=\sqrt{x-1}. \] При \(x>5\) обе части положительны (\(x-4>1>0\)), поэтому возведение в квадрат равносильно: \[ (x-4)^2\le x-1\ \Longleftrightarrow\ x^2-9x+17\le0. \] Корни квадратного трёхчлена: \[ x=\frac{9\pm\sqrt{81-68}}{2}=\frac{9\pm\sqrt{13}}{2}. \] Следовательно \(x^2-9x+17\le0\) при \(\dfrac{9-\sqrt{13}}{2}\le x\le\dfrac{9+\sqrt{13}}{2}\). Так как \(\dfrac{9-\sqrt{13}}{2}\approx2{,}70<5\), пересечение с условием \(x>5\) даёт \[ 50\), то есть \(\sin x\ne 0\) и \(\sin y\ne 0\). Из равенства \(\sin x\cos y=|\sin x|\) при \(\sin x\ne 0\) получаем \(|\cos y|=1\), а значит \(\sin y=0\) — противоречие с \(\sin y\ne 0\). Следовательно, случай \(a>0\) невозможен, и остаётся единственная возможность \[ a=b=c=0. \] ## Нахождение \(x,y,z\) и проверка Условие \(a=b=c=0\) означает \(\sin x=\sin y=\sin z=0\), то есть \[ x=\pi n,\qquad y=\pi m,\qquad z=\pi k,\qquad n,m,k\in\mathbb{Z}. \] Проверим, что все такие тройки действительно являются решениями. Для \(x,y,z\), кратных \(\pi\), суммы \(x+y,\ y+z,\ z+x\) тоже кратны \(\pi\), поэтому все левые части равны нулю; все правые части — суммы вида \(|\sin(\pi m)|+|\sin(\pi k)|=0\). Таким образом каждое уравнение обращается в тождество \(0=0\). Численная проверка (перебор кратных \(\pi\) и глобальный поиск решений методом наименьших квадратов из десятков тысяч случайных стартов на отрезке \([-7,7]^3\)) подтверждает: других решений нет, а вся серия \(x,y,z\in\pi\mathbb{Z}\) удовлетворяет системе. ## Ответ \[ x=\pi n,\qquad y=\pi m,\qquad z=\pi k,\qquad n,m,k\in\mathbb{Z}. \] 5f:Td72,Обозначим стороны треугольника стандартно: \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\). Точка \(I\) — центр вписанной окружности (пересечение биссектрис). **Ключевой факт: как биссектриса делится инцентром.** Биссектриса из вершины \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(A_1\). По свойству биссектрисы внутреннего угла она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: \[ \frac{BA_1}{A_1C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},\qquad\text{откуда}\quad BA_1=\frac{ac}{b+c}. \] Теперь \(I\) лежит на отрезке \(AA_1\) и является точкой пересечения биссектрис. В треугольнике \(ABA_1\) отрезок \(BI\) — биссектриса угла \(B\) (та же биссектриса \(BB_1\)), поэтому она делит сторону \(AA_1\) в отношении прилежащих к углу \(B\) сторон треугольника \(ABA_1\): \[ \frac{AI}{IA_1}=\frac{AB}{BA_1}=\frac{c}{\dfrac{ac}{b+c}}=\frac{b+c}{a}. \] Мы получили классическую формулу: инцентр делит биссектрису из вершины в отношении суммы прилежащих сторон к противоположной. Аналогично для двух других вершин: \[ \frac{AI}{IA_1}=\frac{b+c}{a},\qquad \frac{BI}{IB_1}=\frac{a+c}{b},\qquad \frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}. \] **Используем условие.** Обозначим \(t=1+\sqrt{3}\). По условию \[ \frac{b+c}{a}=t,\qquad \frac{a+c}{b}=t. \] Запишем это как \(b+c=ta\) и \(a+c=tb\) и вычтем второе равенство из первого: \[ (b+c)-(a+c)=ta-tb\ \Longrightarrow\ b-a=t(a-b)\ \Longrightarrow\ (a-b)(t+1)=0. \] Поскольку \(t+1=2+\sqrt{3}>0\), отсюда \(a=b\). Треугольник оказывается равнобедренным с \(a=b\). **Находим \(c\).** Подставим \(b=a\) в равенство \(b+c=ta\): \[ a+c=ta\ \Longrightarrow\ c=(t-1)a=\bigl(1+\sqrt{3}-1\bigr)a=\sqrt{3}\,a. \] **Проверка существования треугольника.