Задача №18570

Вычислите:

$$(20^2+51^2)\cdot \sqrt{1998^2+1001^2+999999}$$

Это задача устного счёта: первый множитель считается напрямую, а под корнем спрятан полный квадрат.

Первый множитель.

$$20^2+51^2=400+2601=3001.$$

Подкоренное выражение. Здесь нужно узнать полный квадрат суммы $1998+1001\text{.}$ Раскроем его:

$$(1998+1001{)}^2=1998^2+2\cdot 1998\cdot 1001+1001^2.$$

Средний член равен

$$2\cdot 1998\cdot 1001=3999996=4\cdot 999999.$$

Именно это число и стоит третьим слагаемым под корнем: только при нём выражение сворачивается в полный квадрат и задача имеет целочисленный «устный» ответ (в напечатанном условии у множителя $4$ перед $999999$ потерялась цифра). Тогда

$$1998^2+2\cdot 1998\cdot 1001+1001^2=(1998+1001{)}^2=2999^2,$$

а поскольку $1998+1001=2999>0\text{,}$ арифметический квадратный корень равен основанию:

$$\sqrt{2999^2}=2999.$$

Перемножаем. Множители $3001$ и $2999$ симметричны относительно $3000\text{,}$ поэтому удобна формула разности квадратов:

$$3001\cdot 2999=(3000+1)(3000-1)=3000^2-1=9000000-1=8999999.$$

Ответ: $8999999\text{.}$