Найдите значение выражения (p(x))/(p((1)/(x))) при x = (13)/(181) , если p(x) = ((x^2 + sqrt(5))(sqrt(5)x^2 + 1))/(x^2) .
**Идея.** Значение x=(13)/(181) намеренно "неудобное": прямая подстановка привела бы к громоздким вычислениям с иррациональностями. Разумно сначала упростить само выражение (p(x))/(p(1x)) в общем виде и лишь потом смотреть, зависит ли оно от конкретного x . **Область определения.** В функции p(x)=((x^2+5)(5x^2+1))/(x^2) знаменатель x^2 требует x!= 0 ; в выражении участвует ещё и p(1x) , поэтому величина 1x тоже должна быть определена, что снова даёт x!= 0 . Заданное значение x=(13)/(181)!= 0 в область определения входит. **Вычислим p(1x) .** Подставим 1x вместо аргумента. Поскольку (1x)^2=(1)/(x^2) , получаем p(1x)=(((1)/(x^2)+5)((5)/(x^2)+1))/((1)/(x^2)). Приведём каждую скобку к общему знаменателю x^2 : (1)/(x^2)+5=(1+5x^2)/(x^2), (5)/(x^2)+1=(5+x^2)/(x^2). Тогда числитель дроби равен ((1+5x^2)(5+x^2))/(x^4) , а деление на (1)/(x^2) равносильно умножению на x^2 : p(1x)=((1+5x^2)(5+x^2))/(x^4)* x^2=((1+5x^2)(5+x^2))/(x^2). **Сравнение с p(x) .** По условию p(x)=((x^2+5)(5x^2+1))/(x^2). Отличие лишь в порядке множителей и слагаемых внутри скобок: x^2+5=5+x^2 и 5x^2+1=1+5x^2 . Значит, числители совпадают, и p(1x)=p(x). Иначе говоря, функция p симметрична относительно замены x1x . **Вывод.** Для любого x!= 0 (p(x))/(p(1x))=1, так как числитель и знаменатель равны (а p(x)!= 0 : при x0 множители x^2+5>0 и 5x^2+1>0 , поэтому деление корректно). В частности, при x=(13)/(181) значение выражения тоже равно 1 — конкретная величина x на ответ не влияет. **Проверка.** Символьное упрощение (sympy) даёт (p(x))/(p(1/x))=1 тождественно; прямая численная подстановка x=(13)/(181) также возвращает 1,0 . **Ответ:** 1 .
\(1\)