58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tc64,**Идея.** Значение $ x=\dfrac{13}{181} $ намеренно "неудобное": прямая подстановка привела бы к громоздким вычислениям с иррациональностями. Разумно сначала упростить само выражение $ \dfrac{p(x)}{p\!\left(\frac1x\right)} $ в общем виде и лишь потом смотреть, зависит ли оно от конкретного $ x $. **Область определения.** В функции $ p(x)=\dfrac{(x^2+\sqrt5)(\sqrt5\,x^2+1)}{x^2} $ знаменатель $ x^2 $ требует $ x\neq 0 $; в выражении участвует ещё и $ p\!\left(\frac1x\right) $, поэтому величина $ \frac1x $ тоже должна быть определена, что снова даёт $ x\neq 0 $. Заданное значение $ x=\frac{13}{181}\neq 0 $ в область определения входит. **Вычислим $ p\!\left(\frac1x\right) $.** Подставим $ \frac1x $ вместо аргумента. Поскольку $ \left(\frac1x\right)^2=\dfrac{1}{x^2} $, получаем \[ p\!\left(\tfrac1x\right)=\frac{\left(\dfrac{1}{x^2}+\sqrt5\right)\left(\dfrac{\sqrt5}{x^2}+1\right)}{\dfrac{1}{x^2}}. \] Приведём каждую скобку к общему знаменателю $ x^2 $: \[ \frac{1}{x^2}+\sqrt5=\frac{1+\sqrt5\,x^2}{x^2},\qquad \frac{\sqrt5}{x^2}+1=\frac{\sqrt5+x^2}{x^2}. \] Тогда числитель дроби равен $ \dfrac{(1+\sqrt5\,x^2)(\sqrt5+x^2)}{x^4} $, а деление на $ \dfrac{1}{x^2} $ равносильно умножению на $ x^2 $: \[ p\!\left(\tfrac1x\right)=\frac{(1+\sqrt5\,x^2)(\sqrt5+x^2)}{x^4}\cdot x^2=\frac{(1+\sqrt5\,x^2)(\sqrt5+x^2)}{x^2}. \] **Сравнение с $ p(x) $.** По условию \[ p(x)=\frac{(x^2+\sqrt5)(\sqrt5\,x^2+1)}{x^2}. \] Отличие лишь в порядке множителей и слагаемых внутри скобок: $ x^2+\sqrt5=\sqrt5+x^2 $ и $ \sqrt5\,x^2+1=1+\sqrt5\,x^2 $. Значит, числители совпадают, и \[ p\!\left(\tfrac1x\right)=p(x). \] Иначе говоря, функция $ p $ симметрична относительно замены $ x\to\frac1x $. **Вывод.** Для любого $ x\neq 0 $ \[ \frac{p(x)}{p\!\left(\frac1x\right)}=1, \] так как числитель и знаменатель равны (а $ p(x)\neq 0 $: при $ x\neq0 $ множители $ x^2+\sqrt5>0 $ и $ \sqrt5\,x^2+1>0 $, поэтому деление корректно). В частности, при $ x=\dfrac{13}{181} $ значение выражения тоже равно $ 1 $ — конкретная величина $ x $ на ответ не влияет. **Проверка.** Символьное упрощение (sympy) даёт $ \dfrac{p(x)}{p(1/x)}=1 $ тождественно; прямая численная подстановка $ x=\frac{13}{181} $ также возвращает $ 1{,}0 $. **Ответ:** $ 1 $.5c:Tb74,## Что дано Последовательность задана формулой \[ a_k=\frac{2+(-1)^k}{3^k},\qquad k=1,2,3,\ldots \] а числа $ b_n $ -- это средние арифметические первых $ n $ членов: \[ b_n=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}. \] Нужно сравнить $ a_3 $ и $ 100\,b_{2025} $. ## Шаг 1. Значение $ a_3 $ При $ k=3 $ знак $ (-1)^k $ отрицателен, поэтому \[ a_3=\frac{2+(-1)^3}{3^3}=\frac{2-1}{27}=\frac{1}{27}. \] ## Шаг 2. Сумма первых $ n $ членов Разобьём общий член на две геометрические части. Заметим, что \[ a_k=\frac{2+(-1)^k}{3^k}=\frac{2}{3^k}+\frac{(-1)^k}{3^k}=2\left(\frac13\right)^k+\left(-\frac13\right)^k. \] Значит, сумма $ S_n=a_1+\ldots+a_n $ распадается на две суммы геометрических прогрессий. Первая прогрессия имеет первый член $ \tfrac13 $ и знаменатель $ \tfrac13 $: \[ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac13\right)^k=\frac{\tfrac13\left(1-\left(\tfrac13\right)^n\right)}{1-\tfrac13}=\frac12\left(1-3^{-n}\right). \] Вторая прогрессия имеет первый член $ -\tfrac13 $ и знаменатель $ -\tfrac13 $: \[ \sum_{k=1}^{n}\left(-\frac13\right)^k=\frac{-\tfrac13\left(1-\left(-\tfrac13\right)^n\right)}{1-\left(-\tfrac13\right)}=-\frac14\left(1-\left(-\tfrac13\right)^n\right). \] Поэтому \[ S_n=2\cdot\frac12\left(1-3^{-n}\right)-\frac14\left(1-\left(-\tfrac13\right)^n\right)=\frac34-3^{-n}+\frac14\left(-\frac13\right)^n. \] ## Шаг 3. Подставляем $ n=2025 $ Число $ 2025 $ нечётное, поэтому $ \left(-\tfrac13\right)^{2025}=-3^{-2025} $. Тогда \[ S_{2025}=\frac34-3^{-2025}+\frac14\bigl(-3^{-2025}\bigr)=\frac34-\frac54\cdot 3^{-2025}. \] Отсюда \[ b_{2025}=\frac{S_{2025}}{2025}=\frac{1}{2025}\left(\frac34-\frac54\cdot 3^{-2025}\right). \] ## Шаг 4. Вычисляем $ 100\,b_{2025} $ Заметим, что $ \dfrac{100}{2025}=\dfrac{4}{81} $ (сократили на $ 25 $, ведь $ 2025=81\cdot 25 $). Поэтому \[ 100\,b_{2025}=\frac{4}{81}\left(\frac34-\frac54\cdot 3^{-2025}\right)=\frac{3}{81}-\frac{5}{81}\cdot 3^{-2025}=\frac{1}{27}-\frac{5}{81}\cdot 3^{-2025}. \] ## Шаг 5. Сравнение Мы получили \[ 100\,b_{2025}=\frac{1}{27}-\frac{5}{81}\cdot 3^{-2025}=a_3-\frac{5}{81}\cdot 3^{-2025}. \] Вычитаемое строго положительно, значит $ 100\,b_{2025} $ меньше $ a_3 $. Точная разность равна \[ a_3-100\,b_{2025}=\frac{5}{81}\cdot 3^{-2025}=\frac{5}{3^{4}\cdot 3^{2025}}=\frac{5}{3^{2029}}>0. \] **Ответ:** $ a_3>100\,b_{2025} $; разность составляет $ \dfrac{5}{3^{2029}} $.5d:Tf4b,**Область определения.** Логарифмы $ \log_5 x,\ \log_6 x $ требуют $ x>0 $; степени $ x^{\log_3 4} $ и $ 2^{\log_3 x} $ при $ x>0 $ определены. Значит ОДЗ: $ x>0 $. **Приведение показательных выражений к одной переменной.** Воспользуемся тождеством $ a^{\log_b c}=c^{\log_b a} $. В частности, \[ x^{\log_3 4} = 4^{\log_3 x}, \] поскольку обе части равны $ 3^{\log_3 4\,\cdot\,\log_3 x} $. Обозначим \[ u = 2^{\log_3 x}. \] При $ x>0 $ всегда $ u>0 $. Тогда \[ x^{\log_3 4} = 4^{\log_3 x} = \left(2^{\log_3 x}\right)^2 = u^2, \qquad 2^{\log_3 x} = u. \] Поэтому оба множителя в скобках выражаются через $ u $: \[ x^{\log_3 4}-16 = u^2-16=(u-4)(u+4), \qquad 2^{\log_3 x}-4 = u-4. \] **Перенос в одну сторону и вынесение общего множителя.** Неравенство принимает вид \[ \log_5 x\,(u-4)(u+4) \;\geqslant\; \log_6 x\,(u-4), \] откуда \[ (u-4)\Big[\log_5 x\,(u+4)-\log_6 x\Big] \;\geqslant\; 0. \] Выразим логарифмы через натуральный: $ \log_5 x=\dfrac{\ln x}{\ln 5} $, $ \log_6 x=\dfrac{\ln x}{\ln 6} $. Тогда квадратная скобка равна \[ \ln x\left[\frac{u+4}{\ln 5}-\frac{1}{\ln 6}\right]. \] Итак, неравенство эквивалентно \[ (u-4)\cdot \ln x\cdot\underbrace{\left[\frac{u+4}{\ln 5}-\frac{1}{\ln 6}\right]}_{P} \;\geqslant\; 0. \] **Знак множителя $ P $.** Так как $ u>0 $, то $ u+4>4 $, и \[ \frac{u+4}{\ln 5} > \frac{4}{\ln 5} \approx 2{,}49, \qquad \frac{1}{\ln 6}\approx 0{,}56. \] Поэтому $ P>0 $ при всех допустимых $ x $. Значит множитель $ P $ на знак неравенства не влияет, и оно равносильно \[ (u-4)\cdot \ln x \;\geqslant\; 0. \] **Разбор знаков.** Определим знаки сомножителей на $ x>0 $. Множитель $ \ln x $: отрицателен при $ 01 $. Множитель $ u-4 = 2^{\log_3 x}-4 $: так как $ 2^{t} $ возрастает, \[ 2^{\log_3 x}-4\geqslant 0 \iff \log_3 x\geqslant 2 \iff x\geqslant 9. \] Значит $ u-4 $ отрицателен при $ 09 $. Перемножим знаки по промежуткам: | Промежуток | $ \ln x $ | $ u-4 $ | Произведение | |---|---|---|---| | $ 09 $ | $+$ | $+$ | $+$ | Условие $ (u-4)\ln x\geqslant 0 $ выполнено на $ (0;1] $ и на $ [9;+\infty) $. **Проверка граничных точек.** При $ x=1 $ обе части исходного неравенства равны нулю ($ \log_5 1=\log_6 1=0 $), значит $ 0\geqslant 0 $ — верно. При $ x=9 $: $ 9^{\log_3 4}=(3^2)^{\log_3 4}=4^2=16 $, поэтому левый множитель $ 16-16=0 $; одновременно $ 2^{\log_3 9}-4=2^2-4=0 $, и снова $ 0\geqslant 0 $ — верно. Обе точки включаются. Численная проверка подстановкой подтверждает результат: например, $ x=0{,}5 $ и $ x=27 $ неравенству удовлетворяют, а $ x=3 $ и $ x=8 $ — нет. **Ответ.