Задача №18573

Решите систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\sin (x+y)=|\sin y|+|\sin z|\\ \sin (y+z)=|\sin z|+|\sin x|\\ \sin (z+x)=|\sin x|+|\sin y|\end{array}$$

Идея решения

Правые части всех трёх уравнений неотрицательны (это суммы модулей), поэтому неотрицательны и все левые части. Введём обозначения

$$a=|\sin x|,b=|\sin y|,c=|\sin z|,a,b,c\ge 0.$$

Тогда система принимает вид

$$\{\begin{array}{l}\sin (x+y)=b+c,\\ \sin (y+z)=c+a,\\ \sin (z+x)=a+b.\end{array}$$

Ключевая оценка

Для любых чисел $u,v$ справедливо неравенство

$$\sin (u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v\le |\sin u||\cos v|+|\cos u||\sin v|\le |\sin u|+|\sin v|,$$

поскольку $|\cos v|\le 1$ и $|\cos u|\le 1\text{.}$ Применим эту оценку к каждому из трёх выражений в левых частях (каждое зависит ровно от двух переменных):

$$\sin (x+y)\le a+b,\sin (y+z)\le b+c,\sin (z+x)\le c+a.$$

Из системы следует $a=b=c$

Подставим в эти оценки точные значения левых частей из уравнений системы:

• из первого уравнения $\sin (x+y)=b+c\text{,}$ а оценка даёт $\sin (x+y)\le a+b\text{;}$ значит $b+c\le a+b\text{,}$ то есть $c\le a\text{;}$
• из второго уравнения $\sin (y+z)=c+a\le b+c\text{,}$ то есть $a\le b\text{;}$
• из третьего уравнения $\sin (z+x)=a+b\le c+a\text{,}$ то есть $b\le c\text{.}$

Собирая цепочку неравенств,

$$c\le a\le b\le c,$$

получаем, что все они обращаются в равенства, поэтому

$$a=b=c.$$

Достигается ли равенство: почему $a=0$

При $a=b=c$ первое уравнение превращается в $\sin (x+y)=b+c=2a\text{,}$ а оценка сверху даёт $\sin (x+y)\le a+b=2a\text{.}$ Значит, в неравенстве

$$\sin (x+y)\le |\sin x|+|\sin y|$$

достигается равенство. Разберём, когда это возможно. Равенство в цепочке

$$\sin x\cos y+\cos x\sin y\le |\sin x|+|\sin y|$$

требует одновременно

$$\sin x\cos y=|\sin x|\text{и}\cos x\sin y=|\sin y|.$$

Предположим, что $a>0\text{,}$ то есть $\sin x\ne 0$ и $\sin y\ne 0\text{.}$ Из равенства $\sin x\cos y=|\sin x|$ при $\sin x\ne 0$ получаем $|\cos y|=1\text{,}$ а значит $\sin y=0$ — противоречие с $\sin y\ne 0\text{.}$ Следовательно, случай $a>0$ невозможен, и остаётся единственная возможность

$$a=b=c=0.$$

Нахождение $x,y,z$ и проверка

Условие $a=b=c=0$ означает $\sin x=\sin y=\sin z=0\text{,}$ то есть

$$x=\pi n,y=\pi m,z=\pi k,n,m,k\in \mathbb{Z}.$$

Проверим, что все такие тройки действительно являются решениями. Для $x,y,z\text{,}$ кратных $\pi \text{,}$ суммы $x+y,y+z,z+x$ тоже кратны $\pi \text{,}$ поэтому все левые части равны нулю; все правые части — суммы вида $|\sin (\pi m)|+|\sin (\pi k)|=0\text{.}$ Таким образом каждое уравнение обращается в тождество $0=0\text{.}$

Численная проверка (перебор кратных $\pi$ и глобальный поиск решений методом наименьших квадратов из десятков тысяч случайных стартов на отрезке $[-7,7{]}^3$) подтверждает: других решений нет, а вся серия $x,y,z\in \pi \mathbb{Z}$ удовлетворяет системе.

Ответ

$$x=\pi n,y=\pi m,z=\pi k,n,m,k\in \mathbb{Z}.$$