Решите уравнение sin(2x) + 2sin(3x) + sin(4x) = (2)/(1 + tg^2 (x)/(2)).
## Область допустимых значений В правой части стоит tg(x)/(2) , поэтому нужно cos(x)/(2)!= 0 , то есть (x)/(2)!= (pi)/(2)+pi n x!= pi + 2pi n, ninZ. Это ограничение существенно: после упрощений оно отсеет часть формальных решений, поэтому запомним его отдельно. ## Преобразуем правую часть Воспользуемся тождеством 1+tg^2(x)/(2)=(1)/(cos^2(x)/(2)) (оно верно как раз в ОДЗ). Тогда (2)/(1+tg^2x2) = 2cos^2(x)/(2) = 1+cos x. Здесь применена формула понижения степени 2cos^2(x)/(2)=1+cos x . ## Преобразуем левую часть Сгруппируем крайние слагаемые и применим формулу суммы синусов + = 2sin(alpha+beta)/(2)cos(alpha-beta)/(2) : sin 2x+sin 4x = 2sin 3xcos x. Поэтому вся левая часть равна sin 2x+2sin 3x+sin 4x = 2sin 3xcos x + 2sin 3x = 2sin 3x(cos x + 1). ## Уравнение и разложение на множители Уравнение принимает вид 2sin 3x(1+cos x) = 1+cos x, откуда, перенося всё в одну сторону, (1+cos x)(2sin 3x - 1) = 0. Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один множитель. **Первый множитель.** 1+cos x = 0 даёт cos x = -1 , то есть x = pi + 2pi k . Но именно эти точки исключены из ОДЗ (в них tg(x)/(2) не определён). Значит, первый множитель **не даёт ни одного решения**. Это ключевой момент отбора: формально множитель 1+cos x обнуляется, однако в исходном уравнении правая часть в этих точках не существует, поэтому включать их нельзя. **Второй множитель.** 2sin 3x - 1 = 0 , то есть sin 3x = (1)/(2). Отсюда 3x = (pi)/(6)+2pi k или 3x = (5pi)/(6)+2pi k, и, деля на 3 , x = (pi)/(18)+(2pi k)/(3) или x = (5pi)/(18)+(2pi k)/(3), kinZ. ## Проверка ОДЗ Осталось убедиться, что найденные решения не попадают в запрещённое множество x=pi+2pi n . У всех решений второго множителя выполнено sin 3x = (1)/(2) ; а в исключённых точках x=pi+2pi n имеем 3x = 3pi + 6pi n и sin 3x = 0 != (1)/(2) . Следовательно, ни одна из точек серии sin 3x=12 не совпадает с исключённой, и все найденные значения допустимы. ## Ответ x = (pi)/(18)+(2pi k)/(3) или x = (5pi)/(18)+(2pi k)/(3), kinZ. Обе серии можно записать одной формулой: x = (-1)^k(pi)/(18)+(pi k)/(3), kinZ. **Самопроверка.** Тождества (2)/(1+tg^2(x)/(2))=1+cos x и sin 2x+2sin 3x+sin 4x=2sin 3x(1+cos x) подтверждены символьно. Численный скан исходного уравнения на промежутке (-pi,3pi) дал ровно корни (pi)/(18)+(2pi k)/(3) и (5pi)/(18)+(2pi k)/(3) ; точек вида x=pi+2pi n среди корней нет.