Решите неравенство: _(x-1)(x-2) * _(x-2)(x-3) * _(x-3)(x-4) + _(x-4)(x-2) * _(x-2)(x-1) >= (5)/(2)
## Область допустимых значений В неравенстве участвуют логарифмы с основаниями x-1, x-2, x-3, x-4 и аргументами x-1, x-2, x-3, x-4. Каждое основание должно быть положительным и отличным от 1, каждый аргумент -- положительным. - Положительность оснований и аргументов даёт x-4>0, то есть x>4 (это самое сильное условие, оно обеспечивает положительность и всех остальных выражений). - Основания не равны 1: x-11, x-21, x-31, x-41, то есть x2,3,4,5. С учётом x>4 единственное дополнительное ограничение -- x5. Итого x>4, x5. ## Свёртка выражения Перейдём к натуральным логарифмам и введём обозначения a=ln(x-1), b=ln(x-2), c=ln(x-3), d=ln(x-4). В ОДЗ все эти числа определены (аргументы положительны), а знаменатели a,b,c,d отличны от нуля (основания 1). Тогда _(x-1)(x-2)=(b)/(a), _(x-2)(x-3)=(c)/(b), _(x-3)(x-4)=(d)/(c), _(x-4)(x-2)=(b)/(d), _(x-2)(x-1)=(a)/(b). Первое произведение телескопически сворачивается: (b)/(a)*(c)/(b)*(d)/(c)=(d)/(a)=_(x-1)(x-4). Второе произведение: (b)/(d)*(a)/(b)=(a)/(d)=_(x-4)(x-1). Поэтому неравенство равносильно _(x-1)(x-4)+_(x-4)(x-1) >= (5)/(2). ## Замена и решение относительно t Обозначим t=_(x-1)(x-4)=(d)/(a). Тогда _(x-4)(x-1)=(a)/(d)=(1)/(t), и неравенство принимает вид t+(1)/(t) >= (5)/(2). Определим знак t на ОДЗ. При x>4 основание x-1>3>1, значит знак _(x-1)(x-4) совпадает со знаком (x-4)-1=x-5: - если 4<x<5, то 0<x-4<1 и t<0; - если x>5, то x-4>1 и t>0. **Случай 4<x<5 (t<0).** Для отрицательного t имеем t+1t<=-2<52 (сумма положительного числа и обратного ему, взятая со знаком минус). Неравенство не выполняется -- решений нет. **Случай x>5 (t>0).** Умножим t+1t>=52 на t>0: t^2-(5)/(2)t+10 2t^2-5t+20 (2t-1)(t-2)0. Отсюда при t>0 получаем 0<t<=12 или t2. ## Возврат к x Заметим, что при x>5 выполнено 0<x-4<x-1, а основание x-1>1, поэтому t=_(x-1)(x-4)<_(x-1)(x-1)=1. Значит ветвь t2 невозможна (формально: _(x-1)(x-4)2<=> x-4>=(x-1)^2<=> x^2-3x+50, но дискриминант 9-20<0, решений нет). Остаётся ветвь 0<t<=12. Условие t>0 уже обеспечено x>5. Разберём t<=12: так как основание x-1>1, логарифм монотонно возрастает, и _(x-1)(x-4)<=12 x-4<=(x-1)^(1/2)=sqrt(x-1). При x>5 обе части положительны (x-4>1>0), поэтому возведение в квадрат равносильно: (x-4)^2<= x-1 x^2-9x+170. Корни квадратного трёхчлена: x=(9+-sqrt(81-68))/(2)=(9+-sqrt(13))/(2). Следовательно x^2-9x+170 при (9-sqrt(13))/(2)<= x<=(9+sqrt(13))/(2). Так как (9-sqrt(13))/(2)~2,70<5, пересечение с условием x>5 даёт 5<x<=(9+sqrt(13))/(2). ## Проверка границы В правом конце x=(9+sqrt(13))/(2) выполнено t=12, тогда t+1t=12+2=52 -- достигается равенство, поэтому эта точка включается. Точка x=5 не входит в ОДЗ. Числовая проверка подтверждает: при x=5,5 сумма ~3,98, при x=6 сумма ~2,75, при x=6,30 сумма ~2,50, а при x=6,5 уже ~2,40<2,5. ## Ответ xin(5, (9+sqrt(13))/(2)].
\(x \in \left(5,\ \dfrac{9+\sqrt{13}}{2}\right]\)