Найдите все значения x из интервала (0, (pi)/(2)) , при которых справедливо неравенство 4sin^2 x + ctg^2 x - (4)/(4cos^2 x + tg^2 x + 1) 2.
## Условие Найти все x in (0, (pi)/(2)) , при которых 4sin^2 x + ctg^2 x - (4)/(4cos^2 x + tg^2 x + 1) 2. ## Область определения На интервале (0, (pi)/(2)) выполнено sin x > 0 и cos x > 0 , поэтому tg x , ctg x определены, а знаменатель 4cos^2 x + tg^2 x + 1 > 0 . Все выражения корректны на всём интервале, дополнительных ограничений нет. ## Идея: собрать всё в одну дробь и увидеть полные квадраты Покажем, что левая часть **всегда не меньше** 2 , а равенство достигается ровно в одной точке. Тогда неравенство 2 превращается в равенство и выделяет единственное значение x . **Шаг 1. Упростим знаменатель.** Пользуясь tg^2 x = (sin^2 x)/(cos^2 x) и sin^2 x + cos^2 x = 1 : 4cos^2 x + tg^2 x + 1 = (4cos^4 x + sin^2 x + cos^2 x)/(cos^2 x) = (4cos^4 x + 1)/(cos^2 x). Поэтому (4)/(4cos^2 x + tg^2 x + 1) = (4cos^2 x)/(4cos^4 x + 1). **Шаг 2. Оценим разность левой части и двойки.** Разобьём число 2 на слагаемые 3 и -1 и сгруппируем: ЛЧ - 2 = (4sin^2 x + ctg^2 x - 3)_(P) + (1 - (4cos^2 x)/(4cos^4 x + 1))_(Q). Преобразуем каждую группу. Для P обозначим u = sin^2 x in (0,1) , тогда ctg^2 x = (cos^2 x)/(sin^2 x) = (1-u)/(u) , и P = 4u + (1-u)/(u) - 3 = 4u + (1)/(u) - 4 = (4u^2 - 4u + 1)/(u) = ((2u-1)^2)/(u) = ((2sin^2 x - 1)^2)/(sin^2 x). Для Q приведём к общему знаменателю: Q = (4cos^4 x + 1 - 4cos^2 x)/(4cos^4 x + 1) = ((2cos^2 x - 1)^2)/(4cos^4 x + 1). **Шаг 3. Учтём, что оба числителя равны cos^2 2x .** Действительно, 2cos^2 x - 1 = cos 2x и 2sin^2 x - 1 = -cos 2x , поэтому (2sin^2 x - 1)^2 = (2cos^2 x - 1)^2 = cos^2 2x . Складывая P и Q , получаем компактное тождество ЛЧ - 2 = cos^2 2x((1)/(sin^2 x) + (1)/(4cos^4 x + 1)). ## Вывод Множитель в скобках строго положителен на всём интервале (сумма двух положительных дробей), а cos^2 2x 0 . Значит, ЛЧ - 2 0, то есть ЛЧ 2, причём равенство (а с ним и исходное неравенство 2 ) возможно **только** при cos 2x = 0 . На интервале x in (0, (pi)/(2)) имеем 2x in (0, pi) , и уравнение cos 2x = 0 даёт единственное решение 2x = (pi)/(2) , то есть x = (pi)/(4). **Проверка.** При x = (pi)/(4) : 4sin^2 x + ctg^2 x = 4*(1)/(2) + 1 = 3 , знаменатель 4*(1)/(2) + 1 + 1 = 4 , и левая часть равна 3 - (4)/(4) = 2 . Неравенство обращается в равенство — значение подходит. Во всех прочих точках интервала левая часть строго больше 2 . ## Ответ x = (pi)/(4).