Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок делится высотой треугольника, проведённой к основанию, в отношении 4:3, считая от вершины. Найти площадь треугольника.

Введём систему координат, поместив основание равнобедренного треугольника на ось Ox, а ось симметрии — на ось Oy. Пусть вершины основания суть B=(-b,0) и C=(b,0) (где b>0 — половина основания), а вершина при основании-противоположной вершине — A=(0,h), h>0. Тогда AB=AC, боковые стороны симметричны относительно оси Oy, а высота, проведённая к основанию, есть отрезок AO, где O=(0,0) — середина основания. **Где центр окружности.** Окружность радиуса 2 лежит центром на основании и касается обеих боковых сторон. Касание двух боковых сторон означает, что центр равноудалён от прямых AB и AC, то есть лежит на биссектрисе угла между ними. У равнобедренного треугольника биссектриса угла при вершине A совпадает с осью симметрии Oy. Пересечение этой биссектрисы с основанием — единственная точка O=(0,0). Значит, центр окружности — это середина основания O, и она же — основание высоты AO. **Условие касания.** Прямая AC проходит через A=(0,h) и C=(b,0); её уравнение (x)/(b)+(y)/(h)=1 hx+by-bh=0. Расстояние от центра O=(0,0) до этой прямой равно радиусу: (|-bh|)/(sqrt(h^2+b^2))=(bh)/(sqrt(h^2+b^2))=2. 1 (В силу симметрии расстояние до второй боковой стороны AB такое же, так что условие касания обеих сторон сводится к одному равенству.) **Точка касания.** Точка касания T на стороне AC есть основание перпендикуляра, опущенного из O на прямую AC. Опуская перпендикуляр из начала координат на прямую h x+b y-bh=0 с нормалью (h,b), получаем T=((bh^2)/(h^2+b^2), (b^2h)/(h^2+b^2)). Проверим, что точка лежит именно на отрезке (стороне), а не на её продолжении: записав T=A+s(C-A), находим параметр s=(h^2)/(h^2+b^2)in(0,1), так что окружность касается боковой стороны в её внутренней точке. **Отрезок к противолежащей вершине.** Точку касания T (она на правой стороне AC) соединяем с противолежащей вершиной основания — это вершина B=(-b,0). Найдём, в каком отношении высота AO, лежащая на оси Oy (прямая x=0), делит отрезок BT. Параметризуем отрезок: точка P=B+t(T-B), tin[0,1], и приравняем абсциссу к нулю. Из -b+t(T_x+b)=0 получаем t=(b)/(T_x+b)=(b^2+h^2)/(b^2+2h^2). Тогда отношение, в котором точка пересечения P делит отрезок BT, считая от вершины B (то есть BP:PT), равно (BP)/(PT)=(t)/(1-t)=(b^2+h^2)/(h^2). 2 Заметим, что эта величина всегда больше 1, поэтому она может равняться отношению 4:3 (и не может равняться 3:4); это согласует условие «4:3, считая от вершины» с геометрией. Полагаем (b^2+h^2)/(h^2)=(4)/(3) 3(b^2+h^2)=4h^2 3b^2=h^2 h^2=3b^2. 3 **Решение системы.** Подставим h^2=3b^2 в условие касания (1). Сначала возведём (1) в квадрат: (b^2h^2)/(h^2+b^2)=4. С учётом h^2=3b^2 числитель и знаменатель дают (b^2* 3b^2)/(3b^2+b^2)=(3b^4)/(4b^2)=(3b^2)/(4)=4 b^2=(16)/(3). Отсюда b=(4)/(3)=(43)/(3) и h^2=3b^2=16, то есть h=4. **Площадь.** Основание треугольника равно BC=2b, высота к нему равна h, поэтому S=12* 2b* h=bh=(43)/(3)* 4=(163)/(3)=(16)/(3). **Проверка.** При найденных b=(43)/(3), h=4: расстояние от O до боковой стороны равно (bh)/(sqrt(b^2+h^2))=((43/3)*4)/(sqrt(16/3+16))=2 — радиус выдержан; параметр точки касания s=(h^2)/(h^2+b^2)=(16)/(16/3+16)=34in(0,1) — касание внутри стороны; отношение по (2) равно (b^2+h^2)/(h^2)=(16/3+16)/(16)=43 — деление высотой 4:3 от вершины. Все условия выполнены. **Ответ:** S=(16)/(3)=(163)/(3).

\(\dfrac{16}{\sqrt{3}}\)