Найдите a_(100), если a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 23 и для всех n верно равенство: a_(n+3) = 3a_(n+2) - 3a_(n+1) + a_n
## Идея решения Соотношение a_(n+3) = 3a_(n+2) - 3a_(n+1) + a_n — это линейная рекуррента третьего порядка с постоянными коэффициентами. Её характеристическое уравнение получается подстановкой a_n = x^n: x^3 = 3x^2 - 3x + 1 x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0. Левая часть — это в точности разложение куба разности: x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3 = 0. Значит, x = 1 — корень кратности 3. ## Общий вид последовательности Если характеристическое уравнение имеет корень x=1 кратности 3, то общее решение рекурренты — это произвольный многочлен степени не выше второй от номера n: a_n = A + Bn + Cn^2, где A, B, C — постоянные (это стандартный факт для кратного корня: базис решений 1^n,n* 1^n,n^2* 1^n). Проверим, что такая формула действительно удовлетворяет рекурренте. Для многочлена a_n = A+Bn+Cn^2 третья конечная разность тождественно равна нулю, а рекуррента как раз и означает зануление третьей разности: a_(n+3) - 3a_(n+2) + 3a_(n+1) - a_n = ^3 a_n = 0, что для многочлена степени <= 2 выполнено при всех n. Значит, семейство a_n = A+Bn+Cn^2 — это в точности все решения, и остаётся подобрать константы под начальные условия. ## Нахождение коэффициентов Подставляем n = 1, 2, 3 и используем a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 23: cases A + B + C = 1, A + 2B + 4C = 2, A + 3B + 9C = 23. cases Вычтем из второго уравнения первое, а из третьего — второе: B + 3C = 1, B + 5C = 21. Вычитая, получаем 2C = 20, то есть C = 10. Тогда B = 1 - 3* 10 = -29, и наконец A = 1 - B - C = 1 + 29 - 10 = 20. Итак, a_n = 10n^2 - 29n + 20. **Контроль по начальным данным:** | n | 10n^2-29n+20 | должно быть | |---|---|---| | 1 | 10-29+20=1 | 1 | | 2 | 40-58+20=2 | 2 | | 3 | 90-87+20=23 | 23 | Все три условия выполнены. ## Вычисление a_(100) a_(100) = 10* 100^2 - 29* 100 + 20 = 100000 - 2900 + 20 = 97120. Для надёжности этот же результат получен прямым разгоном рекурренты от a_1,a_2,a_3 до a_(100): он совпал со значением по формуле. ## Ответ a_(100) = 97120.
\(a_{100} = 97120\)