Задача №18532

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности ${\Omega }_1$ с центром в точке $O\text{.}$ Через точку $A$ провели окружность ${\Omega }_2$ с центром в точке $B\text{.}$ Точку пересечения окружностей ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2\text{,}$ отличную от точки $A\text{,}$ обозначили через $C\text{.}$ Через точку $C$ провели окружность ${\Omega }_3$ с центром в точке $A\text{.}$ Точку пересечения окружностей ${\Omega }_2$ и ${\Omega }_3\text{,}$ отличную от точки $C\text{,}$ обозначили через $D\text{.}$ Найдите угол $OAD\text{.}$

Обозначения и исходные равенства

Выпишем радиусы всех трёх окружностей — на них держится всё решение.

• Окружность ${\Omega }_1$ имеет центр $O\text{.}$ Точки $A$ и $B$ лежат на ней, а точка $C$ — пересечение ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ — тоже лежит на ${\Omega }_1\text{.}$ Значит,

• Окружность ${\Omega }_2$ имеет центр $B$ и проходит через $A\text{,}$ то есть её радиус равен $BA\text{.}$ На ней лежат точки $A\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{,}$ поэтому

• Окружность ${\Omega }_3$ имеет центр $A$ и проходит через $C\text{,}$ то есть её радиус равен $AC\text{.}$ На ней лежат $C$ и $D\text{,}$ поэтому

Покажем, что угол $OAD$ прямой независимо от того, как выбраны точки $A$ и $B$ на ${\Omega }_1\text{.}$

Шаг 1. ${\Omega }_1$ — описанная окружность треугольника $ABC$

Из $OA=OB=OC=R$ следует, что точка $O$ равноудалена от вершин $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{.}$ Значит, $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC\text{,}$ а сама эта описанная окружность и есть ${\Omega }_1\text{.}$

Шаг 2. Треугольник $ABC$ равнобедренный

Так как $BA=BC$ (обе величины — радиус ${\Omega }_2$), треугольник $ABC$ равнобедренный с вершиной $B\text{.}$ Углы при основании $AC$ равны:

Шаг 3. Точка $D$ симметрична $C$ относительно прямой $AB$

Точки $C$ и $D$ — это две точки пересечения окружностей ${\Omega }_2$ (центр $B$) и ${\Omega }_3$ (центр $A$). Две пересекающиеся окружности симметричны относительно линии их центров, а вместе с ними симметрична и пара точек пересечения. Линия центров здесь — прямая $AB\text{.}$ Следовательно, $D$ — образ $C$ при отражении относительно прямой $AB\text{.}$

Отсюда сразу:

• луч $AD$ составляет с $AB$ такой же угол, как луч $AC\text{:}$

• точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $AB\text{.}$

(Заодно отражение подтверждает уже известные равенства $AD=AC$ и $BD=BC\text{.}$)

Шаг 4. Прямая $AD$ касается ${\Omega }_1$ в точке $A$

Соберём равенства $(1)$ и $(2)\text{:}$

Таким образом, угол между лучом $AD$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $\angle ACB\text{,}$ опирающемуся на ту же хорду $AB\text{;}$ при этом точка $C$ лежит по другую сторону от $AB\text{,}$ чем луч $AD\text{,}$ то есть в дополнительном сегменте.

Это в точности условие обратной теоремы об угле между касательной и хордой: если прямая, проведённая через точку $A$ окружности, образует с хордой $AB$ угол, равный вписанному углу, опирающемуся на $AB$ из противоположного сегмента, то эта прямая — касательная. Значит, прямая $AD$ касается описанной окружности ${\Omega }_1$ в точке $A\text{.}$

Шаг 5. Заключение

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Радиус $OA$ окружности ${\Omega }_1$ проведён как раз в точку касания $A\text{,}$ а касательная — это прямая $AD\text{.}$ Поэтому

Проверка (независимость от выбора точек и прямой счёт углов)

Пусть $\angle AOB=\alpha$ — центральный угол, отвечающий хорде $AB$ (он может быть любым, $0<\alpha <180^{\circ }$). Проведём независимый подсчёт.

• Треугольник $OAB$ равнобедренный ($OA=OB$), поэтому

• Точка $C$ симметрична $A$ относительно линии центров $OB$ окружностей ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2\text{.}$ Луч $BO$ лежит внутри угла $ABC\text{,}$ поэтому $\angle ABC=2\angle ABO=180^{\circ }-\alpha \text{,}$ и из равнобедренности $BA=BC$ получаем

• По шагу 3 $\angle BAD=\angle BAC=\frac{\alpha }{2}\text{,}$ причём луч $AD$ и луч $AO$ лежат по разные стороны от $AB$ (точки $O$ и $C$ — по одну сторону, а $D$ — по другую). Поэтому углы складываются:

Ответ не зависит от $\alpha \text{.}$ Дополнительно результат подтверждён координатным расчётом: при размещении $O=(0,0)\text{,}$ $B=(R,0)\text{,}$ $A=(R\cos \alpha ,R\sin \alpha )$ и построении точек $C\text{,}$ $D$ по условию для всех $\alpha$ от $20^{\circ }$ до $170^{\circ }$ получается $\angle OAD=90^{\circ }$ и $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AD}=0\text{,}$ что согласуется с тем, что $AD$ — касательная к ${\Omega }_1$ в точке $A\text{.}$

Ответ