Задача №18576

Объём тетраэдра $ABCD$ равен $1\text{.}$ Известно, что на каждом из его рёбер поставили по одной точке, а $V(x)$ — это минимальный из объёмов невырожденных тетраэдров, всеми вершинами которых являются какие-то из вершин исходного тетраэдра или отмеченных точек. Найдите максимальное значение $V(x)\text{.}$

Ответ: $\frac{1}{8}\text{.}$

Постановка. Дан тетраэдр $ABCD$ объёма $1\text{.}$ На каждом из его шести рёбер отмечена одна внутренняя точка. Вместе с четырьмя вершинами получаем $10$ точек. Для фиксированного расположения $x$ величина $V(x)$ — наименьший объём невырожденного тетраэдра с вершинами в этих точках. Нужно найти ${\max }_{x}V(x)\text{.}$

Точки берём во внутренностях рёбер (точка должна делить ребро). Если разрешить отмеченной точке совпасть с вершиной, отметка вырождается — тогда невырожденным может остаться только сам исходный тетраэдр, и задача теряет смысл; поэтому этот случай исключаем.

Всюду ниже объёмы указаны в долях от объёма исходного тетраэдра (он равен $1$). Отношения объёмов — аффинные инварианты, поэтому конкретная форма тетраэдра роли не играет.

Оценка сверху через «угловые» тетраэдры.

На каждом ребре введём параметр — долю, отсекаемую от «первой» вершины. Для ребра $AB$ пусть отмеченная точка есть

тогда доля от $B$ равна $1-t_{AB}\text{.}$ Аналогично вводим $t_{AC},t_{AD},t_{BC},t_{BD},t_{CD}\text{.}$

Рассмотрим «угловой» тетраэдр при вершине $A$ — это $A{P}_{AB}{P}_{AC}{P}_{AD}\text{.}$ Его рёбра, выходящие из $A\text{,}$ равны $t_{AB}(B-A),t_{AC}(C-A),t_{AD}(D-A)\text{,}$ поэтому его объём

Точно так же для всех четырёх вершин:

Перемножим эти четыре объёма. Каждое ребро входит ровно в два угла: множителем $t_e$ — в один и $1-t_e$ — в другой. Значит

Поскольку $t(1-t)\le \frac{1}{4}$ при любом $t\text{,}$ а рёбер шесть,

Наименьшее из четырёх неотрицательных чисел не превосходит их среднего геометрического, поэтому

Все четыре угловых тетраэдра невырождены (точки внутренние), поэтому среди наших $10$ точек всегда найдётся невырожденный тетраэдр объёма $\le \frac{1}{8}\text{.}$ Следовательно, при любом расположении

Достижимость: середины рёбер.

Возьмём отмеченными точками середины всех рёбер, то есть $t_e=\frac{1}{2}\text{.}$ Тогда каждый угловой тетраэдр имеет объём ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}\text{.}$ Остаётся проверить, что никакой невырожденный тетраэдр из этих точек не меньше $\frac{1}{8}\text{.}$

Реализуем тетраэдр координатами

В этих координатах объём исходного тетраэдра равен $\frac{1}{6}\text{,}$ а его доля для тетраэдра с рёбрами $u,v,w\text{,}$ выходящими из одной вершины, равна $|\det (u,v,w)|\text{.}$ У всех десяти точек (четыре вершины и шесть середин) координаты принадлежат множеству $\{0,\frac{1}{2},1\}\text{.}$ Поэтому любой вектор-ребро $u$ имеет координаты, кратные $\frac{1}{2}\text{,}$ и вектор $2u$ целочислен. Значит

Итак, доля объёма любого тетраэдра из этих точек кратна $\frac{1}{8}\text{.}$ Для невырожденного тетраэдра она положительна, а потому $\ge \frac{1}{8}\text{.}$

Таким образом, при выборе середин рёбер $V(x)=\frac{1}{8}$ (и это значение реально достигается — например, на любом угловом тетраэдре).

Итог. Неравенство $V(x)\le \frac{1}{8}$ выполнено при любом расположении точек, а на серединах рёбер достигается равенство. Поэтому

Проверка. Прямой перебор всех $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=210$ четвёрок точек для конфигурации середин даёт наименьший ненулевой объём ровно $\frac{1}{8}$ (его реализуют $76$ тетраэдров), меньших нет. Численная максимизация $V(x)$ по расположениям точек внутри рёбер не превосходит $\frac{1}{8}$ и достигает $\frac{1}{8}$ именно на серединах — что согласуется с доказанным.