Задача №18528

Найдите значение выражения $\frac{p(x)}{p\left(\frac{1}{x}\right)}$ при $x=\frac{13}{181}\text{,}$ если $p(x)=\frac{(x^2+\sqrt{5})(\sqrt{5}{x}^2+1)}{x^2}\text{.}$

Идея. Значение $x=\frac{13}{181}$ намеренно "неудобное": прямая подстановка привела бы к громоздким вычислениям с иррациональностями. Разумно сначала упростить само выражение $\frac{p(x)}{p\left(\frac{1}{x}\right)}$ в общем виде и лишь потом смотреть, зависит ли оно от конкретного $x\text{.}$

Область определения. В функции $p(x)=\frac{(x^2+\sqrt{5})(\sqrt{5}{x}^2+1)}{x^2}$ знаменатель $x^2$ требует $x\ne 0\text{;}$ в выражении участвует ещё и $p\left(\frac{1}{x}\right)\text{,}$ поэтому величина $\frac{1}{x}$ тоже должна быть определена, что снова даёт $x\ne 0\text{.}$ Заданное значение $x=\frac{13}{181}\ne 0$ в область определения входит.

Вычислим $p\left(\frac{1}{x}\right)\text{.}$ Подставим $\frac{1}{x}$ вместо аргумента. Поскольку ${\left(\frac{1}{x}\right)}^2=\frac{1}{x^2}\text{,}$ получаем

Приведём каждую скобку к общему знаменателю $x^2\text{:}$

Тогда числитель дроби равен $\frac{(1+\sqrt{5}{x}^2)(\sqrt{5}+x^2)}{x^4}\text{,}$ а деление на $\frac{1}{x^2}$ равносильно умножению на $x^2\text{:}$

Сравнение с $p(x)\text{.}$ По условию

Отличие лишь в порядке множителей и слагаемых внутри скобок: $x^2+\sqrt{5}=\sqrt{5}+x^2$ и $\sqrt{5}{x}^2+1=1+\sqrt{5}{x}^2\text{.}$ Значит, числители совпадают, и

Иначе говоря, функция $p$ симметрична относительно замены $x\to \frac{1}{x}\text{.}$

Вывод. Для любого $x\ne 0$

так как числитель и знаменатель равны (а $p(x)\ne 0\text{:}$ при $x\ne 0$ множители $x^2+\sqrt{5}>0$ и $\sqrt{5}{x}^2+1>0\text{,}$ поэтому деление корректно). В частности, при $x=\frac{13}{181}$ значение выражения тоже равно $1$ — конкретная величина $x$ на ответ не влияет.

Проверка. Символьное упрощение (sympy) даёт $\frac{p(x)}{p(1/x)}=1$ тождественно; прямая численная подстановка $x=\frac{13}{181}$ также возвращает $1,0\text{.}$

Ответ: $1\text{.}$