Решите неравенство _5 x * (x^(_3 4) - 16) _6 x * (2^(_3 x) - 4).
**Область определения.** Логарифмы _5 x, _6 x требуют x>0 ; степени x^(_3 4) и 2^(_3 x) при x>0 определены. Значит ОДЗ: x>0 . **Приведение показательных выражений к одной переменной.** Воспользуемся тождеством a^(_b c)=c^(_b a) . В частности, x^(_3 4) = 4^(_3 x), поскольку обе части равны 3^(_3 4*_3 x) . Обозначим u = 2^(_3 x). При x>0 всегда u>0 . Тогда x^(_3 4) = 4^(_3 x) = (2^(_3 x))^2 = u^2, 2^(_3 x) = u. Поэтому оба множителя в скобках выражаются через u : x^(_3 4)-16 = u^2-16=(u-4)(u+4), 2^(_3 x)-4 = u-4. **Перенос в одну сторону и вынесение общего множителя.** Неравенство принимает вид _5 x(u-4)(u+4) _6 x(u-4), откуда (u-4)[_5 x(u+4)-_6 x] 0. Выразим логарифмы через натуральный: _5 x=(ln x)/(ln 5) , _6 x=(ln x)/(ln 6) . Тогда квадратная скобка равна ln x[(u+4)/(ln 5)-(1)/(ln 6)]. Итак, неравенство эквивалентно (u-4)* ln x*[(u+4)/(ln 5)-(1)/(ln 6)]_(P) 0. **Знак множителя P .** Так как u>0 , то u+4>4 , и (u+4)/(ln 5) > (4)/(ln 5) ~ 2,49, (1)/(ln 6)~ 0,56. Поэтому P>0 при всех допустимых x . Значит множитель P на знак неравенства не влияет, и оно равносильно (u-4)* ln x 0. **Разбор знаков.** Определим знаки сомножителей на x>0 . Множитель ln x : отрицателен при 0<x<1 , равен нулю при x=1 , положителен при x>1 . Множитель u-4 = 2^(_3 x)-4 : так как 2^(t) возрастает, 2^(_3 x)-4 0 _3 x 2 x 9. Значит u-4 отрицателен при 0<x<9 , равен нулю при x=9 , положителен при x>9 . Перемножим знаки по промежуткам: | Промежуток | ln x | u-4 | Произведение | |---|---|---|---| | 0<x<1 | - | - | + | | x=1 | 0 | - | 0 | | 1<x<9 | + | - | - | | x=9 | + | 0 | 0 | | x>9 | + | + | + | Условие (u-4)ln x 0 выполнено на (0;1] и на [9;+inf) . **Проверка граничных точек.** При x=1 обе части исходного неравенства равны нулю ( _5 1=_6 1=0 ), значит 0 0 — верно. При x=9 : 9^(_3 4)=(3^2)^(_3 4)=4^2=16 , поэтому левый множитель 16-16=0 ; одновременно 2^(_3 9)-4=2^2-4=0 , и снова 0 0 — верно. Обе точки включаются. Численная проверка подстановкой подтверждает результат: например, x=0,5 и x=27 неравенству удовлетворяют, а x=3 и x=8 — нет. **Ответ.** x in (0;1] U [9;+inf).
\( x \in (0;\,1] \cup [9;\,+\infty) \).