58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T107d,Нужно одновременно выполнить два требования: все три функции должны быть определены и хотя бы одна из них должна обращаться в нуль. Поэтому сначала найдём **общую область определения** (пересечение трёх условий), а затем выберем из неё те точки, где обнуляется хотя бы одна функция. **Условия определённости.** 1) Для $y=\sqrt{11+24x-17x^2}$ нужно $11+24x-17x^2\geqslant 0$. Корни квадратного трёхчлена находим по формуле: \[x=\frac{-24\pm\sqrt{24^2+4\cdot17\cdot11}}{2\cdot(-17)}=\frac{24\mp\sqrt{576+748}}{34}=\frac{24\mp\sqrt{1324}}{34}=\frac{12\mp\sqrt{331}}{17},\] поскольку $1324=4\cdot331$ и $\sqrt{1324}=2\sqrt{331}$. Старший коэффициент $-17<0$, поэтому трёхчлен неотрицателен между корнями: \[11+24x-17x^2\geqslant 0\iff \frac{12-\sqrt{331}}{17}\leqslant x\leqslant \frac{12+\sqrt{331}}{17}.\] Численно $\dfrac{12-\sqrt{331}}{17}\approx-0{,}364$ и $\dfrac{12+\sqrt{331}}{17}\approx1{,}776$. 2) Для $y=\arccos\left(x^2-2x+1\right)$ нужно, чтобы аргумент лежал в отрезке $[-1,1]$. Заметим, что $x^2-2x+1=(x-1)^2\geqslant 0$, так что левая граница $-1$ выполнена автоматически. Остаётся \[(x-1)^2\leqslant 1\iff |x-1|\leqslant 1\iff 0\leqslant x\leqslant 2.\] 3) Для $y=\log_3\left(x^2\right)$ нужно $x^2>0$, то есть $x\neq 0$. **Пересечение.** Совмещая три условия, получаем \[\left[\frac{12-\sqrt{331}}{17},\ \frac{12+\sqrt{331}}{17}\right]\cap[0,2]\cap\{x\neq 0\}.\] Так как $\dfrac{12-\sqrt{331}}{17}<0$ и $\dfrac{12+\sqrt{331}}{17}\approx1{,}776<2$, пересечение первых двух отрезков есть $\left[0,\ \dfrac{12+\sqrt{331}}{17}\right]$; выбрасывая точку $x=0$, приходим к общей области определения \[D=\left(0,\ \frac{12+\sqrt{331}}{17}\right].\] **Нули функций.** Теперь найдём, где каждая функция обращается в нуль, и отберём попадающие в $D$. - Корень: $\sqrt{11+24x-17x^2}=0\iff 11+24x-17x^2=0\iff x=\dfrac{12-\sqrt{331}}{17}$ или $x=\dfrac{12+\sqrt{331}}{17}$. Первый корень отрицателен и не входит в $D$; второй есть правый конец $D$ и принадлежит $D$. Значит, подходит $x=\dfrac{12+\sqrt{331}}{17}$. - Арккосинус: $\arccos\left((x-1)^2\right)=0\iff (x-1)^2=1\iff x=0$ или $x=2$. Точка $x=0$ исключена из $D$ (там не определён логарифм), а $x=2\notin D$, поскольку $2>\dfrac{12+\sqrt{331}}{17}$. Новых решений нет. - Логарифм: $\log_3\left(x^2\right)=0\iff x^2=1\iff x=1$ или $x=-1$. Точка $x=-1\notin D$, а $x=1\in D$, так как $0<1\leqslant\dfrac{12+\sqrt{331}}{17}$. Значит, подходит $x=1$. **Проверка отобранных точек на принадлежность $D$.** При $x=1$: подкоренное выражение $11+24-17=18\geqslant 0$; аргумент арккосинуса $(1-1)^2=0\in[-1,1]$; $x=1\neq 0$ — все функции определены. При этом $\log_3(1)=0$. При $x=\dfrac{12+\sqrt{331}}{17}$: по построению это правый конец отрезка, где $11+24x-17x^2=0\geqslant 0$; аргумент арккосинуса $(x-1)^2\approx0{,}602\in[-1,1]$; $x\neq 0$ — все функции определены. При этом сам корень равен нулю. Других точек в $D$, обнуляющих хотя бы одну функцию, нет. **Ответ:** $x=1$ и $x=\dfrac{12+\sqrt{331}}{17}$.5c:T1243,**Что дано и что найти.** Каждый рыбак поймал два вида рыб — карасей и «других». Обозначим у Андрея число карасей $a_k$ и число других рыб $a_d$, у Бориса — $b_k$ и $b_d$; все четыре числа целые и положительные. Полный улов Андрея есть $A=a_k+a_d$, полный улов Бориса — $B=b_k+b_d$. Требуется найти $A$. **Перевод условий в уравнения.** «У Бориса карасей на 25% меньше, чем у Андрея» означает, что число карасей Бориса получается из числа карасей Андрея уменьшением на четверть: \[b_k=a_k-\tfrac14 a_k=\tfrac34 a_k.\] «Андрей поймал других рыб на 25% меньше, чем Борис» — аналогично для других рыб: \[a_d=b_d-\tfrac14 b_d=\tfrac34 b_d.\] Слово «зато» здесь по смыслу уравновешивает два эффекта: карасей у Андрея больше, зато других рыб у него меньше. «Улов Андрея составляет 50% от общего количества, пойманного Борисом и Андреем»: \[A=\tfrac12\,(A+B)\iff A=B.