Задача №18529

Числа $a_k$ заданы соотношением $a_k=\frac{2+(-1{)}^k}{3^k}$ при всех натуральных $k\text{;}$ числа $b_n$ вычисляются по формуле $b_n=\frac{a_1+\dots +a_n}{n}$ при всех натуральных $n\text{.}$ Сравните числа $a_3$ и $100b_{2025}\text{.}$

Что дано

Последовательность задана формулой

а числа $b_n$ — это средние арифметические первых $n$ членов:

Нужно сравнить $a_3$ и $100b_{2025}\text{.}$

Шаг 1. Значение $a_3$

При $k=3$ знак $(-1{)}^k$ отрицателен, поэтому

Шаг 2. Сумма первых $n$ членов

Разобьём общий член на две геометрические части. Заметим, что

Значит, сумма $S_n=a_1+\dots +a_n$ распадается на две суммы геометрических прогрессий.

Первая прогрессия имеет первый член $\frac{1}{3}$ и знаменатель $\frac{1}{3}\text{:}$

Вторая прогрессия имеет первый член $-\frac{1}{3}$ и знаменатель $-\frac{1}{3}\text{:}$

Поэтому

Шаг 3. Подставляем $n=2025$

Число $2025$ нечётное, поэтому ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^{2025}=-3^{-2025}\text{.}$ Тогда

Отсюда

Шаг 4. Вычисляем $100b_{2025}$

Заметим, что $\frac{100}{2025}=\frac{4}{81}$ (сократили на $25\text{,}$ ведь $2025=81\cdot 25$). Поэтому

Шаг 5. Сравнение

Мы получили

Вычитаемое строго положительно, значит $100b_{2025}$ меньше $a_3\text{.}$ Точная разность равна

Ответ: $a_3>100b_{2025}\text{;}$ разность составляет $\frac{5}{3^{2029}}\text{.}$