Задача №18283

Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок делится высотой треугольника, проведённой к основанию, в отношении $4:3\text{,}$ считая от вершины. Найти площадь треугольника.

Введём систему координат, поместив основание равнобедренного треугольника на ось $Ox\text{,}$ а ось симметрии — на ось $Oy\text{.}$ Пусть вершины основания суть $B=(-b,0)$ и $C=(b,0)$ (где $b>0$ — половина основания), а вершина при основании-противоположной вершине — $A=(0,h)\text{,}$ $h>0\text{.}$ Тогда $AB=AC\text{,}$ боковые стороны симметричны относительно оси $Oy\text{,}$ а высота, проведённая к основанию, есть отрезок $AO\text{,}$ где $O=(0,0)$ — середина основания.

Где центр окружности. Окружность радиуса $2$ лежит центром на основании и касается обеих боковых сторон. Касание двух боковых сторон означает, что центр равноудалён от прямых $AB$ и $AC\text{,}$ то есть лежит на биссектрисе угла между ними. У равнобедренного треугольника биссектриса угла при вершине $A$ совпадает с осью симметрии $Oy\text{.}$ Пересечение этой биссектрисы с основанием — единственная точка $O=(0,0)\text{.}$ Значит, центр окружности — это середина основания $O\text{,}$ и она же — основание высоты $AO\text{.}$

Условие касания. Прямая $AC$ проходит через $A=(0,h)$ и $C=(b,0)\text{;}$ её уравнение

Расстояние от центра $O=(0,0)$ до этой прямой равно радиусу:

(В силу симметрии расстояние до второй боковой стороны $AB$ такое же, так что условие касания обеих сторон сводится к одному равенству.)

Точка касания. Точка касания $T$ на стороне $AC$ есть основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на прямую $AC\text{.}$ Опуская перпендикуляр из начала координат на прямую $hx+by-bh=0$ с нормалью $(h,b)\text{,}$ получаем

Проверим, что точка лежит именно на отрезке (стороне), а не на её продолжении: записав $T=A+s(C-A)\text{,}$ находим параметр $s=\frac{h^2}{h^2+b^2}\in (0,1)\text{,}$ так что окружность касается боковой стороны в её внутренней точке.

Отрезок к противолежащей вершине. Точку касания $T$ (она на правой стороне $AC$) соединяем с противолежащей вершиной основания — это вершина $B=(-b,0)\text{.}$ Найдём, в каком отношении высота $AO\text{,}$ лежащая на оси $Oy$ (прямая $x=0$), делит отрезок $BT\text{.}$ Параметризуем отрезок: точка $P=B+t(T-B)\text{,}$ $t\in [0,1]\text{,}$ и приравняем абсциссу к нулю. Из $-b+t(T_x+b)=0$ получаем

Тогда отношение, в котором точка пересечения $P$ делит отрезок $BT\text{,}$ считая от вершины $B$ (то есть $BP:PT$), равно

Заметим, что эта величина всегда больше $1\text{,}$ поэтому она может равняться отношению $4:3$ (и не может равняться $3:4$); это согласует условие «$4:3\text{,}$ считая от вершины» с геометрией. Полагаем

Решение системы. Подставим $h^2=3b^2$ в условие касания (1). Сначала возведём (1) в квадрат:

С учётом $h^2=3b^2$ числитель и знаменатель дают

Отсюда $b=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ и $h^2=3b^2=16\text{,}$ то есть $h=4\text{.}$

Площадь. Основание треугольника равно $BC=2b\text{,}$ высота к нему равна $h\text{,}$ поэтому

Проверка. При найденных $b=\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{,}$ $h=4\text{:}$ расстояние от $O$ до боковой стороны равно $\frac{bh}{\sqrt{b^2+h^2}}=\frac{(4\sqrt{3}/3)\cdot 4}{\sqrt{16/3+16}}=2$ — радиус выдержан; параметр точки касания $s=\frac{h^2}{h^2+b^2}=\frac{16}{16/3+16}=\frac{3}{4}\in (0,1)$ — касание внутри стороны; отношение по (2) равно $\frac{b^2+h^2}{h^2}=\frac{16/3+16}{16}=\frac{4}{3}$ — деление высотой $4:3$ от вершины. Все условия выполнены.

Ответ: $S=\frac{16}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\text{.}$