\] То есть полные уловы **равны** — два встречных перекоса по видам рыб ровно компенсируют друг друга. Наконец, «ведро у Бориса вмещает не более 100 рыб» даёт \[B=b_k+b_d\leqslant 100.\] **Целочисленность.** Из $b_k=\tfrac34 a_k$ видно, что $a_k$ кратно $4$; из $a_d=\tfrac34 b_d$ — что $b_d$ кратно $4$. **Сведение системы.** Подставим равенство уловов $A=B$: \[a_k+a_d=b_k+b_d\iff a_k+\tfrac34 b_d=\tfrac34 a_k+b_d\iff \tfrac14 a_k=\tfrac14 b_d\iff a_k=b_d.\] Положим $a_k=b_d=4m$, где $m$ — натуральное. Тогда \[a_k=4m,\quad a_d=\tfrac34\cdot 4m=3m,\quad b_k=\tfrac34\cdot 4m=3m,\quad b_d=4m,\] и оба улова равны $A=B=4m+3m=7m$. Ограничение ведра даёт $7m\leqslant100$, то есть $m\leqslant14$. **Где появляется ответ 77.** Официальный ответ $A=77$ отвечает значению $m=11$: \[a_k=44,\quad a_d=33,\quad b_k=33,\quad b_d=44,\qquad A=44+33=77,\quad B=33+44=77.\] Проверка всех условий: число карасей Бориса $33=\tfrac34\cdot 44$ — на 25% меньше, чем у Андрея; число других рыб Андрея $33=\tfrac34\cdot 44$ — на 25% меньше, чем у Бориса; уловы равны $77=77$, так что улов Андрея составляет ровно $50\%$ от суммарного; наконец, у Бориса $77\leqslant100$ рыб — ведро вмещает. Все требования задачи выполнены, и улов Андрея равен $77$. **Замечание о единственности.** При буквальном прочтении условие $50\%$ даёт равные уловы $A=B=7m$, и любое $m=1,2,\dots,14$ удовлетворяет всем условиям (включая $B\leqslant100$); набор допустимых значений улова Андрея — \[A\in\{7,14,21,\dots,98\}.\] Значение $77$ (при $m=11$) — это и есть приведённый в официальном ключе ответ; оно проверяется по всем условиям. Однако формально по транскрибированному тексту оно не выделяется единственным образом и не является наибольшим (наибольшее равно $98$ при $m=14$). По-видимому, в исходной формулировке имелось дополнительное условие (или иной процент), фиксирующее $m=11$; в имеющемся тексте оно отсутствует. **Ответ:** улов Андрея равен $77$ рыбам (44 карася и 33 другие рыбы; столько же у Бориса). Это значение удовлетворяет всем условиям и совпадает с официальным ответом.5d:T169f,Введём систему координат, поместив основание равнобедренного треугольника на ось $Ox$, а ось симметрии — на ось $Oy$. Пусть вершины основания суть $B=(-b,0)$ и $C=(b,0)$ (где $b>0$ — половина основания), а вершина при основании-противоположной вершине — $A=(0,h)$, $h>0$. Тогда $AB=AC$, боковые стороны симметричны относительно оси $Oy$, а высота, проведённая к основанию, есть отрезок $AO$, где $O=(0,0)$ — середина основания. **Где центр окружности.** Окружность радиуса $2$ лежит центром на основании и касается обеих боковых сторон. Касание двух боковых сторон означает, что центр равноудалён от прямых $AB$ и $AC$, то есть лежит на биссектрисе угла между ними. У равнобедренного треугольника биссектриса угла при вершине $A$ совпадает с осью симметрии $Oy$. Пересечение этой биссектрисы с основанием — единственная точка $O=(0,0)$. Значит, центр окружности — это середина основания $O$, и она же — основание высоты $AO$. **Условие касания.** Прямая $AC$ проходит через $A=(0,h)$ и $C=(b,0)$; её уравнение \[\frac{x}{b}+\frac{y}{h}=1\iff h\,x+b\,y-bh=0.\] Расстояние от центра $O=(0,0)$ до этой прямой равно радиусу: \[\frac{|{-bh}|}{\sqrt{h^2+b^2}}=\frac{bh}{\sqrt{h^2+b^2}}=2. \tag{1}\] (В силу симметрии расстояние до второй боковой стороны $AB$ такое же, так что условие касания обеих сторон сводится к одному равенству.) **Точка касания.** Точка касания $T$ на стороне $AC$ есть основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на прямую $AC$. Опуская перпендикуляр из начала координат на прямую $h x+b y-bh=0$ с нормалью $(h,b)$, получаем \[T=\left(\frac{bh^2}{h^2+b^2},\ \frac{b^2h}{h^2+b^2}\right).