Плоскость pi проходит через точку D куба ABCDA'B'C'D' перпендикулярно плоскости BB'D'D . Известно, что в сечении куба плоскостью pi образовался пятиугольник с тремя равными сторонами. Определите, какая из точек находится ближе к плоскости pi — точка B' или точка C' .
**Расстановка координат.** Пусть ребро куба равно 1 и A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A'(0,0,1), B'(1,0,1), C'(1,1,1), D'(0,1,1). Диагональная плоскость BB'D'D содержит B,D,B',D', поэтому её уравнение x+y=1, а нормаль (1,1,0). Это плоскость симметрии куба: отражение :(x,y,z)(1-y,1-x,z) переводит куб в себя, оставляет на месте B,D,B',D' и меняет местами A C, A' C'. **Уравнение плоскости pi.** Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормали. Если n=(alpha,beta,gamma) — нормаль к pi, то n*(1,1,0)=0, то есть alpha+beta=0. Отбрасывая вырожденный горизонтальный случай, возьмём n=(1,-1,t). Через точку D(0,1,0): pi: x-y+tz+1=0. Вектор n=(1,-1,t) имеет нулевую проекцию на (1,1,0), значит он лежит в плоскости BB'D'D, поэтому (n)=n; кроме того (D)=D. Следовательно (pi)=pi: **сечение симметрично относительно плоскости BB'D'D.** **Построение сечения.** В силу симметрии pi пересекает боковые рёбра AA' и CC' на одной высоте h: P=(0,0,h)in AA', S=(1,1,h)in CC'. Плоскость через три точки D,P,S имеет вид z=h(1+x-y). На нижней грани z=0 получаем 1+x-y=0, то есть y=x+1; внутри квадрата это лишь точка (0,1,0)=D — значит основания pi касается только в вершине D. На верхней грани z=1 имеем 1+x-y=1h, то есть прямую x-y=1h-1. Она пересекает рёбра A'B' и B'C' при условии 0<1h-1<1 12<h<1, в точках Q=(1h-1,0,1)in A'B', R=(1,2-1h,1)in B'C'. Ребро BB' плоскость встретила бы на высоте z=2h>1 — вне куба, поэтому лишних точек нет. Итак, сечение — пятиугольник DPQRS, стороны которого лежат на гранях x=0, y=0, z=1, x=1, y=1 соответственно. Введём обозначения q=1h-1, r=2-1h, q+r=1. **Длины сторон.** Прямой подсчёт даёт DP=SD=sqrt(1+h^2), PQ=RS=sqrt(q^2+(1-h)^2), QR=sqrt((1-q)^2+r^2)=r2 (в последнем равенстве использовано 1-q=r). Так как 1-h=qh, то PQ=sqrt(q^2+q^2h^2)=qsqrt(1+h^2)=q* DP, а поскольку q<1 при h>12, выходит PQ<DP. Далее, на (12,1) DP^2-QR^2=1+h^2-2(2-1h)^2>0 (равенство лишь в вырожденной точке h=1). Значит **две стороны при вершине D строго длиннее остальных**, и три равные стороны пятиугольника — это обязательно PQ=QR=RS. **Условие трёх равных сторон.** Равенство PQ=QR (тогда RS=PQ выполнено само) даёт qsqrt(1+h^2)=r2=(1-q)2, откуда, после возведения в квадрат, q^2(1+h^2)=2(1-q)^2, q=(1-h)/(h). * **Переформулировка вопроса.** Расстояние от точки до pi равно ( x-y+tz+1)/(sqrt(2+t^2)), где t=-1h. Числители для интересующих точек: - B'(1,0,1): 1-0-1h+1= 2-1h=r; - C'(1,1,1): 1-1-1h+1= 1-1h=1h-1=q. Знаменатель у обеих точек одинаков, поэтому (B')<(C') r<q (1-q)<q q>12 h<23. Таким образом всё сводится к вопросу: где лежит корень уравнения (*) — левее или правее h=23? **Локализация корня.** Рассмотрим (h)=q^2(1+h^2)-2(1-q)^2 при q=(1-h)/(h) (левая минус правая часть (*)). Искомая конфигурация отвечает корню (h)=0 на (12,1). Значения: (12)=1*(1+14)-2*0=54>0, (23)=14*(13)/(9)-2*14=(13)/(36)-12=-(5)/(36)<0. Функция непрерывна и меняет знак на (12,23), поэтому корень h_*in(12,23), то есть h_*<23. (Второго корня на (23,1) нет: (1)=-2<0, знак больше не возвращается, так что конфигурация единственна.) Следовательно r<q, и значит (B')<(C'). **Ответ.** Ближе к плоскости pi расположена точка B'. **Численная проверка.** Корень уравнения (*): h_*~0,648 (эквивалентно t~-1,543); при этом три равные стороны PQ=QR=RS~0,647, а две длинные DP=SD~1,192. Расстояния для единичного куба: (B')~0,219<(C')~0,259 — что подтверждает вывод.
Ближе к плоскости \(\pi\) расположена точка \(B'\) (её расстояние до \(\pi\) меньше, чем у точки \(C'\)).