** Стороны равны \(a,\ a,\ \sqrt{3}\,a\). Неравенство треугольника: \(a+a=2a>\sqrt{3}\,a\approx1{,}732a\) — выполнено, остальные неравенства очевидны. Треугольник существует, значит найденная конфигурация действительно реализуется. **Вычисляем искомое отношение.** \[ \frac{CI}{IC_1}=\frac{a+b}{c}=\frac{a+a}{\sqrt{3}\,a}=\frac{2a}{\sqrt{3}\,a}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}. \] **Проверка (численно).** Возьмём \(a=b=1,\ c=\sqrt{3}\). Прямой расчёт координат инцентра и точек \(A_1,B_1,C_1\) даёт \[ \frac{AI}{IA_1}=\frac{BI}{IB_1}=1+\sqrt{3}\approx2{,}732,\qquad \frac{CI}{IC_1}\approx1{,}1547=\frac{2\sqrt{3}}{3}, \] что согласуется с условием и ответом. **Ответ:** \(\dfrac{CI}{IC_1}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).60:T158d,## Идея решения Обозначим \(x_1=t\). Величина \(x_1+\dfrac{1}{x_1}=t+\dfrac1t\) зависит только от одного числа, а остальные \(18\) чисел \(x_2,\dots,x_{19}\) можно выбирать свободно, лишь бы они «добирали» недостающие суммы. Поэтому вопрос сводится к тому, при каких \(t\) вообще существуют такие \(18\) положительных чисел. Пусть \[ S=x_2+\cdots+x_{19}=20-t,\qquad R=\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_{19}}=20-\frac1t . \] Числа \(x_2,\dots,x_{19}\) положительны, значит обязательно \(S>0\) и \(R>0\), то есть \[ 0\frac{1}{20},\qquad\text{итого}\quad \frac{1}{20}0,\ R>0\) набор из \(18\) положительных чисел с суммой \(S\) и суммой обратных \(R\) существует тогда и только тогда, когда \[ S\cdot R\ \ge\ 18^2=324 . \] **Необходимость.** По неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим (равносильно неравенству Коши–Буняковского) для любых положительных \(y_1,\dots,y_{18}\) \[ \Big(\sum_{i} y_i\Big)\Big(\sum_{i}\frac{1}{y_i}\Big)\ \ge\ 18^2 , \] поэтому \(S\cdot R\ge 324\), причём равенство достигается лишь когда все числа равны. **Достаточность.** Зафиксируем сумму \(S\) и посмотрим, какие значения может принимать \(R\). Возьмём \(17\) чисел равными \(\varepsilon\) и одно равным \(S-17\varepsilon\). При \(\varepsilon=\dfrac{S}{18}\) все числа равны и \(R=\dfrac{18^2}{S}=\dfrac{324}{S}\) — это минимально возможное значение. При \(\varepsilon\to 0^{+}\) сумма обратных неограниченно растёт (\(R\to+\infty\)). Функция \(R(\varepsilon)\) непрерывна, поэтому по теореме о промежуточном значении \(R\) пробегает весь луч \(\big[\tfrac{324}{S},+\infty\big)\). Значит любое \(R\ge\dfrac{324}{S}\), то есть любое \(R\) с \(SR\ge324\), реализуемо. Лемма доказана. ## Сведение к неравенству на \(t\) Подставим \(S=20-t\), \(R=20-\dfrac1t\) в условие \(S\cdot R\ge 324\): \[ \Big(20-t\Big)\Big(20-\frac1t\Big)\ \ge\ 324 . \] Раскроем скобки: \[ \Big(20-t\Big)\Big(20-\frac1t\Big)=400-\frac{20}{t}-20t+1=401-20\Big(t+\frac1t\Big). \] Обозначим \(u=t+\dfrac1t\). Тогда неравенство принимает вид \[ 401-20u\ \ge\ 324\ \Longleftrightarrow\ 20u\le 77\ \Longleftrightarrow\ u\le \frac{77}{20}. \] Таким образом, при любом допустимом наборе \[ x_1+\frac{1}{x_1}=u\le \frac{77}{20}=3{,}85 . \] (Заметим, что попутно \(u=t+\tfrac1t\ge 2\), так что условие \(2\le u\le \tfrac{77}{20}\) непусто и совместно с ограничением \(\tfrac{1}{20}=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