Задача №18531

Решите уравнение $\sin (2x)+2\sin (3x)+\sin (4x)=\frac{2}{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}.$

Область допустимых значений

В правой части стоит $\mathrm{tg}\frac{x}{2}\text{,}$ поэтому нужно $\cos \frac{x}{2}\ne 0\text{,}$ то есть

Это ограничение существенно: после упрощений оно отсеет часть формальных решений, поэтому запомним его отдельно.

Преобразуем правую часть

Воспользуемся тождеством $1+{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}=\frac{1}{{\cos }^2\frac{x}{2}}$ (оно верно как раз в ОДЗ). Тогда

Здесь применена формула понижения степени $2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x\text{.}$

Преобразуем левую часть

Сгруппируем крайние слагаемые и применим формулу суммы синусов $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\text{:}$

Поэтому вся левая часть равна

Уравнение и разложение на множители

Уравнение принимает вид

откуда, перенося всё в одну сторону,

Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один множитель.

Первый множитель. $1+\cos x=0$ даёт $\cos x=-1\text{,}$ то есть $x=\pi +2\pi k\text{.}$ Но именно эти точки исключены из ОДЗ (в них $\mathrm{tg}\frac{x}{2}$ не определён). Значит, первый множитель не даёт ни одного решения.

Это ключевой момент отбора: формально множитель $1+\cos x$ обнуляется, однако в исходном уравнении правая часть в этих точках не существует, поэтому включать их нельзя.

Второй множитель. $2\sin 3x-1=0\text{,}$ то есть

Отсюда

и, деля на $3\text{,}$

Проверка ОДЗ

Осталось убедиться, что найденные решения не попадают в запрещённое множество $x=\pi +2\pi n\text{.}$ У всех решений второго множителя выполнено $\sin 3x=\frac{1}{2}\text{;}$ а в исключённых точках $x=\pi +2\pi n$ имеем $3x=3\pi +6\pi n$ и $\sin 3x=0\ne \frac{1}{2}\text{.}$ Следовательно, ни одна из точек серии $\sin 3x=\frac{1}{2}$ не совпадает с исключённой, и все найденные значения допустимы.

Ответ

Обе серии можно записать одной формулой:

Самопроверка. Тождества $\frac{2}{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}}=1+\cos x$ и $\sin 2x+2\sin 3x+\sin 4x=2\sin 3x(1+\cos x)$ подтверждены символьно. Численный скан исходного уравнения на промежутке $(-\pi ,3\pi )$ дал ровно корни $\frac{\pi }{18}+\frac{2\pi k}{3}$ и $\frac{5\pi }{18}+\frac{2\pi k}{3}\text{;}$ точек вида $x=\pi +2\pi n$ среди корней нет.