Пусть x_1, x_2, , x_(19) — положительные вещественные числа. Известно, что (1)/(x_1) + (1)/(x_2) + *s + (1)/(x_(19)) = 20 x_1 + x_2 + *s + x_(19) = 20. Какое наибольшее значение может принимать выражение x_1 + (1)/(x_1)?
## Идея решения Обозначим x_1=t. Величина x_1+(1)/(x_1)=t+1t зависит только от одного числа, а остальные 18 чисел x_2,,x_(19) можно выбирать свободно, лишь бы они «добирали» недостающие суммы. Поэтому вопрос сводится к тому, при каких t вообще существуют такие 18 положительных чисел. Пусть S=x_2+*s+x_(19)=20-t, R=(1)/(x_2)+*s+(1)/(x_(19))=20-1t . Числа x_2,,x_(19) положительны, значит обязательно S>0 и R>0, то есть 0<t<20 и t>(1)/(20), итого (1)/(20)<t<20 . ## Ключевая лемма (условие существования 18 чисел) **Утверждение.** Для заданных S>0, R>0 набор из 18 положительных чисел с суммой S и суммой обратных R существует тогда и только тогда, когда S* R >= 18^2=324 . **Необходимость.** По неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим (равносильно неравенству Коши–Буняковского) для любых положительных y_1,,y_(18) (_(i) y_i)(_(i)(1)/(y_i)) >= 18^2 , поэтому S* R>= 324, причём равенство достигается лишь когда все числа равны. **Достаточность.** Зафиксируем сумму S и посмотрим, какие значения может принимать R. Возьмём 17 чисел равными и одно равным S-17. При =(S)/(18) все числа равны и R=(18^2)/(S)=(324)/(S) — это минимально возможное значение. При 0^(+) сумма обратных неограниченно растёт (R+inf). Функция R() непрерывна, поэтому по теореме о промежуточном значении R пробегает весь луч [(324)/(S),+inf). Значит любое R>=(324)/(S), то есть любое R с SR324, реализуемо. Лемма доказана. ## Сведение к неравенству на t Подставим S=20-t, R=20-1t в условие S* R>= 324: (20-t)(20-1t) >= 324 . Раскроем скобки: (20-t)(20-1t)=400-(20)/(t)-20t+1=401-20(t+1t). Обозначим u=t+1t. Тогда неравенство принимает вид 401-20u >= 324 20u<= 77 u<= (77)/(20). Таким образом, при любом допустимом наборе x_1+(1)/(x_1)=u<= (77)/(20)=3,85 . (Заметим, что попутно u=t+1t>= 2, так что условие 2<= u<= (77)/(20) непусто и совместно с ограничением (1)/(20)<t<20.) ## Достижимость границы Остаётся показать, что значение (77)/(20) действительно достигается. Равенство SR=324 в лемме возможно только когда все 18 чисел равны между собой: x_2=*s=x_(19)=c. Тогда 18c=S=20-t, (18)/(c)=R=20-1t . Значение t находим из t+1t=(77)/(20), то есть 20t^2-77t+20=0: t=(77+-sqrt(77^2-4* 20* 20))/(40)=(77+-sqrt(4329))/(40)=(77+- 3sqrt(481))/(40). Оба корня положительны, лежат в (120,20) и связаны соотношением t*1t=1 (это одна и та же пара «число и обратное к нему»), поэтому дают одно и то же значение u. Возьмём больший корень: t=(77+3sqrt(481))/(40)~ 3,5699, c=(20-t)/(18)~ 0,9128 . Прямая проверка этого набора (x_1=t, x_2=*s=x_(19)=c): | Величина | Значение | |---|---| | x_1+18c | 3,5699+18*0,9128=20 | | (1)/(x_1)+(18)/(c) | 0,2801+18*1,0956=20 | | x_1+(1)/(x_1) | 3,5699+0,2801=3,85 | Обе исходные суммы равны 20, а значение выражения равно (77)/(20). Значит граница достижима. ## Ответ x_1+(1)/(x_1) <= (77)/(20)=3,85 Наибольшее значение выражения x_1+(1)/(x_1) равно (77)/(20)=3,85; оно достигается, когда x_1=(77+3sqrt(481))/(40) (или обратное к нему число), а остальные 18 чисел равны между собой.
Наибольшее значение равно \(\dfrac{77}{20}=3{,}85\).