Точки A и B лежат на окружности _1 с центром в точке O . Через точку A провели окружность _2 с центром в точке B . Точку пересечения окружностей _1 и _2 , отличную от точки A , обозначили через C . Через точку C провели окружность _3 с центром в точке A . Точку пересечения окружностей _2 и _3 , отличную от точки C , обозначили через D . Найдите угол OAD .
## Обозначения и исходные равенства Выпишем радиусы всех трёх окружностей — на них держится всё решение. - Окружность _1 имеет центр O. Точки A и B лежат на ней, а точка C — пересечение _1 и _2 — тоже лежит на _1. Значит, OA=OB=OC=R. - Окружность _2 имеет центр B и проходит через A, то есть её радиус равен BA. На ней лежат точки A, C, D, поэтому BA=BC=BD. - Окружность _3 имеет центр A и проходит через C, то есть её радиус равен AC. На ней лежат C и D, поэтому AC=AD. Покажем, что угол OAD прямой независимо от того, как выбраны точки A и B на _1. ## Шаг 1. _1 — описанная окружность треугольника ABC Из OA=OB=OC=R следует, что точка O равноудалена от вершин A, B, C. Значит, O — центр описанной окружности треугольника ABC, а сама эта описанная окружность и есть _1. ## Шаг 2. Треугольник ABC равнобедренный Так как BA=BC (обе величины — радиус _2), треугольник ABC равнобедренный с вершиной B. Углы при основании AC равны: CAB= ACB. 1 ## Шаг 3. Точка D симметрична C относительно прямой AB Точки C и D — это две точки пересечения окружностей _2 (центр B) и _3 (центр A). Две пересекающиеся окружности симметричны относительно линии их центров, а вместе с ними симметрична и пара точек пересечения. Линия центров здесь — прямая AB. Следовательно, D — образ C при отражении относительно прямой AB. Отсюда сразу: - луч AD составляет с AB такой же угол, как луч AC: DAB= CAB; 2 - точки C и D лежат по разные стороны от прямой AB. (Заодно отражение подтверждает уже известные равенства AD=AC и BD=BC.) ## Шаг 4. Прямая AD касается _1 в точке A Соберём равенства (1) и (2): DAB= CAB= ACB. Таким образом, угол между лучом AD и хордой AB равен вписанному углу ACB, опирающемуся на ту же хорду AB; при этом точка C лежит по другую сторону от AB, чем луч AD, то есть в дополнительном сегменте. Это в точности условие обратной теоремы об угле между касательной и хордой: если прямая, проведённая через точку A окружности, образует с хордой AB угол, равный вписанному углу, опирающемуся на AB из противоположного сегмента, то эта прямая — касательная. Значит, прямая AD касается описанной окружности _1 в точке A. ## Шаг 5. Заключение Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Радиус OA окружности _1 проведён как раз в точку касания A, а касательная — это прямая AD. Поэтому OAD=90^. ## Проверка (независимость от выбора точек и прямой счёт углов) Пусть AOB=alpha — центральный угол, отвечающий хорде AB (он может быть любым, 0<alpha<180^). Проведём независимый подсчёт. - Треугольник OAB равнобедренный (OA=OB), поэтому OAB=90^-(alpha)/(2). - Точка C симметрична A относительно линии центров OB окружностей _1 и _2. Луч BO лежит внутри угла ABC, поэтому ABC=2 ABO=180^-alpha, и из равнобедренности BA=BC получаем BAC=(alpha)/(2). - По шагу 3 BAD= BAC=(alpha)/(2), причём луч AD и луч AO лежат по разные стороны от AB (точки O и C — по одну сторону, а D — по другую). Поэтому углы складываются: OAD= OAB+ BAD=(90^-(alpha)/(2))+(alpha)/(2)=90^. Ответ не зависит от alpha. Дополнительно результат подтверждён координатным расчётом: при размещении O=(0,0), B=(R,0), A=(R, R) и построении точек C, D по условию для всех alpha от 20^ до 170^ получается OAD=90^ и AO*AD=0, что согласуется с тем, что AD — касательная к _1 в точке A. ## Ответ OAD=90^.