** \[ x \in (0;\,1] \cup [9;\,+\infty). \]5e:T109e,## Область допустимых значений В правой части стоит $ \operatorname{tg}\dfrac{x}{2} $, поэтому нужно $ \cos\dfrac{x}{2}\neq 0 $, то есть \[ \frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+\pi n \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq \pi + 2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}. \] Это ограничение существенно: после упрощений оно отсеет часть формальных решений, поэтому запомним его отдельно. ## Преобразуем правую часть Воспользуемся тождеством $ 1+\operatorname{tg}^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\cos^2\frac{x}{2}} $ (оно верно как раз в ОДЗ). Тогда \[ \frac{2}{1+\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}} = 2\cos^2\frac{x}{2} = 1+\cos x. \] Здесь применена формула понижения степени $ 2\cos^2\dfrac{x}{2}=1+\cos x $. ## Преобразуем левую часть Сгруппируем крайние слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2} $: \[ \sin 2x+\sin 4x = 2\sin 3x\cos x. \] Поэтому вся левая часть равна \[ \sin 2x+2\sin 3x+\sin 4x = 2\sin 3x\cos x + 2\sin 3x = 2\sin 3x\,(\cos x + 1). \] ## Уравнение и разложение на множители Уравнение принимает вид \[ 2\sin 3x\,(1+\cos x) = 1+\cos x, \] откуда, перенося всё в одну сторону, \[ (1+\cos x)\,(2\sin 3x - 1) = 0. \] Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один множитель. **Первый множитель.** $ 1+\cos x = 0 $ даёт $ \cos x = -1 $, то есть $ x = \pi + 2\pi k $. Но именно эти точки исключены из ОДЗ (в них $ \operatorname{tg}\dfrac{x}{2} $ не определён). Значит, первый множитель **не даёт ни одного решения**. Это ключевой момент отбора: формально множитель $ 1+\cos x $ обнуляется, однако в исходном уравнении правая часть в этих точках не существует, поэтому включать их нельзя. **Второй множитель.** $ 2\sin 3x - 1 = 0 $, то есть \[ \sin 3x = \frac{1}{2}. \] Отсюда \[ 3x = \frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad 3x = \frac{5\pi}{6}+2\pi k, \] и, деля на $ 3 $, \[ x = \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \quad\text{или}\quad x = \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \] ## Проверка ОДЗ Осталось убедиться, что найденные решения не попадают в запрещённое множество $ x=\pi+2\pi n $. У всех решений второго множителя выполнено $ \sin 3x = \dfrac{1}{2} $; а в исключённых точках $ x=\pi+2\pi n $ имеем $ 3x = 3\pi + 6\pi n $ и $ \sin 3x = 0 \neq \dfrac{1}{2} $. Следовательно, ни одна из точек серии $ \sin 3x=\dfrac12 $ не совпадает с исключённой, и все найденные значения допустимы. ## Ответ \[ x = \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \quad\text{или}\quad x = \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \] Обе серии можно записать одной формулой: \[ x = (-1)^k\,\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \] **Самопроверка.