Задача №18574

Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис $A{A}_1\text{,}$ $B{B}_1$ и $C{C}_1$ треугольника $ABC\text{.}$ Оказалось, что

$$\frac{AI}{I{A}_1}=\frac{BI}{I{B}_1}=1+\sqrt{3}.$$

Найдите $\frac{CI}{I{C}_1}\text{.}$

Обозначим стороны треугольника стандартно: $a=BC\text{,}$ $b=CA\text{,}$ $c=AB\text{.}$ Точка $I$ — центр вписанной окружности (пересечение биссектрис).

Ключевой факт: как биссектриса делится инцентром.

Биссектриса из вершины $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $A_1\text{.}$ По свойству биссектрисы внутреннего угла она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:

$$\frac{B{A}_1}{A_{1}C}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},\text{откуда}B{A}_1=\frac{ac}{b+c}.$$

Теперь $I$ лежит на отрезке $A{A}_1$ и является точкой пересечения биссектрис. В треугольнике $AB{A}_1$ отрезок $BI$ — биссектриса угла $B$ (та же биссектриса $B{B}_1$), поэтому она делит сторону $A{A}_1$ в отношении прилежащих к углу $B$ сторон треугольника $AB{A}_1\text{:}$

$$\frac{AI}{I{A}_1}=\frac{AB}{B{A}_1}=\frac{c}{\frac{ac}{b+c}}=\frac{b+c}{a}.$$

Мы получили классическую формулу: инцентр делит биссектрису из вершины в отношении суммы прилежащих сторон к противоположной. Аналогично для двух других вершин:

$$\frac{AI}{I{A}_1}=\frac{b+c}{a},\frac{BI}{I{B}_1}=\frac{a+c}{b},\frac{CI}{I{C}_1}=\frac{a+b}{c}.$$

Используем условие.

Обозначим $t=1+\sqrt{3}\text{.}$ По условию

$$\frac{b+c}{a}=t,\frac{a+c}{b}=t.$$

Запишем это как $b+c=ta$ и $a+c=tb$ и вычтем второе равенство из первого:

$$(b+c)-(a+c)=ta-tb⟹b-a=t(a-b)⟹(a-b)(t+1)=0.$$

Поскольку $t+1=2+\sqrt{3}>0\text{,}$ отсюда $a=b\text{.}$ Треугольник оказывается равнобедренным с $a=b\text{.}$

Находим $c\text{.}$

Подставим $b=a$ в равенство $b+c=ta\text{:}$

$$a+c=ta⟹c=(t-1)a=(1+\sqrt{3}-1)a=\sqrt{3}a.$$

Проверка существования треугольника. Стороны равны $a,a,\sqrt{3}a\text{.}$ Неравенство треугольника: $a+a=2a>\sqrt{3}a\approx 1,732a$ — выполнено, остальные неравенства очевидны. Треугольник существует, значит найденная конфигурация действительно реализуется.

Вычисляем искомое отношение.

$$\frac{CI}{I{C}_1}=\frac{a+b}{c}=\frac{a+a}{\sqrt{3}a}=\frac{2a}{\sqrt{3}a}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Проверка (численно). Возьмём $a=b=1,c=\sqrt{3}\text{.}$ Прямой расчёт координат инцентра и точек $A_1,B_1,C_1$ даёт

$$\frac{AI}{I{A}_1}=\frac{BI}{I{B}_1}=1+\sqrt{3}\approx 2,732,\frac{CI}{I{C}_1}\approx 1,1547=\frac{2\sqrt{3}}{3},$$

что согласуется с условием и ответом.

Ответ: $\frac{CI}{I{C}_1}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\text{.}$