Задача №18575

Пусть $x_1,x_2,\dots ,x_{19}$ — положительные вещественные числа. Известно, что

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_{19}}=20$$ $$x_1+x_2+\cdots +x_{19}=20.$$

Какое наибольшее значение может принимать выражение $x_1+\frac{1}{x_1}\text{?}$

Идея решения

Обозначим $x_1=t\text{.}$ Величина $x_1+\frac{1}{x_1}=t+\frac{1}{t}$ зависит только от одного числа, а остальные $18$ чисел $x_2,\dots ,x_{19}$ можно выбирать свободно, лишь бы они «добирали» недостающие суммы. Поэтому вопрос сводится к тому, при каких $t$ вообще существуют такие $18$ положительных чисел.

Пусть

$$S=x_2+\cdots +x_{19}=20-t,R=\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_{19}}=20-\frac{1}{t}.$$

Числа $x_2,\dots ,x_{19}$ положительны, значит обязательно $S>0$ и $R>0\text{,}$ то есть

$$0<t<20\text{и}t>\frac{1}{20},\text{итого}\frac{1}{20}<t<20.$$

Ключевая лемма (условие существования 18 чисел)

Утверждение. Для заданных $S>0,R>0$ набор из $18$ положительных чисел с суммой $S$ и суммой обратных $R$ существует тогда и только тогда, когда

$$S\cdot R\ge 18^2=324.$$

Необходимость. По неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим (равносильно неравенству Коши–Буняковского) для любых положительных $y_1,\dots ,y_{18}$

$$\left(\sum _i{y}_i\right)\left(\sum _i\frac{1}{y_i}\right)\ge 18^2,$$

поэтому $S\cdot R\ge 324\text{,}$ причём равенство достигается лишь когда все числа равны.

Достаточность. Зафиксируем сумму $S$ и посмотрим, какие значения может принимать $R\text{.}$ Возьмём $17$ чисел равными $\epsilon$ и одно равным $S-17\epsilon \text{.}$ При $\epsilon =\frac{S}{18}$ все числа равны и $R=\frac{18^2}{S}=\frac{324}{S}$ — это минимально возможное значение. При $\epsilon \to 0^{+}$ сумма обратных неограниченно растёт ($R\to +\infty$). Функция $R(\epsilon )$ непрерывна, поэтому по теореме о промежуточном значении $R$ пробегает весь луч $[\frac{324}{S},+\infty )\text{.}$ Значит любое $R\ge \frac{324}{S}\text{,}$ то есть любое $R$ с $SR\ge 324\text{,}$ реализуемо. Лемма доказана.

Сведение к неравенству на $t$

Подставим $S=20-t\text{,}$ $R=20-\frac{1}{t}$ в условие $S\cdot R\ge 324\text{:}$

$$(20-t)(20-\frac{1}{t})\ge 324.$$

Раскроем скобки:

$$(20-t)(20-\frac{1}{t})=400-\frac{20}{t}-20t+1=401-20(t+\frac{1}{t}).$$

Обозначим $u=t+\frac{1}{t}\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид

$$401-20u\ge 324⟺20u\le 77⟺u\le \frac{77}{20}.$$

Таким образом, при любом допустимом наборе

$$x_1+\frac{1}{x_1}=u\le \frac{77}{20}=3,85.$$

(Заметим, что попутно $u=t+\frac{1}{t}\ge 2\text{,}$ так что условие $2\le u\le \frac{77}{20}$ непусто и совместно с ограничением $\frac{1}{20}<t<20\text{.}$)

Достижимость границы

Остаётся показать, что значение $\frac{77}{20}$ действительно достигается. Равенство $SR=324$ в лемме возможно только когда все $18$ чисел равны между собой: $x_2=\cdots =x_{19}=c\text{.}$ Тогда

$$18c=S=20-t,\frac{18}{c}=R=20-\frac{1}{t}.$$

Значение $t$ находим из $t+\frac{1}{t}=\frac{77}{20}\text{,}$ то есть $20t^2-77t+20=0\text{:}$

$$t=\frac{77\pm \sqrt{77^2-4\cdot 20\cdot 20}}{40}=\frac{77\pm \sqrt{4329}}{40}=\frac{77\pm 3\sqrt{481}}{40}.$$

Оба корня положительны, лежат в $(\frac{1}{20},20)$ и связаны соотношением $t\cdot \frac{1}{t}=1$ (это одна и та же пара «число и обратное к нему»), поэтому дают одно и то же значение $u\text{.}$ Возьмём больший корень:

$$t=\frac{77+3\sqrt{481}}{40}\approx 3,5699,c=\frac{20-t}{18}\approx 0,9128.$$

Прямая проверка этого набора $(x_1=t,x_2=\cdots =x_{19}=c)\text{:}$

Обе исходные суммы равны $20\text{,}$ а значение выражения равно $\frac{77}{20}\text{.}$ Значит граница достижима.

Ответ

$$\boxed{x_1+\frac{1}{x_1}\le \frac{77}{20}=3,85}$$

Наибольшее значение выражения $x_1+\frac{1}{x_1}$ равно $\frac{77}{20}=3,85\text{;}$ оно достигается, когда $x_1=\frac{77+3\sqrt{481}}{40}$ (или обратное к нему число), а остальные $18$ чисел равны между собой.