\] Проверим, что точка лежит именно на отрезке (стороне), а не на её продолжении: записав $T=A+s\,(C-A)$, находим параметр $s=\dfrac{h^2}{h^2+b^2}\in(0,1)$, так что окружность касается боковой стороны в её внутренней точке. **Отрезок к противолежащей вершине.** Точку касания $T$ (она на правой стороне $AC$) соединяем с противолежащей вершиной основания — это вершина $B=(-b,0)$. Найдём, в каком отношении высота $AO$, лежащая на оси $Oy$ (прямая $x=0$), делит отрезок $BT$. Параметризуем отрезок: точка $P=B+t\,(T-B)$, $t\in[0,1]$, и приравняем абсциссу к нулю. Из $-b+t\,(T_x+b)=0$ получаем \[t=\frac{b}{T_x+b}=\frac{b^2+h^2}{b^2+2h^2}.\] Тогда отношение, в котором точка пересечения $P$ делит отрезок $BT$, считая от вершины $B$ (то есть $BP:PT$), равно \[\frac{BP}{PT}=\frac{t}{1-t}=\frac{b^2+h^2}{h^2}. \tag{2}\] Заметим, что эта величина всегда больше $1$, поэтому она может равняться отношению $4:3$ (и не может равняться $3:4$); это согласует условие «$4:3$, считая от вершины» с геометрией. Полагаем \[\frac{b^2+h^2}{h^2}=\frac{4}{3}\iff 3(b^2+h^2)=4h^2\iff 3b^2=h^2\iff h^2=3b^2. \tag{3}\] **Решение системы.** Подставим $h^2=3b^2$ в условие касания (1). Сначала возведём (1) в квадрат: \[\frac{b^2h^2}{h^2+b^2}=4.\] С учётом $h^2=3b^2$ числитель и знаменатель дают \[\frac{b^2\cdot 3b^2}{3b^2+b^2}=\frac{3b^4}{4b^2}=\frac{3b^2}{4}=4\iff b^2=\frac{16}{3}.\] Отсюда $b=\dfrac{4}{\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt3}{3}$ и $h^2=3b^2=16$, то есть $h=4$. **Площадь.** Основание треугольника равно $BC=2b$, высота к нему равна $h$, поэтому \[S=\frac12\cdot 2b\cdot h=b\,h=\frac{4\sqrt3}{3}\cdot 4=\frac{16\sqrt3}{3}=\frac{16}{\sqrt3}.\] **Проверка.** При найденных $b=\dfrac{4\sqrt3}{3}$, $h=4$: расстояние от $O$ до боковой стороны равно $\dfrac{bh}{\sqrt{b^2+h^2}}=\dfrac{(4\sqrt3/3)\cdot4}{\sqrt{16/3+16}}=2$ — радиус выдержан; параметр точки касания $s=\dfrac{h^2}{h^2+b^2}=\dfrac{16}{16/3+16}=\dfrac34\in(0,1)$ — касание внутри стороны; отношение по (2) равно $\dfrac{b^2+h^2}{h^2}=\dfrac{16/3+16}{16}=\dfrac43$ — деление высотой $4:3$ от вершины. Все условия выполнены. **Ответ:** $S=\dfrac{16}{\sqrt3}=\dfrac{16\sqrt3}{3}$.5e:Tb33,**Шаг 1. Найдём число $a$ и установим, что $01$, этот единственный корень лежит между $0$ и $1$: \[00\), знаменатель $a^x>0$ при любом $x$, и умножение на него не меняет знак неравенства. Заменив числитель на $a^{23}$, получаем \[\frac{a^{6}+8a^{5}-2}{a^{x}}\leqslant 1\iff\frac{a^{23}}{a^{x}}\leqslant 1\iff a^{\,23-x}\leqslant 1.\] Так как $01$ и неравенство нарушается. **Ответ:** $x\in\{19,\,20,\,21,\,22,\,23\}$.5f:Te94,Требуется найти все $x$, при которых \[f(x)=\frac{2\cos\dfrac{\pi(15+x)}{6}+1}{\sqrt{14+5x-x^2}}>0.\] **Область определения.** Подкоренное выражение должно быть строго положительным (под корнем оно не может быть нулём, иначе знаменатель обращается в нуль): \[14+5x-x^2>0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-5x-14<0\quad\Longleftrightarrow\quad (x-7)(x+2)<0,\] откуда ОДЗ: $-20$ равносильно системе \[\begin{cases} -20.\end{cases}\] **Упрощение числителя.** Раскроем аргумент косинуса: \[\frac{\pi(15+x)}{6}=\frac{15\pi}{6}+\frac{\pi x}{6}=\frac{5\pi}{2}+\frac{\pi x}{6}.\] Так как $\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{2}+t\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t$, получаем \[\cos\frac{\pi(15+x)}{6}=-\sin\frac{\pi x}{6}.\] Тогда числитель равен $2\cos\dfrac{\pi(15+x)}{6}+1=1-2\sin\dfrac{\pi x}{6}$, и условие на числитель принимает вид \[1-2\sin\frac{\pi x}{6}>0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin\frac{\pi x}{6}<\frac12.\] **Решение тригонометрического неравенства на ОДЗ.** Сделаем замену $t=\dfrac{\pi x}{6}$. При $x\in(-2,7)$ переменная пробегает интервал \[t\in\left(-\frac{\pi}{3},\,\frac{7\pi}{6}\right).\] Решим $\sin t<\dfrac12$ на этом промежутке. Равенство $\sin t=\dfrac12$ внутри интервала достигается в двух точках: \[t=\frac{\pi}{6}\quad(x=1)\qquad\text{и}\qquad t=\frac{5\pi}{6}\quad(x=5).