Объём тетраэдра ABCD равен 1. Известно, что на каждом из его рёбер поставили по одной точке, а V(x) — это минимальный из объёмов невырожденных тетраэдров, всеми вершинами которых являются какие-то из вершин исходного тетраэдра или отмеченных точек. Найдите максимальное значение V(x).
**Ответ:** (1)/(8). **Постановка.** Дан тетраэдр ABCD объёма 1. На каждом из его шести рёбер отмечена одна внутренняя точка. Вместе с четырьмя вершинами получаем 10 точек. Для фиксированного расположения x величина V(x) — наименьший объём невырожденного тетраэдра с вершинами в этих точках. Нужно найти _x V(x). Точки берём во внутренностях рёбер (точка должна делить ребро). Если разрешить отмеченной точке совпасть с вершиной, отметка вырождается — тогда невырожденным может остаться только сам исходный тетраэдр, и задача теряет смысл; поэтому этот случай исключаем. Всюду ниже объёмы указаны в долях от объёма исходного тетраэдра (он равен 1). Отношения объёмов — аффинные инварианты, поэтому конкретная форма тетраэдра роли не играет. **Оценка сверху через «угловые» тетраэдры.** На каждом ребре введём параметр — долю, отсекаемую от «первой» вершины. Для ребра AB пусть отмеченная точка есть P_(AB)=A+t_(AB)(B-A), t_(AB)in(0,1), тогда доля от B равна 1-t_(AB). Аналогично вводим t_(AC),t_(AD),t_(BC),t_(BD),t_(CD). Рассмотрим «угловой» тетраэдр при вершине A — это AP_(AB)P_(AC)P_(AD). Его рёбра, выходящие из A, равны t_(AB)(B-A), t_(AC)(C-A), t_(AD)(D-A), поэтому его объём V_A=(|(t_(AB)(B-A),t_(AC)(C-A),t_(AD)(D-A))|)/(|(B-A,C-A,D-A)|)=t_(AB)t_(AC)t_(AD). Точно так же для всех четырёх вершин: V_A=t_(AB)t_(AC)t_(AD), V_B=(1-t_(AB))t_(BC)t_(BD), V_C=(1-t_(AC))(1-t_(BC))t_(CD), V_D=(1-t_(AD))(1-t_(BD))(1-t_(CD)). Перемножим эти четыре объёма. Каждое ребро входит ровно в два угла: множителем t_e — в один и 1-t_e — в другой. Значит V_AV_BV_CV_D=_(e)t_e(1-t_e). Поскольку t(1-t)<= 14 при любом t, а рёбер шесть, V_AV_BV_CV_D<=(14)^(6)=(18)^(4). Наименьшее из четырёх неотрицательных чисел не превосходит их среднего геометрического, поэтому V_A,V_B,V_C,V_D<=(V_A V_B V_C V_D)^(1/4)<=18. Все четыре угловых тетраэдра невырождены (точки внутренние), поэтому среди наших 10 точек всегда найдётся невырожденный тетраэдр объёма <=18. Следовательно, при любом расположении V(x)<=18. **Достижимость: середины рёбер.** Возьмём отмеченными точками середины всех рёбер, то есть t_e=12. Тогда каждый угловой тетраэдр имеет объём (12)^(3)=18. Остаётся проверить, что **никакой** невырожденный тетраэдр из этих точек не меньше 18. Реализуем тетраэдр координатами A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1). В этих координатах объём исходного тетраэдра равен 16, а его доля для тетраэдра с рёбрами u,v,w, выходящими из одной вершины, равна |(u,v,w)|. У всех десяти точек (четыре вершины и шесть середин) координаты принадлежат множеству 0,12,1. Поэтому любой вектор-ребро u имеет координаты, кратные 12, и вектор 2u целочислен. Значит 8(u,v,w)=(2u,2v,2w)inZ. Итак, доля объёма любого тетраэдра из этих точек кратна 18. Для невырожденного тетраэдра она положительна, а потому >=18. Таким образом, при выборе середин рёбер V(x)=18 (и это значение реально достигается — например, на любом угловом тетраэдре). **Итог.** Неравенство V(x)<=18 выполнено при любом расположении точек, а на серединах рёбер достигается равенство. Поэтому _x V(x)=18. **Проверка.** Прямой перебор всех 104=210 четвёрок точек для конфигурации середин даёт наименьший ненулевой объём ровно 18 (его реализуют 76 тетраэдров), меньших нет. Численная максимизация V(x) по расположениям точек внутри рёбер не превосходит 18 и достигает 18 именно на серединах — что согласуется с доказанным.
Максимальное значение \(V(x)\) равно \(\dfrac{1}{8}\).