** Тождества $ \dfrac{2}{1+\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}}=1+\cos x $ и $ \sin 2x+2\sin 3x+\sin 4x=2\sin 3x(1+\cos x) $ подтверждены символьно. Численный скан исходного уравнения на промежутке $ (-\pi,\,3\pi) $ дал ровно корни $ \dfrac{\pi}{18}+\dfrac{2\pi k}{3} $ и $ \dfrac{5\pi}{18}+\dfrac{2\pi k}{3} $; точек вида $ x=\pi+2\pi n $ среди корней нет.5f:T18cf,## Обозначения и исходные равенства Выпишем радиусы всех трёх окружностей — на них держится всё решение. - Окружность $\Omega_1$ имеет центр $O$. Точки $A$ и $B$ лежат на ней, а точка $C$ — пересечение $\Omega_1$ и $\Omega_2$ — тоже лежит на $\Omega_1$. Значит, \[ OA=OB=OC=R. \] - Окружность $\Omega_2$ имеет центр $B$ и проходит через $A$, то есть её радиус равен $BA$. На ней лежат точки $A$, $C$, $D$, поэтому \[ BA=BC=BD. \] - Окружность $\Omega_3$ имеет центр $A$ и проходит через $C$, то есть её радиус равен $AC$. На ней лежат $C$ и $D$, поэтому \[ AC=AD. \] Покажем, что угол $OAD$ прямой независимо от того, как выбраны точки $A$ и $B$ на $\Omega_1$. ## Шаг 1. $\Omega_1$ — описанная окружность треугольника $ABC$ Из $OA=OB=OC=R$ следует, что точка $O$ равноудалена от вершин $A$, $B$, $C$. Значит, $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а сама эта описанная окружность и есть $\Omega_1$. ## Шаг 2. Треугольник $ABC$ равнобедренный Так как $BA=BC$ (обе величины — радиус $\Omega_2$), треугольник $ABC$ равнобедренный с вершиной $B$. Углы при основании $AC$ равны: \[ \angle CAB=\angle ACB. \tag{1} \] ## Шаг 3. Точка $D$ симметрична $C$ относительно прямой $AB$ Точки $C$ и $D$ — это две точки пересечения окружностей $\Omega_2$ (центр $B$) и $\Omega_3$ (центр $A$). Две пересекающиеся окружности симметричны относительно линии их центров, а вместе с ними симметрична и пара точек пересечения. Линия центров здесь — прямая $AB$. Следовательно, $D$ — образ $C$ при отражении относительно прямой $AB$. Отсюда сразу: - луч $AD$ составляет с $AB$ такой же угол, как луч $AC$: \[ \angle DAB=\angle CAB; \tag{2} \] - точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. (Заодно отражение подтверждает уже известные равенства $AD=AC$ и $BD=BC$.) ## Шаг 4. Прямая $AD$ касается $\Omega_1$ в точке $A$ Соберём равенства $(1)$ и $(2)$: \[ \angle DAB=\angle CAB=\angle ACB. \] Таким образом, угол между лучом $AD$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $\angle ACB$, опирающемуся на ту же хорду $AB$; при этом точка $C$ лежит по другую сторону от $AB$, чем луч $AD$, то есть в дополнительном сегменте. Это в точности условие обратной теоремы об угле между касательной и хордой: если прямая, проведённая через точку $A$ окружности, образует с хордой $AB$ угол, равный вписанному углу, опирающемуся на $AB$ из противоположного сегмента, то эта прямая — касательная. Значит, прямая $AD$ касается описанной окружности $\Omega_1$ в точке $A$. ## Шаг 5. Заключение Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Радиус $OA$ окружности $\Omega_1$ проведён как раз в точку касания $A$, а касательная — это прямая $AD$. Поэтому \[ \angle OAD=90^\circ. \] ## Проверка (независимость от выбора точек и прямой счёт углов) Пусть $\angle AOB=\alpha$ — центральный угол, отвечающий хорде $AB$ (он может быть любым, $0<\alpha<180^\circ$). Проведём независимый подсчёт. - Треугольник $OAB$ равнобедренный ($OA=OB$), поэтому \[ \angle OAB=90^\circ-\tfrac{\alpha}{2}. \] - Точка $C$ симметрична $A$ относительно линии центров $OB$ окружностей $\Omega_1$ и $\Omega_2$. Луч $BO$ лежит внутри угла $ABC$, поэтому $\angle ABC=2\angle ABO=180^\circ-\alpha$, и из равнобедренности $BA=BC$ получаем \[ \angle BAC=\tfrac{\alpha}{2}. \] - По шагу 3 $\angle BAD=\angle BAC=\tfrac{\alpha}{2}$, причём луч $AD$ и луч $AO$ лежат по разные стороны от $AB$ (точки $O$ и $C$ — по одну сторону, а $D$ — по другую). Поэтому углы складываются: \[ \angle OAD=\angle OAB+\angle BAD=\left(90^\circ-\tfrac{\alpha}{2}\right)+\tfrac{\alpha}{2}=90^\circ. \] Ответ не