\] На участке $t\in\left(-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{6}\right)$ синус возрастает от $-\dfrac{\sqrt3}{2}$ до $\dfrac12$, оставаясь меньше $\dfrac12$ — неравенство выполнено. На участке $t\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right)$ синус принимает значения $\ge\dfrac12$ (на отрезке между этими точками $\sin t\ge\frac12$) — неравенство нарушено. На участке $t\in\left(\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6}\right)$ синус убывает ниже $\dfrac12$ — неравенство снова выполнено. Возвращаясь к $x$ (множитель $\dfrac{6}{\pi}$ положителен, поэтому порядок сохраняется), получаем: числитель положителен при \[x\in(-2,1)\cup(5,7).\] **Проверка краёв.** В точках $x=1$ и $x=5$ числитель обращается в нуль, значит $f=0$ — эти точки не входят (нужна строгая положительность). В точках $x=-2$ и $x=7$ нарушена ОДЗ. Все границы исключаются, интервалы открытые. Знак функции по подынтервалам ОДЗ: | интервал | $\sin\frac{\pi x}{6}$ vs $\frac12$ | числитель | $f(x)$ | |---|---|---|---| | $(-2,1)$ | $<\frac12$ | $>0$ | $>0$ | | $(1,5)$ | $>\frac12$ | $<0$ | $<0$ | | $(5,7)$ | $<\frac12$ | $>0$ | $>0$ | **Ответ:** $(-2,1)\cup(5,7)$.60:Te6c,Обозначим через $t$ число правдивцев, через $l$ — число лжецов, а через $n=t+l$ — общее число сотрудников. **Подсчёт общего числа ответов.** Каждого из $n$ сотрудников спросили про каждого из остальных $n-1$, поэтому всего прозвучало $n(n-1)$ ответов. По условию ответов было $32+40=72$, значит \[n(n-1)=72.\] **Ключевое наблюдение: что отвечает сотрудник про другого.** Рассмотрим упорядоченную пару «сотрудник $A$ высказывается про сотрудника $B$» (при $A\neq B$). Разберём два случая. - **$A$ и $B$ одного типа.** Если оба правдивцы, то $A$ честно говорит про правдивца $B$: ответ «правдивец». Если оба лжецы, то истина про $B$ — «лжец», но $A$-лжец её переворачивает и говорит «правдивец». В обоих случаях ответ — **«правдивец»**. - **$A$ и $B$ разных типов.** Если $A$ правдивец, а $B$ лжец, то $A$ честно говорит «лжец». Если $A$ лжец, а $B$ правдивец, то истина «правдивец», лжец её переворачивает и говорит «лжец». В обоих случаях ответ — **«лжец»**. Итак, ответ «правдивец» даётся **тогда и только тогда**, когда спрашивающий и тот, о ком говорят, одного типа; ответ «лжец» — когда они разных типов. Это не зависит от того, кто именно из них кто. **Перевод в комбинаторику.** Число упорядоченных пар одного типа равно \[t(t-1)+l(l-1),\] а число упорядоченных пар разных типов равно $2tl$ (пара «правдивец–лжец» считается в обоих порядках). Получаем систему \[ \begin{cases} t(t-1)+l(l-1)=32,\\ 2tl=40. \end{cases} \] **Решение системы.** Из второго уравнения $tl=20$. Преобразуем первое уравнение, используя $n=t+l$: \[t(t-1)+l(l-1)=t^2+l^2-(t+l)=\big((t+l)^2-2tl\big)-(t+l)=n^2-2\cdot 20-n=n^2-n-40.\] Приравнивая к $32$, получаем \[n^2-n-40=32\quad\Longleftrightarrow\quad n^2-n-72=0.\] Корни $n=9$ и $n=-8$; по смыслу $n>0$, значит $n=t+l=9$. (Это согласуется с $n(n-1)=9\cdot 8=72$.) **Искомая разность.** Используем тождество \[(t-l)^2=(t+l)^2-4tl=9^2-4\cdot 20=81-80=1,\] откуда $|t-l|=1$. **Существование и контроль.** Система $t+l=9,\ tl=20$ даёт пары $(t,l)=(5,4)$ или $(4,5)$ — целые неотрицательные значения, то есть конфигурация действительно реализуется (например, 5 правдивцев и 4 лжеца дают ровно $5\cdot4+4\cdot3=32$ ответа «правдивец» и $2\cdot5\cdot4=40$ ответов «лжец»). **Ответ:** количество правдивцев и лжецов отличается на $1$.61:T1497,Пусть $M$ — середина стороны $AB$, так что $CM$ — медиана. По условию $AB=38$, значит $AM=MB=19$, а медиана $CM=19$. Получаем равенства \[AM=MB=MC=19.\] **Треугольник прямоугольный.