Задача №18284

Найти все целые значения $x$ из отрезка $[19;29]\text{,}$ удовлетворяющие неравенству

$$\frac{a^6+8a^5-2}{a^x}⩽1,$$

где $a$ — корень уравнения $y^{17}+2y^{11}+4y^5=1\text{.}$

Шаг 1. Найдём число $a$ и установим, что $0<a<1\text{.}$

Число $a$ задано как корень уравнения

$$y^{17}+2y^{11}+4y^5=1.$$

Рассмотрим функцию $g(y)=y^{17}+2y^{11}+4y^5\text{.}$ Её производная

$$g^{\prime }(y)=17y^{16}+22y^{10}+20y^4=y^4\left(17y^{12}+22y^6+20\right)⩾0,$$

причём $g^{\prime }(y)=0$ лишь в изолированной точке $y=0\text{.}$ Значит, $g$ строго возрастает на всей числовой прямой, и уравнение $g(y)=1$ имеет ровно один корень $a\text{.}$

Так как $g(0)=0<1$ и $g(1)=1+2+4=7>1\text{,}$ этот единственный корень лежит между $0$ и $1\text{:}$

$$0<a<1.$$

Этот факт нам важен: основание степеней меньше единицы.

Шаг 2. Упростим числитель, используя уравнение для $a\text{.}$

Ключевое наблюдение — тождество

$$y^{23}-y^6-8y^5+2=(y^6-2)\left(y^{17}+2y^{11}+4y^5-1\right).$$

Его легко проверить раскрытием скобок:

$$(y^6-2)(y^{17}+2y^{11}+4y^5-1)=y^{23}+2y^{17}+4y^{11}-y^6-2y^{17}-4y^{11}-8y^5+2=y^{23}-y^6-8y^5+2.$$

Подставим $y=a\text{.}$ По условию второй множитель обращается в нуль:

$$a^{17}+2a^{11}+4a^5-1=0,$$

поэтому и вся левая часть равна нулю:

$$a^{23}-a^6-8a^5+2=0⟹a^6+8a^5-2=a^{23}.$$

Таким образом, числитель дроби в точности равен $a^{23}$.

Шаг 3. Решим неравенство.

Поскольку $a>0\text{,}$ знаменатель $a^x>0$ при любом $x\text{,}$ и умножение на него не меняет знак неравенства. Заменив числитель на $a^{23}\text{,}$ получаем

$$\frac{a^6+8a^5-2}{a^x}⩽1⟺\frac{a^{23}}{a^x}⩽1⟺a^{23-x}⩽1.$$

Так как $0<a<1\text{,}$ показательная функция $t\mapsto a^t$ строго убывает, а $a^0=1\text{.}$ Поэтому

$$a^{23-x}⩽1=a^0⟺23-x⩾0⟺x⩽23.$$

Шаг 4. Отбор целых $x$ из отрезка.

Требуются целые $x\in [19;29]\text{,}$ удовлетворяющие $x⩽23\text{:}$

$$x\in \{19,20,21,22,23\}.$$

В граничной точке $x=23$ имеем $a^{23-23}=a^0=1\text{,}$ и нестрогое неравенство $⩽$ выполнено (равенство допустимо); при $x⩾24$ показатель $23-x<0\text{,}$ откуда $a^{23-x}>1$ и неравенство нарушается.

Ответ: $x\in \{19,20,21,22,23\}\text{.}$