зависит от $\alpha$. Дополнительно результат подтверждён координатным расчётом: при размещении $O=(0,0)$, $B=(R,0)$, $A=(R\cos\alpha,\ R\sin\alpha)$ и построении точек $C$, $D$ по условию для всех $\alpha$ от $20^\circ$ до $170^\circ$ получается $\angle OAD=90^\circ$ и $\vec{AO}\cdot\vec{AD}=0$, что согласуется с тем, что $AD$ — касательная к $\Omega_1$ в точке $A$. ## Ответ \[ \angle OAD=90^\circ. \] 60:T1038,## Условие Найти все $ x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) $, при которых \[ 4\sin^2 x + \operatorname{ctg}^2 x - \dfrac{4}{4\cos^2 x + \operatorname{tg}^2 x + 1} \leqslant 2. \] ## Область определения На интервале $ \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) $ выполнено $ \sin x > 0 $ и $ \cos x > 0 $, поэтому $ \operatorname{tg} x $, $ \operatorname{ctg} x $ определены, а знаменатель $ 4\cos^2 x + \operatorname{tg}^2 x + 1 > 0 $. Все выражения корректны на всём интервале, дополнительных ограничений нет. ## Идея: собрать всё в одну дробь и увидеть полные квадраты Покажем, что левая часть **всегда не меньше** $ 2 $, а равенство достигается ровно в одной точке. Тогда неравенство $ \leqslant 2 $ превращается в равенство и выделяет единственное значение $ x $. **Шаг 1. Упростим знаменатель.** Пользуясь $ \operatorname{tg}^2 x = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} $ и $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $: \[ 4\cos^2 x + \operatorname{tg}^2 x + 1 = \frac{4\cos^4 x + \sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{4\cos^4 x + 1}{\cos^2 x}. \] Поэтому \[ \frac{4}{4\cos^2 x + \operatorname{tg}^2 x + 1} = \frac{4\cos^2 x}{4\cos^4 x + 1}. \] **Шаг 2. Оценим разность левой части и двойки.** Разобьём число $ 2 $ на слагаемые $ 3 $ и $ -1 $ и сгруппируем: \[ \text{ЛЧ} - 2 = \underbrace{\left(4\sin^2 x + \operatorname{ctg}^2 x - 3\right)}_{P} + \underbrace{\left(1 - \frac{4\cos^2 x}{4\cos^4 x + 1}\right)}_{Q}. \] Преобразуем каждую группу. Для $ P $ обозначим $ u = \sin^2 x \in (0,1) $, тогда $ \operatorname{ctg}^2 x = \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \dfrac{1-u}{u} $, и \[ P = 4u + \frac{1-u}{u} - 3 = 4u + \frac{1}{u} - 4 = \frac{4u^2 - 4u + 1}{u} = \frac{(2u-1)^2}{u} = \frac{\bigl(2\sin^2 x - 1\bigr)^2}{\sin^2 x}. \] Для $ Q $ приведём к общему знаменателю: \[ Q = \frac{4\cos^4 x + 1 - 4\cos^2 x}{4\cos^4 x + 1} = \frac{\bigl(2\cos^2 x - 1\bigr)^2}{4\cos^4 x + 1}. \] **Шаг 3. Учтём, что оба числителя равны $ \cos^2 2x $.** Действительно, $ 2\cos^2 x - 1 = \cos 2x $ и $ 2\sin^2 x - 1 = -\cos 2x $, поэтому $ \bigl(2\sin^2 x - 1\bigr)^2 = \bigl(2\cos^2 x - 1\bigr)^2 = \cos^2 2x $. Складывая $ P $ и $ Q $, получаем компактное тождество \[ \text{ЛЧ} - 2 = \cos^2 2x\left(\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{4\cos^4 x + 1}\right). \] ## Вывод Множитель в скобках строго положителен на всём интервале (сумма двух положительных дробей), а $ \cos^2 2x \geqslant 0 $. Значит, \[ \text{ЛЧ} - 2 \geqslant 0, \qquad \text{то есть} \qquad \text{ЛЧ} \geqslant 2, \] причём равенство (а с ним и исходное неравенство $ \leqslant 2 $) возможно **только** при $ \cos 2x = 0 $. На интервале $ x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) $ имеем $ 2x \in (0, \pi) $, и уравнение $ \cos 2x = 0 $ даёт единственное решение $ 2x = \dfrac{\pi}{2} $, то есть \[ x = \frac{\pi}{4}. \] **Проверка.