Задача №18572

Решите неравенство:

$${\log }_{x-1}(x-2)\cdot {\log }_{x-2}(x-3)\cdot {\log }_{x-3}(x-4)+{\log }_{x-4}(x-2)\cdot {\log }_{x-2}(x-1)\ge \frac{5}{2}$$

Область допустимых значений

В неравенстве участвуют логарифмы с основаниями $x-1,x-2,x-3,x-4$ и аргументами $x-1,x-2,x-3,x-4\text{.}$ Каждое основание должно быть положительным и отличным от $1\text{,}$ каждый аргумент — положительным.

• Положительность оснований и аргументов даёт $x-4>0\text{,}$ то есть $x>4$ (это самое сильное условие, оно обеспечивает положительность и всех остальных выражений).
• Основания не равны $1\text{:}$ $x-1\ne 1,x-2\ne 1,x-3\ne 1,x-4\ne 1\text{,}$ то есть $x\ne 2,3,4,5\text{.}$

С учётом $x>4$ единственное дополнительное ограничение — $x\ne 5\text{.}$ Итого

$$x>4,x\ne 5.$$

Свёртка выражения

Перейдём к натуральным логарифмам и введём обозначения

$$a=\ln (x-1),b=\ln (x-2),c=\ln (x-3),d=\ln (x-4).$$

В ОДЗ все эти числа определены (аргументы положительны), а знаменатели $a,b,c,d$ отличны от нуля (основания $\ne 1$). Тогда

$${\log }_{x-1}(x-2)=\frac{b}{a},{\log }_{x-2}(x-3)=\frac{c}{b},{\log }_{x-3}(x-4)=\frac{d}{c},{\log }_{x-4}(x-2)=\frac{b}{d},{\log }_{x-2}(x-1)=\frac{a}{b}.$$

Первое произведение телескопически сворачивается:

$$\frac{b}{a}\cdot \frac{c}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{d}{a}={\log }_{x-1}(x-4).$$

Второе произведение:

$$\frac{b}{d}\cdot \frac{a}{b}=\frac{a}{d}={\log }_{x-4}(x-1).$$

Поэтому неравенство равносильно

$${\log }_{x-1}(x-4)+{\log }_{x-4}(x-1)\ge \frac{5}{2}.$$

Замена и решение относительно $t$

Обозначим

$$t={\log }_{x-1}(x-4)=\frac{d}{a}.$$

Тогда ${\log }_{x-4}(x-1)=\frac{a}{d}=\frac{1}{t}\text{,}$ и неравенство принимает вид

$$t+\frac{1}{t}\ge \frac{5}{2}.$$

Определим знак $t$ на ОДЗ. При $x>4$ основание $x-1>3>1\text{,}$ значит знак ${\log }_{x-1}(x-4)$ совпадает со знаком $(x-4)-1=x-5\text{:}$

• если $4<x<5\text{,}$ то $0<x-4<1$ и $t<0\text{;}$
• если $x>5\text{,}$ то $x-4>1$ и $t>0\text{.}$

Случай $4<x<5$ ($t<0$). Для отрицательного $t$ имеем $t+\frac{1}{t}\le -2<\frac{5}{2}$ (сумма положительного числа и обратного ему, взятая со знаком минус). Неравенство не выполняется — решений нет.

Случай $x>5$ ($t>0$). Умножим $t+\frac{1}{t}\ge \frac{5}{2}$ на $t>0\text{:}$

$$t^2-\frac{5}{2}t+1\ge 0⟺2t^2-5t+2\ge 0⟺(2t-1)(t-2)\ge 0.$$

Отсюда при $t>0$ получаем

$$0<t\le \frac{1}{2}\text{или}t\ge 2.$$

Возврат к $x$

Заметим, что при $x>5$ выполнено $0<x-4<x-1\text{,}$ а основание $x-1>1\text{,}$ поэтому

$$t={\log }_{x-1}(x-4)<{\log }_{x-1}(x-1)=1.$$

Значит ветвь $t\ge 2$ невозможна (формально: ${\log }_{x-1}(x-4)\ge 2\iff x-4\ge (x-1{)}^2\iff x^2-3x+5\le 0\text{,}$ но дискриминант $9-20<0\text{,}$ решений нет).

Остаётся ветвь $0<t\le \frac{1}{2}\text{.}$ Условие $t>0$ уже обеспечено $x>5\text{.}$ Разберём $t\le \frac{1}{2}\text{:}$ так как основание $x-1>1\text{,}$ логарифм монотонно возрастает, и

$${\log }_{x-1}(x-4)\le \frac{1}{2}⟺x-4\le (x-1{)}^{1/2}=\sqrt{x-1}.$$

При $x>5$ обе части положительны ($x-4>1>0$), поэтому возведение в квадрат равносильно:

$$(x-4{)}^2\le x-1⟺x^2-9x+17\le 0.$$

Корни квадратного трёхчлена:

$$x=\frac{9\pm \sqrt{81-68}}{2}=\frac{9\pm \sqrt{13}}{2}.$$

Следовательно $x^2-9x+17\le 0$ при $\frac{9-\sqrt{13}}{2}\le x\le \frac{9+\sqrt{13}}{2}\text{.}$ Так как $\frac{9-\sqrt{13}}{2}\approx 2,70<5\text{,}$ пересечение с условием $x>5$ даёт

$$5<x\le \frac{9+\sqrt{13}}{2}.$$

Проверка границы

В правом конце $x=\frac{9+\sqrt{13}}{2}$ выполнено $t=\frac{1}{2}\text{,}$ тогда $t+\frac{1}{t}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$ — достигается равенство, поэтому эта точка включается. Точка $x=5$ не входит в ОДЗ. Числовая проверка подтверждает: при $x=5,5$ сумма $\approx 3,98\text{,}$ при $x=6$ сумма $\approx 2,75\text{,}$ при $x=6,30$ сумма $\approx 2,50\text{,}$ а при $x=6,5$ уже $\approx 2,40<2,5\text{.}$

Ответ

$$x\in \left(5,\frac{9+\sqrt{13}}{2}\right].$$