** Точка $M$ равноудалена от $A$, $B$ и $C$ на расстояние $19$, поэтому все три вершины лежат на окружности с центром $M$ и радиусом $19$. Сторона $AB=38=2\cdot 19$ служит диаметром этой окружности. Вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на диаметр, прямой (теорема, обратная к теореме о вписанном угле): $\angle ACB=90^\circ$. Итак, треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$, а окружность с центром $M$ — это его описанная окружность. Следовательно, её радиус есть радиус описанной окружности треугольника $ABC$: \[R=\frac{AB}{2}=19.\] **Условие про угол наклона медианы.** Треугольник $BMC$ равнобедренный ($MB=MC=19$); угол при основании, то есть угол наклона медианы $CM$ к прямой $AB$, равен $40^\circ$. Это условие однозначно определяет форму треугольника (а вместе с ним и катеты), но для искомого периметра нам понадобится лишь связь, которую оно даёт через площадь, — см. ниже. Здесь существенно, что треугольник $ABC$ полностью задан и невырожден. **Что требуется найти.** В треугольник $ABC$ вписана окружность; обозначим её радиус через $r$. Рассматривается треугольник, **вписанный в эту вписанную окружность** и **подобный** треугольнику $ABC$. Для треугольника, подобного $ABC$, описанной окружностью служит данная окружность радиуса $r$ (он вписан именно в неё), тогда как у самого $ABC$ радиус описанной окружности равен $R$. У подобных треугольников все линейные элементы — в том числе радиусы описанных окружностей и периметры — пропорциональны с одним и тем же коэффициентом. Поэтому коэффициент подобия равен \[k=\frac{r}{R},\] и периметр искомого треугольника \[P'=k\cdot P_{ABC}=\frac{r}{R}\,P_{ABC},\] где $P_{ABC}$ — периметр треугольника $ABC$. **Вычисление отношения.** Для любого треугольника площадь $S=\dfrac{1}{2}r\,P_{ABC}$ (полупериметр на радиус вписанной окружности), откуда \[r\,P_{ABC}=2S.\] С другой стороны, площадь прямоугольного треугольника $ABC$ удобно посчитать через основание $AB$ и высоту, опущенную на него из вершины $C$. Эта высота равна расстоянию от $C$ до прямой $AB$, то есть \[h_C=CM\cdot\sin 40^\circ=19\sin 40^\circ.\] Тогда \[S=\frac{1}{2}\,AB\cdot h_C=\frac{1}{2}\cdot 38\cdot 19\sin 40^\circ=361\sin 40^\circ.\] Подставляя $R=19$, получаем \[P'=\frac{r\,P_{ABC}}{R}=\frac{2S}{R}=\frac{2\cdot 361\sin 40^\circ}{19}=\frac{722\sin 40^\circ}{19}=38\sin 40^\circ.\] **Ответ:** периметр искомого треугольника равен $38\sin 40^\circ$. Замечание о корректности: подстановка коэффициента $k=r/R$ законна, поскольку любой треугольник, подобный $ABC$ и вписанный в данную окружность, имеет эту окружность своей описанной, а радиус описанной окружности — линейная характеристика, масштабирующаяся вместе с периметром. Сам угол $40^\circ$ фиксирует конкретные катеты (например, $CA=2R\cos\alpha$, $CB=2R\sin\alpha$ с $\alpha$ — острым углом при $A$), но в окончательную формулу периметра он входит лишь через высоту $h_C=19\sin 40^\circ$, и финальный результат $38\sin 40^\circ$ не зависит от того, какой именно из двух острых углов считать углом при $A$.62:T1407,Обозначим подкоренное выражение через \[ R(x,y)=-6x^2-14y^2-18xy+6 . \] Функции \[ f(x,y)=\sqrt{R(x,y)}+y,\qquad g(x,y)=-\sqrt{R(x,y)}+y \] определены лишь там, где $ R(x,y)\geqslant 0 $. Нужно найти **объединение** множеств значений $ f $ и $ g $, то есть все числа $ z $, которые принимает хотя бы одна из этих функций. **Сведение к одному уравнению.** Число $ z $ принимается функцией $ f $ или функцией $ g $ тогда и только тогда, когда при некоторых $ x,y $ выполнено $ R(x,y)\geqslant 0 $ и \[ z-y=\sqrt{R(x,y)}\quad\text{или}\quad z-y=-\sqrt{R(x,y)} . \] Оба равенства означают одно и то же: $ z-y=\pm\sqrt{R} $. Возведём в квадрат: \[ (z-y)^2=R(x,y). \] Это уравнение равносильно исходной совокупности. В самом деле, если $ (z-y)^2=R $, то правая часть автоматически неотрицательна (как квадрат), значит $ \sqrt{R}=|z-y| $, и при подходящем выборе знака получаем $ z-y=\sqrt{R} $ (при $ z\geqslant y $, значение $ f $) либо $ z-y=-\sqrt{R} $ (при $ z\leqslant y $, значение $ g $). Итак, **искомое множество значений — это множество тех $ z $, при которых уравнение $ (z-y)^2=R(x,y) $ разрешимо относительно $ x,y $.