** При $ x = \dfrac{\pi}{4} $: $ 4\sin^2 x + \operatorname{ctg}^2 x = 4\cdot\dfrac{1}{2} + 1 = 3 $, знаменатель $ 4\cdot\dfrac{1}{2} + 1 + 1 = 4 $, и левая часть равна $ 3 - \dfrac{4}{4} = 2 $. Неравенство обращается в равенство — значение подходит. Во всех прочих точках интервала левая часть строго больше $ 2 $. ## Ответ \[ x = \frac{\pi}{4}. \]61:T18cb,**Расстановка координат.** Пусть ребро куба равно $1$ и \[ A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ C(1,1,0),\ D(0,1,0),\quad A'(0,0,1),\ B'(1,0,1),\ C'(1,1,1),\ D'(0,1,1). \] Диагональная плоскость $BB'D'D$ содержит $B,D,B',D'$, поэтому её уравнение $x+y=1$, а нормаль $(1,1,0)$. Это плоскость симметрии куба: отражение $\sigma:(x,y,z)\mapsto(1-y,\,1-x,\,z)$ переводит куб в себя, оставляет на месте $B,D,B',D'$ и меняет местами $A\leftrightarrow C$, $A'\leftrightarrow C'$. **Уравнение плоскости $\pi$.** Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормали. Если $n=(\alpha,\beta,\gamma)$ — нормаль к $\pi$, то $n\cdot(1,1,0)=0$, то есть $\alpha+\beta=0$. Отбрасывая вырожденный горизонтальный случай, возьмём $n=(1,-1,t)$. Через точку $D(0,1,0)$: \[ \pi:\qquad x-y+tz+1=0. \] Вектор $n=(1,-1,t)$ имеет нулевую проекцию на $(1,1,0)$, значит он лежит в плоскости $BB'D'D$, поэтому $\sigma(n)=n$; кроме того $\sigma(D)=D$. Следовательно $\sigma(\pi)=\pi$: **сечение симметрично относительно плоскости $BB'D'D$.** **Построение сечения.** В силу симметрии $\pi$ пересекает боковые рёбра $AA'$ и $CC'$ на одной высоте $h$: \[ P=(0,0,h)\in AA',\qquad S=(1,1,h)\in CC'. \] Плоскость через три точки $D,P,S$ имеет вид \[ z=h(1+x-y). \] На нижней грани $z=0$ получаем $1+x-y=0$, то есть $y=x+1$; внутри квадрата это лишь точка $(0,1,0)=D$ — значит основания $\pi$ касается только в вершине $D$. На верхней грани $z=1$ имеем $1+x-y=\tfrac1h$, то есть прямую $x-y=\tfrac1h-1$. Она пересекает рёбра $A'B'$ и $B'C'$ при условии \[ 0<\tfrac1h-1<1\iff \tfrac121\) — вне куба, поэтому лишних точек нет. Итак, сечение — пятиугольник $D\,P\,Q\,R\,S$, стороны которого лежат на гранях $x=0,\ y=0,\ z=1,\ x=1,\ y=1$ соответственно. Введём обозначения \[ q=\tfrac1h-1,\qquad r=2-\tfrac1h,\qquad q+r=1. \] **Длины сторон.** Прямой подсчёт даёт \[ DP=SD=\sqrt{1+h^2},\qquad PQ=RS=\sqrt{q^2+(1-h)^2},\qquad QR=\sqrt{(1-q)^2+r^2}=r\sqrt2 \] (в последнем равенстве использовано $1-q=r$). Так как $1-h=qh$, то \[ PQ=\sqrt{q^2+q^2h^2}=q\sqrt{1+h^2}=q\cdot DP, \] а поскольку $q<1$ при $h>\tfrac12$, выходит $PQ0 \] (равенство лишь в вырожденной точке \(h=1$). Значит **две стороны при вершине $D$ строго длиннее остальных**, и три равные стороны пятиугольника — это обязательно \[ PQ=QR=RS. \] **Условие трёх равных сторон.** Равенство $PQ=QR$ (тогда $RS=PQ$ выполнено само) даёт \[ q\sqrt{1+h^2}=r\sqrt2=(1-q)\sqrt2, \] откуда, после возведения в квадрат, \[ q^2\,(1+h^2)=2\,(1-q)^2,\qquad q=\frac{1-h}{h}. \tag{*} \] **Переформулировка вопроса.** Расстояние от точки до $\pi$ равно $\dfrac{\lvert x-y+tz+1\rvert}{\sqrt{2+t^2}}$, где $t=-\tfrac1h$. Числители для интересующих точек: - $B'(1,0,1)$: $\ \big\lvert 1-0-\tfrac1h+1\big\rvert=\big\lvert 2-\tfrac1h\big\rvert=r$; - $C'(1,1,1)$: $\ \big\lvert 1-1-\tfrac1h+1\big\rvert=\big\lvert 1-\tfrac1h\big\rvert=\tfrac1h-1=q$. Знаменатель у обеих точек одинаков, поэтому \[ \rho(B')<\rho(C')\iff r\tfrac12\iff h<\tfrac23. \] Таким образом всё сводится к вопросу: где лежит корень уравнения $(*)$ — левее или правее $h=\tfrac23$? **Локализация корня.** Рассмотрим $\Phi(h)=q^2(1+h^2)-2(1-q)^2$ при $q=\dfrac{1-h}{h}$ (левая минус правая часть $(*)$). Искомая конфигурация отвечает корню $\Phi(h)=0$ на $\big(\tfrac12,1\big)$. Значения: \[ \Phi\!