При всех значениях параметра c решить систему cases(9)/(sqrt(x+c))+(16)/(sqrt(y-c)) 22-sqrt(x+c)-4sqrt(y-c), 2^(x-11)*_2(4-y)=1.cases

Обозначим подкоренное выражение через R(x,y)=-6x^2-14y^2-18xy+6 . Функции f(x,y)=sqrt(R(x,y))+y, g(x,y)=-sqrt(R(x,y))+y определены лишь там, где R(x,y) 0 . Нужно найти **объединение** множеств значений f и g , то есть все числа z , которые принимает хотя бы одна из этих функций. **Сведение к одному уравнению.** Число z принимается функцией f или функцией g тогда и только тогда, когда при некоторых x,y выполнено R(x,y) 0 и z-y=sqrt(R(x,y)) или z-y=-sqrt(R(x,y)) . Оба равенства означают одно и то же: z-y=+-sqrt(R) . Возведём в квадрат: (z-y)^2=R(x,y). Это уравнение равносильно исходной совокупности. В самом деле, если (z-y)^2=R , то правая часть автоматически неотрицательна (как квадрат), значит sqrt(R)=|z-y| , и при подходящем выборе знака получаем z-y=sqrt(R) (при z y , значение f ) либо z-y=-sqrt(R) (при z y , значение g ). Итак, **искомое множество значений — это множество тех z , при которых уравнение (z-y)^2=R(x,y) разрешимо относительно x,y .** **Разрешимость по x .** Перенесём всё в одну часть: 6x^2+18xy+(15y^2-2yz+z^2-6)=0 . Это квадратное уравнение относительно x с коэффициентами A=6 , B=18y , C=15y^2-2yz+z^2-6 . При фиксированных y,z оно имеет (вещественный) корень x тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен: B^2-4AC=(18y)^2-24(15y^2-2yz+z^2-6)=-36y^2+48yz-24z^2+144 0 . Разделив на -12 (знак неравенства меняется), получаем равносильное условие 3y^2-4yz+2z^2-12 0 . **Разрешимость по y .** Осталось выяснить, при каких z последнее неравенство выполнено хотя бы для одного y . Левая часть — квадратный трёхчлен относительно y с **положительным** старшим коэффициентом 3>0 ; его график — парабола ветвями вверх. Такой трёхчлен принимает неположительные значения тогда и только тогда, когда он имеет вещественные корни, то есть когда его дискриминант (по y ) неотрицателен: (-4z)^2-4* 3*(2z^2-12) 0, 16z^2-24z^2+144 0, -8z^2+144 0, z^2 18 . Отсюда -3sqrt(2) z 3sqrt(2). **Достижимость границ и корректность.** Квадратичная форма 6x^2+18xy+14y^2 положительно определена (угловые миноры матрицы pmatrix6&99&14pmatrix равны 6>0 и 6*14-9^2=3>0 ), поэтому область R 0 — ограниченный непустой эллипс (в нём R(0,0)=6>0 ), и все рассуждения проводятся над непустым множеством. Граница z=3sqrt(2) достигается: при z=3sqrt(2) оба дискриминанта обращаются в нуль, что даёт y=(2z)/(3)=2sqrt(2) и x=-(18y)/(2* 6)=-(3y)/(2)=-3sqrt(2) ; тогда R(-32,22)=-6*18-14*8-18*(-32)(22)+6=-108-112+216+6=2 0, и f(-32,22)=sqrt(2)+22=32 . Симметрично точка (32,-22) даёт g=-32 . Промежуточные значения принимаются по непрерывности. Значения z с z^2>18 недостижимы, так как для них неравенство 3y^2-4yz+2z^2-12 0 ложно при всех y , и уравнение (z-y)^2=R неразрешимо. **Ответ.** Множество всех значений, которые может принимать хотя бы одна из функций f и g , есть отрезок [-3sqrt(2),3sqrt(2)].

\((11;2) при c=-2; нет решений при c\neq-2\)