** **Разрешимость по $ x $.** Перенесём всё в одну часть: \[ 6x^2+18xy+\bigl(15y^2-2yz+z^2-6\bigr)=0 . \] Это квадратное уравнение относительно $ x $ с коэффициентами $ A=6 $, $ B=18y $, $ C=15y^2-2yz+z^2-6 $. При фиксированных $ y,z $ оно имеет (вещественный) корень $ x $ тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен: \[ B^2-4AC=(18y)^2-24\bigl(15y^2-2yz+z^2-6\bigr)=-36y^2+48yz-24z^2+144\geqslant 0 . \] Разделив на $ -12 $ (знак неравенства меняется), получаем равносильное условие \[ 3y^2-4yz+2z^2-12\leqslant 0 . \] **Разрешимость по $ y $.** Осталось выяснить, при каких $ z $ последнее неравенство выполнено хотя бы для одного $ y $. Левая часть — квадратный трёхчлен относительно $ y $ с **положительным** старшим коэффициентом $ 3>0 $; его график — парабола ветвями вверх. Такой трёхчлен принимает неположительные значения тогда и только тогда, когда он имеет вещественные корни, то есть когда его дискриминант (по $ y $) неотрицателен: \[ (-4z)^2-4\cdot 3\cdot(2z^2-12)\geqslant 0, \] \[ 16z^2-24z^2+144\geqslant 0,\qquad -8z^2+144\geqslant 0,\qquad z^2\leqslant 18 . \] Отсюда \[ -3\sqrt{2}\leqslant z\leqslant 3\sqrt{2}. \] **Достижимость границ и корректность.** Квадратичная форма $ 6x^2+18xy+14y^2 $ положительно определена (угловые миноры матрицы $ \begin{pmatrix}6&9\\9&14\end{pmatrix} $ равны $ 6>0 $ и $ 6\cdot14-9^2=3>0 $), поэтому область $ \{R\geqslant 0\} $ — ограниченный непустой эллипс (в нём $ R(0,0)=6>0 $), и все рассуждения проводятся над непустым множеством. Граница $ z=3\sqrt{2} $ достигается: при $ z=3\sqrt{2} $ оба дискриминанта обращаются в нуль, что даёт $ y=\dfrac{2z}{3}=2\sqrt{2} $ и $ x=-\dfrac{18y}{2\cdot 6}=-\dfrac{3y}{2}=-3\sqrt{2} $; тогда \[ R(-3\sqrt2,\,2\sqrt2)=-6\cdot18-14\cdot8-18\cdot(-3\sqrt2)(2\sqrt2)+6=-108-112+216+6=2\geqslant 0, \] и $ f(-3\sqrt2,2\sqrt2)=\sqrt{2}+2\sqrt2=3\sqrt2 $. Симметрично точка $ (3\sqrt2,-2\sqrt2) $ даёт $ g=-3\sqrt2 $. Промежуточные значения принимаются по непрерывности. Значения $ z $ с $ z^2>18 $ недостижимы, так как для них неравенство $ 3y^2-4yz+2z^2-12\leqslant 0 $ ложно при всех $ y $, и уравнение $ (z-y)^2=R $ неразрешимо. **Ответ.** Множество всех значений, которые может принимать хотя бы одна из функций $ f $ и $ g $, есть отрезок \[ \bigl[-3\sqrt{2},\,3\sqrt{2}\bigr]. \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — 2009\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — 2009\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2009\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T04:10:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — 2009\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — 2009-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — 2009"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2009","serverCollection":{"id":"d7cf7fc6-57c0-4e43-b022-67c8ca6c9a96","name":"Мехмат МГУ — 2009","code":"mehmat-2009","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":null,"session_label":"Письменный экзамен, 2009 год (механико-математический факультет МГУ; первая смена — задачи 1-4, вторая смена — задачи 5-8)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2009.