Числа a_k заданы соотношением a_k = (2 + (-1)^k)/(3^k) при всех натуральных k ; числа b_n вычисляются по формуле b_n = (a_1 + + a_n)/(n) при всех натуральных n . Сравните числа a_3 и 100 b_(2025) .
## Что дано Последовательность задана формулой a_k=(2+(-1)^k)/(3^k), k=1,2,3, а числа b_n -- это средние арифметические первых n членов: b_n=(a_1+a_2++a_n)/(n). Нужно сравнить a_3 и 100b_(2025) . ## Шаг 1. Значение a_3 При k=3 знак (-1)^k отрицателен, поэтому a_3=(2+(-1)^3)/(3^3)=(2-1)/(27)=(1)/(27). ## Шаг 2. Сумма первых n членов Разобьём общий член на две геометрические части. Заметим, что a_k=(2+(-1)^k)/(3^k)=(2)/(3^k)+((-1)^k)/(3^k)=2(13)^k+(-13)^k. Значит, сумма S_n=a_1++a_n распадается на две суммы геометрических прогрессий. Первая прогрессия имеет первый член 13 и знаменатель 13 : _(k=1)^(n)(13)^k=(13(1-(13)^n))/(1-13)=12(1-3^(-n)). Вторая прогрессия имеет первый член -13 и знаменатель -13 : _(k=1)^(n)(-13)^k=(-13(1-(-13)^n))/(1-(-13))=-14(1-(-13)^n). Поэтому S_n=2*12(1-3^(-n))-14(1-(-13)^n)=34-3^(-n)+14(-13)^n. ## Шаг 3. Подставляем n=2025 Число 2025 нечётное, поэтому (-13)^(2025)=-3^(-2025) . Тогда S_(2025)=34-3^(-2025)+14(-3^(-2025))=34-54* 3^(-2025). Отсюда b_(2025)=(S_(2025))/(2025)=(1)/(2025)(34-54* 3^(-2025)). ## Шаг 4. Вычисляем 100b_(2025) Заметим, что (100)/(2025)=(4)/(81) (сократили на 25 , ведь 2025=81* 25 ). Поэтому 100b_(2025)=(4)/(81)(34-54* 3^(-2025))=(3)/(81)-(5)/(81)* 3^(-2025)=(1)/(27)-(5)/(81)* 3^(-2025). ## Шаг 5. Сравнение Мы получили 100b_(2025)=(1)/(27)-(5)/(81)* 3^(-2025)=a_3-(5)/(81)* 3^(-2025). Вычитаемое строго положительно, значит 100b_(2025) меньше a_3 . Точная разность равна a_3-100b_(2025)=(5)/(81)* 3^(-2025)=(5)/(3^(4)* 3^(2025))=(5)/(3^(2029))>0. **Ответ:** a_3>100b_(2025) ; разность составляет (5)/(3^(2029)) .
\( a_3 > 100\,b_{2025} \). Точнее, \( a_3 - 100\,b_{2025} = \dfrac{5}{3^{2029}} > 0 \).