Задача №18533

Найдите все значения $x$ из интервала $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ при которых справедливо неравенство

$$4{\sin }^{2}x+{\mathrm{ctg}}^{2}x-\frac{4}{4{\cos }^{2}x+{\mathrm{tg}}^{2}x+1}⩽2.$$

Условие

Найти все $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ при которых

$$4{\sin }^{2}x+{\mathrm{ctg}}^{2}x-\frac{4}{4{\cos }^{2}x+{\mathrm{tg}}^{2}x+1}⩽2.$$

Область определения

На интервале $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ выполнено $\sin x>0$ и $\cos x>0\text{,}$ поэтому $\mathrm{tg}x\text{,}$ $\mathrm{ctg}x$ определены, а знаменатель $4{\cos }^{2}x+{\mathrm{tg}}^{2}x+1>0\text{.}$ Все выражения корректны на всём интервале, дополнительных ограничений нет.

Идея: собрать всё в одну дробь и увидеть полные квадраты

Покажем, что левая часть всегда не меньше $2\text{,}$ а равенство достигается ровно в одной точке. Тогда неравенство $⩽2$ превращается в равенство и выделяет единственное значение $x\text{.}$

Шаг 1. Упростим знаменатель. Пользуясь ${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$ и ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\text{:}$

$$4{\cos }^{2}x+{\mathrm{tg}}^{2}x+1=\frac{4{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{4{\cos }^{4}x+1}{{\cos }^{2}x}.$$

Поэтому

$$\frac{4}{4{\cos }^{2}x+{\mathrm{tg}}^{2}x+1}=\frac{4{\cos }^{2}x}{4{\cos }^{4}x+1}.$$

Шаг 2. Оценим разность левой части и двойки. Разобьём число $2$ на слагаемые $3$ и $-1$ и сгруппируем:

$$\text{ЛЧ}-2=\underset{P}{\underbrace{\left(4{\sin }^{2}x+{\mathrm{ctg}}^{2}x-3\right)}}+\underset{Q}{\underbrace{\left(1-\frac{4{\cos }^{2}x}{4{\cos }^{4}x+1}\right)}}.$$

Преобразуем каждую группу.

Для $P$ обозначим $u={\sin }^{2}x\in (0,1)\text{,}$ тогда ${\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1-u}{u}\text{,}$ и

$$P=4u+\frac{1-u}{u}-3=4u+\frac{1}{u}-4=\frac{4u^2-4u+1}{u}=\frac{(2u-1{)}^2}{u}=\frac{(2{\sin }^{2}x-1{)}^2}{{\sin }^{2}x}.$$

Для $Q$ приведём к общему знаменателю:

$$Q=\frac{4{\cos }^{4}x+1-4{\cos }^{2}x}{4{\cos }^{4}x+1}=\frac{(2{\cos }^{2}x-1{)}^2}{4{\cos }^{4}x+1}.$$

Шаг 3. Учтём, что оба числителя равны ${\cos }^{2}2x\text{.}$ Действительно, $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$ и $2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x\text{,}$ поэтому $(2{\sin }^{2}x-1{)}^2=(2{\cos }^{2}x-1{)}^2={\cos }^{2}2x\text{.}$ Складывая $P$ и $Q\text{,}$ получаем компактное тождество

$$\text{ЛЧ}-2={\cos }^{2}2x\left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{4{\cos }^{4}x+1}\right).$$

Вывод

Множитель в скобках строго положителен на всём интервале (сумма двух положительных дробей), а ${\cos }^{2}2x⩾0\text{.}$ Значит,

$$\text{ЛЧ}-2⩾0,\text{то есть}\text{ЛЧ}⩾2,$$

причём равенство (а с ним и исходное неравенство $⩽2$) возможно только при $\cos 2x=0\text{.}$

На интервале $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ имеем $2x\in (0,\pi )\text{,}$ и уравнение $\cos 2x=0$ даёт единственное решение $2x=\frac{\pi }{2}\text{,}$ то есть

$$x=\frac{\pi }{4}.$$

Проверка. При $x=\frac{\pi }{4}\text{:}$ $4{\sin }^{2}x+{\mathrm{ctg}}^{2}x=4\cdot \frac{1}{2}+1=3\text{,}$ знаменатель $4\cdot \frac{1}{2}+1+1=4\text{,}$ и левая часть равна $3-\frac{4}{4}=2\text{.}$ Неравенство обращается в равенство — значение подходит. Во всех прочих точках интервала левая часть строго больше $2\text{.}$

Ответ

$$x=\frac{\pi }{4}.$$