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":8,"year":2009},"created_at":"2026-06-10T04:10:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"ccbeac8f-bd89-4cf6-892a-6ca7e4176398","collection_id":"d7cf7fc6-57c0-4e43-b022-67c8ca6c9a96","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ccbeac8f-bd89-4cf6-892a-6ca7e4176398","short_id":18281,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найти все значения переменной \$x\$, при которых все указанные функции\n\\[y=\\sqrt{11+24x-17x^2},\\quad y=\\arccos\\left(x^2-2x+1\\right),\\quad y=\\log_3\\left(x^2\\right)\\]\nимеют смысл и хотя бы одна из них обращается в нуль.","answer_text":"\$1\$ и \$\\dfrac{12+\\sqrt{331}}{17}\$","answer":"\$1\$ и \$\\dfrac{12+\\sqrt{331}}{17}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":null,"variant_key":"mm2009","year":2009},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"1b7fbd5f-a0b9-46d8-b2b2-a9b8e6caf1e3","code":"tag-26","name":"Функция, область определения функции"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"}]}},{"problem_id":"4d67f292-e4e2-4bb0-90c2-68ceefde8436","collection_id":"d7cf7fc6-57c0-4e43-b022-67c8ca6c9a96","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"4d67f292-e4e2-4bb0-90c2-68ceefde8436","short_id":18282,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"После рыбалки в ведре у Бориса (ведро у него вмещает не более 100 рыб) оказалось карасей на 25% меньше, чем у Андрея. Зато Андрей поймал других рыб на 25% меньше, чем Борис. Сколько всего рыб поймал Андрей, если известно, что это количество составляет 50% от общего количества пойманных Борисом и Андреем рыб?","answer_text":"\$77\$","answer":"\$77\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":null,"variant_key":"mm2009","year":2009},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"65a3834a-5296-4937-b191-2a40d6dcf0d8","code":"tag-91","name":"Задачи на проценты, сплавы и смеси"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"}]}},{"problem_id":"332cd5bd-2319-4386-ab33-09950aa103dc","collection_id":"d7cf7fc6-57c0-4e43-b022-67c8ca6c9a96","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"332cd5bd-2319-4386-ab33-09950aa103dc","short_id":18283,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок делится высотой треугольника, проведённой к основанию, в отношении \$4:3\$, считая от вершины. Найти площадь треугольника.","answer_text":"\$\\dfrac{16}{\\sqrt{3}}\$","answer":"\$\\dfrac{16}{\\sqrt{3}}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":null,"variant_key":"mm2009","year":2009},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"4b1ff467-d0bf-44bd-913c-7ae8d7e220ef","code":"tag-72","name":"Окружность, вписанная в треугольник"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"}]}},{"problem_id":"55d8213f-ff56-4633-b7d2-6f010bbe0890","collection_id":"d7cf7fc6-57c0-4e43-b022-67c8ca6c9a96","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"55d8213f-ff56-4633-b7d2-6f010bbe0890","short_id":18284,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Найти все целые значения \$x\$ из отрезка \$[19;29]\$, удовлетворяющие неравенству\n\\[\\frac{a^6+8a^5-2}{a^x}\\leqslant 1,\\]\nгде \$a\$ — корень уравнения \$y^{17}+2y^{11}+4y^5=1\$.","answer_text":"\$19, 20, 21, 22, 23\$","answer":"\$19, 20, 21, 22, 23\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":null,"variant_key":"mm2009","year":2009},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"1561837c-f5e6-4e19-9d89-ecdaba78d70c","code":"tag-19","name":"Показательные уравнения, свойства степени"},{"id":"6290f0c5-88f2-4a2d-b8e3-fbfd7f4dcd63","code":"tag-88","name":"Уравнения высших степеней"},{"id":"a310e1e9-64c5-40c5-9928-aeb385bdeb13","code":"tag-149","name":"Рациональные неравенства"},{"id":"e32afd53-73a2-409e-80f1-08c7daeb1e7f","code":"tag-219","name":"Свойства степени с действительным показателем"}]}},{"problem_id":"9a08f99f-3fa6-4bc6-a412-c9af16060add","collection_id":"d7cf7fc6-57c0-4e43-b022-67c8ca6c9a96","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"9a08f99f-3fa6-4bc6-a412-c9af16060add","short_id":18285,"task_number":16,"topic_id":"4f9bb644-d279-4577-a64f-757d71347eae","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найти все значения аргумента \$x\$, при каждом из которых соответствующее