\left(\tfrac12\right)=1\cdot\Big(1+\tfrac14\Big)-2\cdot0=\tfrac54>0,\qquad \Phi\!\left(\tfrac23\right)=\tfrac14\cdot\tfrac{13}{9}-2\cdot\tfrac14=\tfrac{13}{36}-\tfrac12=-\tfrac{5}{36}<0. \] Функция $\Phi$ непрерывна и меняет знак на $\big(\tfrac12,\tfrac23\big)$, поэтому корень $h_*\in\big(\tfrac12,\tfrac23\big)$, то есть $h_*<\tfrac23$. (Второго корня на $\big(\tfrac23,1\big)$ нет: $\Phi(1)=-2<0$, знак больше не возвращается, так что конфигурация единственна.) Следовательно $r 100\\,b_{2025} \$. Точнее, \$ a_3 - 100\\,b_{2025} = \\dfrac{5}{3^{2029}} > 0 \$.","answer":"\$ a_3 > 100\\,b_{2025} \$. Точнее, \$ a_3 - 100\\,b_{2025} = \\dfrac{5}{3^{2029}} > 0 \$.","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"2","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ФКН, пробный вариант ДВИ, июль 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-fkn","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","name":"Прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"98bdaba6-9be5-45ba-80b0-5a9bd20a26a6","collection_id":"adc22306-d2de-4ce6-816c-a5f5db3edc2a","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"98bdaba6-9be5-45ba-80b0-5a9bd20a26a6","short_id":18530,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решите неравенство \$ \\log_5 x \\cdot \\left(x^{\\log_3 4} - 16\\right) \\geqslant \\log_6 x \\cdot \\left(2^{\\log_3 x} - 4\\right). \$","answer_text":"\$ x \\in (0;\\,1] \\cup [9;\\,+\\infty) \$.","answer":"\$ x \\in (0;\\,1] \\cup [9;\\,+\\infty) \$.","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"3","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ФКН, пробный вариант ДВИ, июль 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-fkn","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"73789061-6d80-45b6-b78b-c11dfd5def46","collection_id":"adc22306-d2de-4ce6-816c-a5f5db3edc2a","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"73789061-6d80-45b6-b78b-c11dfd5def46","short_id":18531,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите уравнение \$ \\sin(2x) + 2\\sin(3x) + \\sin(4x) = \\dfrac{2}{1 + \\operatorname{tg}^2 \\frac{x}{2}}. \$","answer_text":"\$ x = \\dfrac{\\pi}{18} + \\dfrac{2\\pi k}{3} \$ или \$ x = \\dfrac{5\\pi}{18} + \\dfrac{2\\pi k}{3} \$, \$ k \\in \\mathbb{Z} \$. Равносильно: \$ x = (-1)^k\\dfrac{\\pi}{18} + \\dfrac{\\pi k}{3} \$.","answer":"\$ x = \\dfrac{\\pi}{18} + \\dfrac{2\\pi k}{3} \$ или \$ x = \\dfrac{5\\pi}{18} + \\dfrac{2\\pi k}{3} \$, \$ k \\in \\mathbb{Z} \$. Равносильно: \$ x = (-1)^k\\dfrac{\\pi}{18} + \\dfrac{\\pi k}{3} \$.","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"4","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ФКН, пробный вариант ДВИ, июль 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-fkn","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"},{"id":"dcec6e03-173e-4ea7-9b6a-cb935a3bdda5","code":"tag-212","name":"Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов"}]}},{"problem_id":"6bbf459d-5f27-4066-ac21-3bec5a9549c0","collection_id":"adc22306-d2de-4ce6-816c-a5f5db3edc2a","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"6bbf459d-5f27-4066-ac21-3bec5a9549c0","short_id":18532,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Точки \$ A \$ и \$ B \$ лежат на окружности \$ \\Omega_1 \$ с центром в точке \$ O \$. Через точку \$ A \$ провели окружность \$ \\Omega_2 \$ с центром в точке \$ B \$. Точку пересечения окружностей \$ \\Omega_1 \$ и \$ \\Omega_2 \$, отличную от точки \$ A \$, обозначили через \$ C \$. Через точку \$ C \$ провели окружность \$ \\Omega_3 \$ с центром в точке \$ A \$. Точку пересечения окружностей \$ \\Omega_2 \$ и \$ \\Omega_3 \$, отличную от точки \$ C \$, обозначили через \$ D \$. Найдите угол \$ OAD \$.","answer_text":"\$\\angle OAD = 90^\\circ\$.","answer":"\$\\angle OAD = 90^\\circ\$.","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"5","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ФКН, пробный вариант ДВИ, июль 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-fkn","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"f8c015b6-cb48-4711-a78c-7b5ceaaf5d71","code":"tag-237","name":"Окружности и системы окружностей"}]}},{"problem_id":"dca70d6c-8b24-4f0a-9198-33655d963f41","collection_id":"adc22306-d2de-4ce6-816c-a5f5db3edc2a","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"dca70d6c-8b24-4f0a-9198-33655d963f41","short_id":18533,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найдите все значения \$ x \$ из интервала \$ \\left(0, \\dfrac{\\pi}{2}\\right) \$, при которых справедливо неравенство\n\\[ 4\\sin^2 x + \\operatorname{ctg}^2 x - \\dfrac{4}{4\\cos^2 x + \\operatorname{tg}^2 x + 1} \\leqslant 2. \\]","answer_text":"\$ x = \\dfrac{\\pi}{4} \$.","answer":"\$ x = \\dfrac{\\pi}{4} \$.","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"6","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ФКН, пробный вариант ДВИ, июль 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-fkn","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"2a6876b0-df38-4bc8-89a9-d986e627b92a","code":"tag-38","name":"Основное тригонометрическое тождество и его следствия"},{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"}]}},{"problem_id":"6643d5fc-2d9b-4ec5-872b-ad57cf3f6149","collection_id":"adc22306-d2de-4ce6-816c-a5f5db3edc2a","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","problem":{"id":"6643d5fc-2d9b-4ec5-872b-ad57cf3f6149","short_id":18534,"task_number":20,"topic_id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Плоскость \$ \\pi \$ проходит через точку \$ D \$ куба \$ ABCDA'B'C'D' \$ перпендикулярно плоскости \$ BB'D'D \$. Известно, что в сечении куба плоскостью \$ \\pi \$ образовался пятиугольник с тремя равными сторонами. Определите, какая из точек находится ближе к плоскости \$ \\pi \$ — точка \$ B' \$ или точка \$ C' \$.","answer_text":"Ближе к плоскости \$\\pi\$ расположена точка \$B'\$ (её расстояние до \$\\pi\$ меньше, чем у точки \$C'\$).","answer":"Ближе к плоскости \$\\pi\$ расположена точка \$B'\$ (её расстояние до \$\\pi\$ меньше, чем у точки \$C'\$).","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"answer_verification":"solver+adversarial-sympy","exam_format_2026":"written","ingest_batch":"dvi-probniki-2026-v1","is_probnik":true,"position_in_variant":"7","solution_origin":"sdamex-agentic-2026-07","source":"ФКН, пробный вариант ДВИ, июль 2026","source_url":"","variant_key":"probn-2026-fkn","year":2026},"created_at":"2026-07-10T08:50:55.76081Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","name":"Расстояния, углы, координаты и векторы","description":null},"tags":[{"id":"70650cb8-97e2-45bf-84d4-ff24f2da3722","code":"tag-100","name":"Расстояние от точки до плоскости"},{"id":"828427c8-b848-48f8-ac7f-625596f7ce1f","code":"tag-122","name":"Сечение, параллельное или перпендикулярное плоскости"},{"id":"a10bcfea-9448-4bdb-b69b-2dc377bcf4de","code":"tag-144","name":"Куб"}]}}],"total":7},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