Задача №18530

Решите неравенство ${\log }_{5}x\cdot \left(x^{{\log }_{3}4}-16\right)⩾{\log }_{6}x\cdot \left(2^{{\log }_{3}x}-4\right).$

Область определения. Логарифмы ${\log }_{5}x,{\log }_{6}x$ требуют $x>0\text{;}$ степени $x^{{\log }_{3}4}$ и $2^{{\log }_{3}x}$ при $x>0$ определены. Значит ОДЗ: $x>0\text{.}$

Приведение показательных выражений к одной переменной. Воспользуемся тождеством $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}\text{.}$ В частности,

поскольку обе части равны $3^{{\log }_{3}4\cdot {\log }_{3}x}\text{.}$ Обозначим

При $x>0$ всегда $u>0\text{.}$ Тогда

Поэтому оба множителя в скобках выражаются через $u\text{:}$

Перенос в одну сторону и вынесение общего множителя. Неравенство принимает вид

откуда

Выразим логарифмы через натуральный: ${\log }_{5}x=\frac{\ln x}{\ln 5}\text{,}$ ${\log }_{6}x=\frac{\ln x}{\ln 6}\text{.}$ Тогда квадратная скобка равна

Итак, неравенство эквивалентно

Знак множителя $P\text{.}$ Так как $u>0\text{,}$ то $u+4>4\text{,}$ и

Поэтому $P>0$ при всех допустимых $x\text{.}$ Значит множитель $P$ на знак неравенства не влияет, и оно равносильно

Разбор знаков. Определим знаки сомножителей на $x>0\text{.}$

Множитель $\ln x\text{:}$ отрицателен при $0<x<1\text{,}$ равен нулю при $x=1\text{,}$ положителен при $x>1\text{.}$

Множитель $u-4=2^{{\log }_{3}x}-4\text{:}$ так как $2^t$ возрастает,

Значит $u-4$ отрицателен при $0<x<9\text{,}$ равен нулю при $x=9\text{,}$ положителен при $x>9\text{.}$

Перемножим знаки по промежуткам:

Условие $(u-4)\ln x⩾0$ выполнено на $(0;1]$ и на $[9;+\infty )\text{.}$

Проверка граничных точек. При $x=1$ обе части исходного неравенства равны нулю (${\log }_{5}1={\log }_{6}1=0$), значит $0⩾0$ — верно. При $x=9\text{:}$ $9^{{\log }_{3}4}=(3^2{)}^{{\log }_{3}4}=4^2=16\text{,}$ поэтому левый множитель $16-16=0\text{;}$ одновременно $2^{{\log }_{3}9}-4=2^2-4=0\text{,}$ и снова $0⩾0$ — верно. Обе точки включаются.

Численная проверка подстановкой подтверждает результат: например, $x=0,5$ и $x=27$ неравенству удовлетворяют, а $x=3$ и $x=8$ — нет.

Ответ.