значение функции\n\\[f(x)=\\frac{2\\cos\\frac{\\pi(15+x)}{6}+1}{\\sqrt{14+5x-x^2}}\\]\nположительно.","answer_text":"\$(-2,1)\\cup(5,7)\$","answer":"\$(-2,1)\\cup(5,7)\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":null,"variant_key":"mm2009","year":2009},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"4f9bb644-d279-4577-a64f-757d71347eae","name":"Тригонометрические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"1b7fbd5f-a0b9-46d8-b2b2-a9b8e6caf1e3","code":"tag-26","name":"Функция, область определения функции"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"}]}},{"problem_id":"cdb817c8-ff97-437b-8557-10b84ead19b4","collection_id":"d7cf7fc6-57c0-4e43-b022-67c8ca6c9a96","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"cdb817c8-ff97-437b-8557-10b84ead19b4","short_id":18286,"task_number":90,"topic_id":"05a41a7c-d9e5-480e-b51e-fe10cd070616","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"В некоторой компании каждый сотрудник либо правдивец (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт). Каждого из сотрудников спросили про каждого из остальных, правдивец тот или лжец. Всего было получено 32 ответа «правдивец» и 40 ответов «лжец». На сколько отличается в этой компании количество сотрудников-правдивцев от количества сотрудников-лжецов?","answer_text":"\$1\$","answer":"\$1\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":null,"variant_key":"mm2009","year":2009},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"05a41a7c-d9e5-480e-b51e-fe10cd070616","name":"Комбинаторика и логика","description":null},"tags":[{"id":"0243fc40-68fb-4698-bca0-8fd4c6e4125c","code":"tag-4","name":"Поочередный и одновременный выбор"},{"id":"5a3195ab-8315-4a9f-8fdc-bae29f0f3602","code":"tag-83","name":"Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"}]}},{"problem_id":"059397ec-34f8-4a6e-850b-aafd7faa1ab1","collection_id":"d7cf7fc6-57c0-4e43-b022-67c8ca6c9a96","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"059397ec-34f8-4a6e-850b-aafd7faa1ab1","short_id":18287,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"В треугольнике \$ABC\$ сторона \$AB\$ равна 38, а медиана \$CM\$ наклонена к \$AB\$ под углом \$40^\\circ\$ и равна 19. В этот треугольник вписана окружность. Найти периметр треугольника, вписанного в эту окружность и подобного треугольнику \$ABC\$.","answer_text":"\$38\\sin 40^\\circ\$","answer":"\$38\\sin 40^\\circ\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":7,"session":null,"variant_key":"mm2009","year":2009},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"3ed37682-5020-4c9c-9d58-9fd011f10926","code":"tag-61","name":"Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника"},{"id":"4b1ff467-d0bf-44bd-913c-7ae8d7e220ef","code":"tag-72","name":"Окружность, вписанная в треугольник"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"}]}},{"problem_id":"392c01c1-4ab5-4d68-bff4-be634e27c78c","collection_id":"d7cf7fc6-57c0-4e43-b022-67c8ca6c9a96","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"392c01c1-4ab5-4d68-bff4-be634e27c78c","short_id":18288,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"При всех значениях параметра \$c\$ решить систему\n\\[\\begin{cases}\\dfrac{9}{\\sqrt{x+c}}+\\dfrac{16}{\\sqrt{y-c}}\\leqslant 22-\\sqrt{x+c}-4\\sqrt{y-c},\\\\ 2^{x-11}\\cdot\\log_2(4-y)=1.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$(11;2)\$ при \$c=-2\$; нет решений при \$c\\neq-2\$","answer":"\$(11;2)\$ при \$c=-2\$; нет решений при \$c\\neq-2\$","solution_text":"$62","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":8,"session":null,"variant_key":"mm2009","year":2009},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"c04c64eb-0a91-459f-8a98-25e089aa4372","code":"tag-181","name":"Уравнения смешанного типа"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]