Решите систему уравнений: cases sin(x+y) = |sin y| + |sin z| sin(y+z) = |sin z| + |sin x| sin(z+x) = |sin x| + |sin y| cases
## Идея решения Правые части всех трёх уравнений неотрицательны (это суммы модулей), поэтому неотрицательны и все левые части. Введём обозначения a=|sin x|, b=|sin y|, c=|sin z|, a,b,c>= 0. Тогда система принимает вид cases sin(x+y)=b+c, sin(y+z)=c+a, sin(z+x)=a+b. cases ## Ключевая оценка Для любых чисел u,v справедливо неравенство sin(u+v)=sin ucos v+cos usin v<=|sin u||cos v|+|cos u||sin v|<=|sin u|+|sin v|, поскольку |cos v|<= 1 и |cos u|<= 1. Применим эту оценку к каждому из трёх выражений в левых частях (каждое зависит ровно от двух переменных): sin(x+y)<= a+b, sin(y+z)<= b+c, sin(z+x)<= c+a. ## Из системы следует a=b=c Подставим в эти оценки точные значения левых частей из уравнений системы: - из первого уравнения sin(x+y)=b+c, а оценка даёт sin(x+y)<= a+b; значит b+c<= a+b, то есть c<= a; - из второго уравнения sin(y+z)=c+a<= b+c, то есть a<= b; - из третьего уравнения sin(z+x)=a+b<= c+a, то есть b<= c. Собирая цепочку неравенств, c<= a<= b<= c, получаем, что все они обращаются в равенства, поэтому a=b=c. ## Достигается ли равенство: почему a=0 При a=b=c первое уравнение превращается в sin(x+y)=b+c=2a, а оценка сверху даёт sin(x+y)<= a+b=2a. Значит, в неравенстве sin(x+y)<=|sin x|+|sin y| достигается **равенство**. Разберём, когда это возможно. Равенство в цепочке sin xcos y+cos xsin y<=|sin x|+|sin y| требует одновременно sin xcos y=|sin x| и cos xsin y=|sin y|. Предположим, что a>0, то есть sin x!= 0 и sin y!= 0. Из равенства sin xcos y=|sin x| при sin x!= 0 получаем |cos y|=1, а значит sin y=0 — противоречие с sin y!= 0. Следовательно, случай a>0 невозможен, и остаётся единственная возможность a=b=c=0. ## Нахождение x,y,z и проверка Условие a=b=c=0 означает sin x=sin y=sin z=0, то есть x=pi n, y=pi m, z=pi k, n,m,kinZ. Проверим, что все такие тройки действительно являются решениями. Для x,y,z, кратных pi, суммы x+y, y+z, z+x тоже кратны pi, поэтому все левые части равны нулю; все правые части — суммы вида |sin(pi m)|+|sin(pi k)|=0. Таким образом каждое уравнение обращается в тождество 0=0. Численная проверка (перебор кратных pi и глобальный поиск решений методом наименьших квадратов из десятков тысяч случайных стартов на отрезке [-7,7]^3) подтверждает: других решений нет, а вся серия x,y,z удовлетворяет системе. ## Ответ x=pi n, y=pi m, z=pi k, n,m,kinZ.