Пусть I — точка пересечения биссектрис AA_1, BB_1 и CC_1 треугольника ABC. Оказалось, что (AI)/(IA_1) = (BI)/(IB_1) = 1 + sqrt(3). Найдите (CI)/(IC_1).
Обозначим стороны треугольника стандартно: a=BC, b=CA, c=AB. Точка I — центр вписанной окружности (пересечение биссектрис). **Ключевой факт: как биссектриса делится инцентром.** Биссектриса из вершины A пересекает сторону BC в точке A_1. По свойству биссектрисы внутреннего угла она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: (BA_1)/(A_1C)=(AB)/(AC)=(c)/(b), откуда BA_1=(ac)/(b+c). Теперь I лежит на отрезке AA_1 и является точкой пересечения биссектрис. В треугольнике ABA_1 отрезок BI — биссектриса угла B (та же биссектриса BB_1), поэтому она делит сторону AA_1 в отношении прилежащих к углу B сторон треугольника ABA_1: (AI)/(IA_1)=(AB)/(BA_1)=(c)/((ac)/(b+c))=(b+c)/(a). Мы получили классическую формулу: инцентр делит биссектрису из вершины в отношении суммы прилежащих сторон к противоположной. Аналогично для двух других вершин: (AI)/(IA_1)=(b+c)/(a), (BI)/(IB_1)=(a+c)/(b), (CI)/(IC_1)=(a+b)/(c). **Используем условие.** Обозначим t=1+sqrt(3). По условию (b+c)/(a)=t, (a+c)/(b)=t. Запишем это как b+c=ta и a+c=tb и вычтем второе равенство из первого: (b+c)-(a+c)=ta-tb b-a=t(a-b) (a-b)(t+1)=0. Поскольку t+1=2+sqrt(3)>0, отсюда a=b. Треугольник оказывается равнобедренным с a=b. **Находим c.** Подставим b=a в равенство b+c=ta: a+c=ta c=(t-1)a=(1+sqrt(3)-1)a=sqrt(3)a. **Проверка существования треугольника.** Стороны равны a, a, sqrt(3)a. Неравенство треугольника: a+a=2a>sqrt(3)a~1,732a — выполнено, остальные неравенства очевидны. Треугольник существует, значит найденная конфигурация действительно реализуется. **Вычисляем искомое отношение.** (CI)/(IC_1)=(a+b)/(c)=(a+a)/(sqrt(3)a)=(2a)/(sqrt(3)a)=(2)/(sqrt(3))=(2sqrt(3))/(3). **Проверка (численно).** Возьмём a=b=1, c=sqrt(3). Прямой расчёт координат инцентра и точек A_1,B_1,C_1 даёт (AI)/(IA_1)=(BI)/(IB_1)=1+sqrt(3)~2,732, (CI)/(IC_1)~1,1547=(2sqrt(3))/(3), что согласуется с условием и ответом. **Ответ:** (CI)/(IC_1)=(2)/(sqrt(3))=(2sqrt(3))/(3).
\(\dfrac{CI}{IC_1}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)