Задача №18288

При всех значениях параметра $c$ решить систему

$$\{\begin{array}{l}\frac{9}{\sqrt{x+c}}+\frac{16}{\sqrt{y-c}}⩽22-\sqrt{x+c}-4\sqrt{y-c},\\ 2^{x-11}\cdot {\log }_2(4-y)=1.\end{array}$$

Обозначим подкоренное выражение через

$$R(x,y)=-6x^2-14y^2-18xy+6.$$

Функции

$$f(x,y)=\sqrt{R(x,y)}+y,g(x,y)=-\sqrt{R(x,y)}+y$$

определены лишь там, где $R(x,y)⩾0\text{.}$ Нужно найти объединение множеств значений $f$ и $g\text{,}$ то есть все числа $z\text{,}$ которые принимает хотя бы одна из этих функций.

Сведение к одному уравнению. Число $z$ принимается функцией $f$ или функцией $g$ тогда и только тогда, когда при некоторых $x,y$ выполнено $R(x,y)⩾0$ и

$$z-y=\sqrt{R(x,y)}\text{или}z-y=-\sqrt{R(x,y)}.$$

Оба равенства означают одно и то же: $z-y=\pm \sqrt{R}\text{.}$ Возведём в квадрат:

$$(z-y{)}^2=R(x,y).$$

Это уравнение равносильно исходной совокупности. В самом деле, если $(z-y{)}^2=R\text{,}$ то правая часть автоматически неотрицательна (как квадрат), значит $\sqrt{R}=|z-y|\text{,}$ и при подходящем выборе знака получаем $z-y=\sqrt{R}$ (при $z⩾y\text{,}$ значение $f$) либо $z-y=-\sqrt{R}$ (при $z⩽y\text{,}$ значение $g$). Итак, искомое множество значений — это множество тех $z\text{,}$ при которых уравнение $(z-y{)}^2=R(x,y)$ разрешимо относительно $x,y\text{.}$

Разрешимость по $x\text{.}$ Перенесём всё в одну часть:

$$6x^2+18xy+(15y^2-2yz+z^2-6)=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентами $A=6\text{,}$ $B=18y\text{,}$ $C=15y^2-2yz+z^2-6\text{.}$ При фиксированных $y,z$ оно имеет (вещественный) корень $x$ тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

$$B^2-4AC=(18y{)}^2-24(15y^2-2yz+z^2-6)=-36y^2+48yz-24z^2+144⩾0.$$

Разделив на $-12$ (знак неравенства меняется), получаем равносильное условие

$$3y^2-4yz+2z^2-12⩽0.$$

Разрешимость по $y\text{.}$ Осталось выяснить, при каких $z$ последнее неравенство выполнено хотя бы для одного $y\text{.}$ Левая часть — квадратный трёхчлен относительно $y$ с положительным старшим коэффициентом $3>0\text{;}$ его график — парабола ветвями вверх. Такой трёхчлен принимает неположительные значения тогда и только тогда, когда он имеет вещественные корни, то есть когда его дискриминант (по $y$) неотрицателен:

$$(-4z{)}^2-4\cdot 3\cdot (2z^2-12)⩾0,$$ $$16z^2-24z^2+144⩾0,-8z^2+144⩾0,z^2⩽18.$$

Отсюда

$$-3\sqrt{2}⩽z⩽3\sqrt{2}.$$

Достижимость границ и корректность. Квадратичная форма $6x^2+18xy+14y^2$ положительно определена (угловые миноры матрицы $\left(\begin{array}{cc}6& 9\\ 9& 14\end{array}\right)$ равны $6>0$ и $6\cdot 14-9^2=3>0$), поэтому область $\{R⩾0\}$ — ограниченный непустой эллипс (в нём $R(0,0)=6>0$), и все рассуждения проводятся над непустым множеством. Граница $z=3\sqrt{2}$ достигается: при $z=3\sqrt{2}$ оба дискриминанта обращаются в нуль, что даёт $y=\frac{2z}{3}=2\sqrt{2}$ и $x=-\frac{18y}{2\cdot 6}=-\frac{3y}{2}=-3\sqrt{2}\text{;}$ тогда

$$R(-3\sqrt{2},2\sqrt{2})=-6\cdot 18-14\cdot 8-18\cdot (-3\sqrt{2})(2\sqrt{2})+6=-108-112+216+6=2⩾0,$$

и $f(-3\sqrt{2},2\sqrt{2})=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\text{.}$ Симметрично точка $(3\sqrt{2},-2\sqrt{2})$ даёт $g=-3\sqrt{2}\text{.}$ Промежуточные значения принимаются по непрерывности. Значения $z$ с $z^2>18$ недостижимы, так как для них неравенство $3y^2-4yz+2z^2-12⩽0$ ложно при всех $y\text{,}$ и уравнение $(z-y{)}^2=R$ неразрешимо.

Ответ. Множество всех значений, которые может принимать хотя бы одна из функций $f$ и $g\text{,}$ есть отрезок

$$[-3\sqrt{2},3\sqrt{2}].$$